【百强校】宁夏平罗中学2019届高三第五次模拟（最后一模）考试数学（文）试题（含答案解析）

【百强校】宁夏平罗中学2019届高三第五次模拟（最后一模）考试数学（文）试题（含答案解析）

‎2019年宁夏石嘴山市平罗中学高考数学五模试卷（文科）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|2﹣x＞0},则A∩B＝（　　）‎ A. [﹣3，2） B. （2，3] C. [﹣1，2） D. （﹣1，2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得集合，根据集合的交集运算，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，集合，‎ 所以．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知为实数，若复数为纯虚数，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．‎ ‎【详解】＝，∵复数是纯虚数，∴且 得且≠，即，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键，属于基础题．‎ ‎3.已知直线和直线，若，则a的值为（ ）‎ A. 2 B. 1 C. 0 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：由及两条直线方程，可得，解此方程可得．‎ 详解：因为 所以，即 ‎ 解得 ‎ 故选D．‎ 点睛：两直线，若 ，则．本题考查两直线之间的位置关系及学生的运算能力．‎ ‎4.如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．‎ ‎【详解】由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，‎ 其中落入白色部分的有484个点，‎ 则其中落入黑色部分的有605个点，‎ 由随机模拟试验可得：，又，‎ 可得，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.‎ ‎5.若，则（　　）‎ A. c＜b＜a B. b＜c＜a C. a＜b＜c D. b＜a＜c ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数的性质得，再根据指数函数的性质得，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，根据对数函数的性质，可得，‎ 根据指数函数的性质，可得，‎ 所以．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小问题，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6.已知实数x，y满足则z＝2x+y的最小值为（　　）‎ A. 0 B. ﹣5 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x+y可得y＝﹣2x+z，则z表示直线y＝﹣2x+z在y轴上的截距，结合图象可求z的最小值．‎ ‎【详解】由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，‎ 由z＝2x+y可得y＝﹣2x+z，则z表示直线y＝﹣2x+z在y轴上的截距， ‎ 易知在A处目标函数取到最小值，最小值为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件下的最值的求解，解题的关键是明确z的几何意义．‎ ‎7.某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为），则该三棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由三视图还原几何体，然后由几何体的空间结构特征求解三棱锥的体积即可.‎ ‎【详解】由三视图可知，在棱长为2的正方体中，其对应的几何体为棱锥，‎ 该棱锥的体积：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎8.下列命题错误的是( )‎ A. 命题“若则”与命题“若，则”互为逆否命题 B. 命题“R, ”的否定是“,”‎ C. 且，都有 D. “若，则”的逆命题为真 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对给出的四个选项分别进行判断可得结果．‎ ‎【详解】对于选项A，由逆否命题的定义可得，命题“若则”的逆否命题为“若，则”，所以A正确．‎ 对于选项B，由含量词的命题的否定可得，命题“R, ”的否定是“,‎ ‎”，所以B正确．‎ 对于选项C，当且时，由基本不等式可得．所以C正确．‎ 对于选项D，命题“若，则”当时不成立，所以D不正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】由于类似问题考查的内容较多，解题的关键是根据每个命题对应的知识解决，要求对相关知识要有一个整体性的掌握，本题考查综合运用知识解决问题的能力．‎ ‎9.《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为：（ ）‎ A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列通项公式和前项和公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果.‎ ‎【详解】从冬至起，日影长依次记为，‎ 根据题意，有，‎ 根据等差数列的性质，有，‎ 而，设其公差为，则有，‎ 解得，‎ 所以冬至的日影子长为尺，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】该题考查是有关应用等差数列解决实际生活中的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式以及前项和的有关量的计算，属于简单题目.‎ ‎10.对于实数，“”是“方程表示双曲线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方程表示双曲线求出m的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】由题意，方程表示双曲线，则，得，‎ 所以“”是“方程表示双曲线”的充要条件，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合双曲线方程的特点求出m的取值范围是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，以及推理、论证能力，属于基础题.‎ ‎11.将函数图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的图象变换，求得的图象，令，进而结合选项，即可求解函数的对称轴的方程，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，将函数 图象向左平移个单位，‎ 可得的图象，‎ 令，求得，‎ 令，可得所得函数图象的一条对称轴的方程为，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的求解，其中解答熟记三角函数的图象变换，准确应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎12.执行如图所示的程序框图，输出的值为k的值为（　　）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 模拟循环结构的程序框图的运行，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】模拟程序的运行，可得，‎ 第1次循环，可得，不满足条件，执行循环体，‎ 第2次循环，可得，不满足条件，执行循环体，‎ 第3次循环，可得，不满足条件，执行循环体，‎ 第4次循环，可得，‎ 此时，满足条件，退出循环，输出的值为4．‎ ‎【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知数列 的前n项和为 ，且 则 _____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，则，两式作差，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，根据，则，‎ 可得，即，即，‎ 又，解得，‎ ‎∴数列是等比数列，所以．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了根据数列的和的关系求解数列的通项公式，其中解答中熟记数列的通项和的关系，合理递推作差是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14.正方体的内切球与外接球的半径之比为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设出正方体的棱长，即可求出两个半径，求出半径之比．正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，设正方体的棱长为2a，所以内切球的半径为a；外接球的直径为2a，半径为a，所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：3，故填写 点评：本题是基础题，考查正方体的外接球与内切球的半径之比，正方体的内切球的直径为正方体的棱长，外接球的直径为正方体的对角线长，是解决本题的关键 ‎15.已知双曲线1（a＞0，b＞0），过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N 两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可得，再利用双曲线的几何性质表示出的关系式，进而求得和的关系式，则可求得双曲线的离心率，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，设右焦点为，‎ 因为，所以为等腰直角三角形，所以,可得，‎ 又由，整理得，解得，‎ 又因为，所以．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．‎ ‎16.2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：‎ 爸爸：冠军乙或丁；‎ 妈妈：冠军一定不是丙和丁；‎ 孩子：冠军是甲或戊.‎ 比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是__________．‎ ‎【答案】丁 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设冠军分别是甲、乙、丙、丁、戊，分别判断孩子、妈妈、爸爸的判断是否正确，即可得结果.‎ ‎【详解】若冠军是甲或戊，孩子与妈妈判断都正确，不合题意；‎ 若冠军是乙，爸爸与妈妈判断都正确，不合题意；‎ 若冠军是丙，三个人判断都不正确，不合题意；‎ 若冠军是丁，只有爸爸判断正确，合题意，故答案为丁.‎ ‎【点睛】本题主要考查推理案例，属于中档题.推理案例的题型是高考命题的热点，由于条件较多，做题时往往感到不知从哪里找到突破点，解答这类问题，一定要仔细阅读题文，逐条分析所给条件，并将其引伸，找到各条件的融汇之处和矛盾之处，多次应用假设、排除、验证，清理出有用“线索”，找准突破点，从而使问题得以解决.‎ 三、解答题（共5小题，满分12分）‎ ‎17.在中，角，，的对边分别为，，，且 ‎．‎ ‎（1）求． ‎ ‎（2）若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理得到，再由余弦定理得到，根据特殊角的三角函数值得到结果；（2）根据余弦定理可知：，根据重要不等式和a=4得到，即，再由面积，最终得到结果.‎ ‎【详解】（1）根据正弦定理可知：，‎ 整理得，‎ 由余弦定理的推论得， ‎ ‎ ，‎ ‎ ． ‎ ‎（2）根据余弦定理可知：，‎ ‎ 且，‎ ‎ ，即.‎ ‎ 面积，当且仅当时等号成立．‎ 故面积的最大值为．‎ ‎【点睛】1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“‎ ‎”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题;2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等;3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.‎ ‎18.某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.‎ ‎（1）根据频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；‎ ‎（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：‎ 广告投入（单位：万元）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 销售收益（单位：百万元）‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎7‎ 表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.‎ 附公式：，.‎ ‎【答案】（1）2;（2）;（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；‎ ‎（Ⅱ）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；‎ ‎（Ⅲ）求出回归系数，即可得出结论．‎ ‎【详解】（Ⅰ）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知 ‎，故；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知各小组依次是，‎ 其中点分别为，对应的频率分别为，‎ 故可估计平均值为；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知空白栏中填5．‎ 由题意可知，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 根据公式，可求得，，‎ 即回归直线的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题．‎ ‎19.如图，菱形ABCD和直角梯形CDEF所在平面互相垂直，.‎ ‎(1)求证：；‎ ‎(2)求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以通过菱形和直角梯形所在平面互相垂直来证明出平面，然后通过平面证明出，再通过菱形的性质证明出，最后通过线面垂直的相关性质即可证明出平面以及；‎ ‎(2)本题首先可以过点向做垂线，垂线就是四棱锥高，再通过四棱锥 的体积公式即可得出结果．‎ ‎【详解】（1）因为，，所以，‎ 又因为平面平面，且平面平面，‎ 所以平面， ‎ 因为平面，所以，‎ 因为四边形是菱形，所以，‎ 又因为平面、平面、，所以平面，‎ 又因为平面，所以；‎ ‎（2）‎ 如图所示，过点向做垂线，垂足为，即，‎ 因为平面平面，且平面平面，平面， ‎ 在直角三角形中有、，所以，‎ 所以四棱锥的体积．‎ ‎【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明以及四棱锥体积的求法，线线垂直可以通过线面垂直来证明，四棱锥的体积公式为，考查数形结合思想，考查空间想象能力，锻炼了学生的几何思维，是中档题．‎ ‎20.已知F1，F2为椭圆的左右焦点，点P（2，3）为其上一点，且|PF1|+|PF2|＝8．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）若直线l：y＝kx﹣4交椭圆C于A，B两点，且原点O在以线段AB为直径的圆的外部，试求k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）（，）∪（，）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由点是椭圆上的一点，且，联立方程组，可求得 ‎，即可得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）联立方程组，由，解得或，再由原点在以线段为直径的圆的外部，得到•0，求得，即可求解实数的范围．‎ ‎【详解】（1）由题意知，点是椭圆上的一点，且，‎ 可得，解得，‎ 所以椭圆的方程为1．‎ ‎（2）设，‎ 联立方程组，得，‎ ‎∴，，‎ 由，即，解得或．①‎ ‎∵原点O在以线段为直径的圆的外部，则•0，‎ ‎∴•‎ ‎，‎ 解得．②‎ 由①②解得实数的范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．‎ ‎21.已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求证：曲线与在处的切线重合；‎ ‎（Ⅱ）若对任意恒成立 ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：（其中）.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先对函数求导，得到，再由，根据直线的点斜式方程即可求出在点处的切线方程；另外同理求出在处的切线方程，即可得出结论成立；‎ ‎（Ⅱ）（1）先令，对函数求导，通过讨论与、研究函数的单调性，即可得出结果；‎ ‎（2）先由（1）得到当时，恒成立，得，‎ 分别令得个不等式相加得，整理化简得到只要证明即可得出结论成立.‎ ‎【详解】证明:(Ⅰ)‎ 在处的切线方程为 在处的切线方程为 所以切线重合 ‎（Ⅱ）（1）令 ‎ 则，‎ ‎① 当时，当且仅当时，取等号，‎ 在递减，不成立.‎ ‎②当时，，‎ ‎(i)当时，时，，递减，，‎ 在递减， 不恒成立.‎ ‎(ii）当时，，在递增，‎ ‎，在递增，‎ ‎，恒成立.‎ 综上，.‎ ‎（2）证明：由（1）知当时，恒成立.‎ 得 令得个不等式相加得 下面只要证明 即 再由不等式 令得 取得个不等式累加得成立.‎ 故原不等式成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及导数的应用，通常需要对函数求导，通过研究函数单调等来处理，属于常考题型.‎ ‎（二）选做题：共10分 ‎22.在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线与曲线C交于两点．‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）求．‎ ‎【答案】（1）直线l的方程为y＝x+1，曲线C的方程为1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）消去参数，即可求得直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，利用直线参数方程中参数的几何意义，即可求解．‎ ‎【详解】（Ⅰ）由直线的参数方程为，消去参数，可得直线的方程为，由曲线的极坐标方程，根据，曲线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）将（参数），代入1，得，‎ 设所对应的参数分别为，则，‎ 则．‎ ‎【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数的最小值为，若不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题，直接运用零点分段法，对x进行讨论，然后解不等式即可；‎ ‎（2）先根据第一问求出的最小值为，然后再参变分离得有解，再求得的最大值即可.‎ ‎【详解】解：（1），‎ ‎①当时，，由，解得；‎ ‎②当时，，由，解得；‎ ‎③当时，，由，解得.‎ 综上或.‎ 所以不等式的解集是.‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 所以函数在区间单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以函数的最小值.‎ 由题意得有解，‎ 所以有解.‎ 设，‎ 则.‎ 所以.‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式选讲的内容，细心审题，耐心计算可得结果，属于较易题目.‎