2017-2018学年四川省棠湖中学高二零诊模拟数学（理）试题 Word版

2017-2018学年四川省棠湖中学高二零诊模拟数学（理）试题 Word版

‎2018年春期四川省棠湖中学高二年级零诊模拟考试 理科数学 一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知集合，B={–2，0，1，2}，则AB=‎ A.{0，1} B.{0，1，2} C.{1，2} D.{–2，0，1，2}‎ ‎3．函数的图像大致为 ‎ ‎4．已知向量，满足，，则 A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则 A． B．0 C．2 D．50‎ ‎8．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率 为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B． C． D．‎ ‎9．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎10．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A． B． C． D．‎ ‎11．已知正方体的棱长为2，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数有唯一零点，则a=‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．若，满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎14.(+)(2-)5的展开式中33的系数为__________．‎ ‎15.已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为______．‎ ‎16.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为__________．‎ 三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 设函数，其中.已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。‎ ‎（Ⅰ）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；‎ ‎（Ⅱ）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.‎ ‎（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；‎ ‎（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的 余弦值为，求线段AH的长.‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ 21. ‎（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若数列的前项和，，求证：数列的前项和.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ 21. ‎（本小题满分10分）‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线,曲线上任意一点到极点的距离等于它到直线的距离.‎ ‎(I)求曲线的极坐标方程;‎ ‎（Ⅱ）若是曲线上两点，且,求的最大值.‎ ‎23.（本小题满分10分）‎ 选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎(I)求的最小值;‎ ‎(II)若均为正实数，且满足,求证:.‎ ‎2018年春期四川省棠湖中学高二年级零诊模拟考试 理科数学答案 一．选择题 ‎1.D 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 7.C 8.D 9.D 10.D 11.A 12.A 二．填空题 ‎13. 14.40 15. 16.‎ 三．解答题 ‎17解：（Ⅰ）因为，‎ 所以 由题设知，所以，.‎ 故，，又，所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以.‎ 因为，‎ 所以，当，‎ 即时，取得最小值.‎ ‎18.解：（Ⅰ）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ‎.因此的分布列为 ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎（Ⅱ）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑 当时，‎ 若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n 若最高气温位于区间，则Y=6×300+2（n-300）-4n=1200-2n;‎ 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;‎ 因此EY=2n×0.4+（1200-2n）×0.4+(800-2n) ×0.2=640-0.4n 当时，‎ 若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n;‎ 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n-200）-4n=800-2n;‎ 因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n 所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元。‎ ‎19.解：如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得 A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.‎ ‎（Ⅰ）证明：=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，‎ 则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.‎ 因为平面BDE，所以MN//平面BDE.‎ ‎（Ⅱ）易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则 ‎，因为，，所以.不妨设，可得.‎ 因此有，于是.‎ 所以，二面角C—EM—N的正弦值为.‎ ‎（Ⅲ）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.‎ 所以，线段AH的长为或.‎ ‎20.解：（Ⅰ）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ ‎（Ⅱ）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.‎ 则，得，不符合题设.‎ 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即. 解得.‎ 当且仅当时，，欲使l：，即，‎ 所以l过定点（2，）‎ ‎21. 解：（Ⅰ）因为，所以，，切点为.‎ 由，所以，所以曲线在处的切线方程为，即 ‎（Ⅱ）由，令，‎ 则（当且仅当取等号）.故在上为增函数.‎ ①当时，,故在上为增函数，‎ 所以恒成立，故符合题意；‎ ②当时，由于，，根据零点存在定理，‎ 必存在，使得，由于在上为增函数，‎ 故当时，,故在上为减函数， ‎ 所以当时，,故在上不恒成立，所以不符合题意.综上所述，实数的取值范围为 ‎（III）证明：由 由（Ⅱ）知当时，，故当时，， ‎ 故，故.下面证明：‎ 因为 而，‎ 所以，，即：‎ ‎22.解:(Ⅰ)设点是曲线上任意一点，则,即 ‎(II) 设,则.‎ ‎23.解:(I)当时，‎ 当时，,‎ 当时，‎ 综上，的最小值 ‎(II) 证明: 均为正实数，且满足,‎ ‎∵‎ ‎ ( 当且仅当时，取“=”)‎ ‎∴，即