2019年高考数学精讲二轮教案第一讲 集合、常用逻辑用语
第一讲 集合、常用逻辑用语
考点一 集合的概念及运算
1．集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2．集合运算中的常用方法
(1)数轴法：若已知的集合是不等式的解集，用数轴法求解．
(2)图象法：若已知的集合是点集，用图象法求解．
(3)Venn图法：若已知的集合是抽象集合，用Venn图法求解．
[对点训练]
1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( )
A．9 B．8 C．5 D．4
[解析] 由题意可知A＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，故集合A中共有9个元素，故选A.
[答案] A
2．(2018·江西南昌二中第四次模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，则(∁UB)∩A＝( )
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1]∪(0,3)
C．[0,3) D．(0,3)
[解析] 集合A＝{x|log2x≤2}＝{x|0
0}＝{x|x<1}，则∁UB＝{x|x≥1}，阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝{x|1≤x<2}，故选B.
[答案] B
4．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
[解析] 由A∪B＝A知B⊆A.因为A＝{x|－2≤x≤5}，①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时A∪B＝A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A得解得－3≤m≤3.又因为m≥2，所以2≤m≤3.由①②知，当m≤3时，A∪B＝A.
[答案] m≤3
[快速审题] (1)看到集合中的元素，想到代表元素的意义；看到点集，想到其对应的几何意义．
(2)看到数集中元素取值连续时，想到借助数轴求解交、并、补集等；看到M⊆N，想到集合M可能为空集．
解决集合问题的3个注意点
(1)集合含义要明确：构成集合的元素及满足的性质．
(2)空集要重视：已知两个集合的关系，求参数的取值，要注意对空集的讨论．
(3)“端点”要取舍：要注意在利用两个集合的子集关系确定不等式组时，端点值的取舍问题，一定要代入检验，否则可能产生增解或漏解现象．
考点二 充分与必要条件的判断
充分、必要条件与充要条件的含义
若p、q中所涉及的问题与变量有关，p、q中相应变量的取值集合分别记为A，B，那么有以下结论：
p与q的关系
集合关系
结论
p⇒q，qDp
AB
p是q的充分不必要条件
pD⇒/q，q⇒p
BA
p是q的必要不充分条件
p⇒q，q⇒p
A＝B
p是q的充要条件
pq，qp
A⃘B，B⃘A
p是q的既不充分也不必要条件
[对点训练]
1．(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] |a－3b|＝|3a＋b|⇔|a－3b|2＝|3a＋b|2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2⇔2a2＋3a·b－2b2＝0，又∵|a|＝|b|＝1，∴a·b＝0⇔a⊥b，故选C.
[答案] C
2．(2017·天津卷)设θ∈R，则“<”是“sinθ<”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] ∵<⇔－<θ－<⇔0<θ<，
sinθ<⇔θ∈，k∈Z，，k∈Z，
∴“<”是“sinθ<”的充分而不必要条件，故选A.
[答案] A
3．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，故选A.
[答案] A
4．(2018·山西五校联考)已知p：(x－m)2>3(x－m)是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________________．
[解析] p对应的集合A＝{x|xm＋3}，q对应的集合B＝{x|－40”及它的逆命题均为真命题
D．命题“若x2＋x＝0，则x＝0或x＝－1”的逆否命题为“若x≠0且x≠－1，则x2＋x≠0”
[解析] 对于选项A，命题“∃x∈[0,1]，使x2－1≥0”的否定为“∀x∈[0,1]，都有x2－1<0”，故A项错误；对于选项B，p为假命题，则綈p为真命题；q为真命题，则綈q为假命题，所以(綈p)∨(綈q)为真命题，故B项错误；对于选项C，原命题为真命题，若a·b>0，则a与b的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C项错误；对于选项D，命题“若x2＋x＝0，则x＝0或x＝－1”的逆否命题为“若x≠0且x≠－1，则x2＋x≠0”，故选项D正确，故选D.
[答案] D
2．(2018·清华大学自主招生能力测试)“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是( )
A．∀x∈R，x2－πx<0 B．∀x∈R，x2－πx≤0
C．∃x0∈R，x－πx0≤0 D．∃x0∈R，x－πx0<0
[解析] 全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2－πx≥0”的否定是“∃x0∈R，x－πx0<0”，故选D.
[答案] D
3．(2018·湖南师大附中模拟)已知命题p：∃x0∈(－∞，0)，2x0<3x0；命题q：∀x∈，sinx1，即2x>3x，所以命题p为假命题，从而綈p为真命题；因为当x∈时，x>sinx，所以命题q为真命题，所以(綈p)∧q为真命题，故选C.
[答案] C
4．(2018·豫西南五校联考)若“∀x∈，m≤tanx＋2”为真命题，则实数m的最大值为________．
[解析] 由x∈可得－1≤tanx≤，∴1≤tanx＋2≤2＋，∵“∀x∈，m≤tanx＋2”为真命题，∴实数m的最大值为1.
[答案] 1
[快速审题] (1)看到命题真假的判断，想到利用反例和命题的等价性．
(2)看到命题形式的改写，想到各种命题的结构，尤其是特称命题、全称命题的否定，要改变的两个地方．
(3)看到含逻辑联结词的命题的真假判断，想到联结词的含义．
解决命题的判定问题应注意的3点
(1)判断四种命题真假有下面两个途径，一是先分别写出四种命题，再分别判断每个命题的真假；二是利用互为逆否命题是等价命题这一关系来判断它的逆否命题的真假．
(2)要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立．要判定一个特称(存在性)命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．
(3)含有量词的命题的否定，需从两方面进行：一是改写量词或量词符号；二是否定命题的结论，两者缺一不可．
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝( )
A．{x|－12}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
[解析] 化简A＝{x|x<－1或x>2}，∴∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.
[答案] B
2．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{1} C．{1,2} D．{0,1,2}
[解析] ∵A＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}，故选C
[答案] C
3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
[解析] 集合A表示单位圆上的所有的点，集合B表示直线y＝x上的所有的点．A∩B表示直线与圆的公共点，显然，直线y＝x经过圆x2＋y2＝1的圆心(0,0)，故共有两个公共点，即A∩B中元素的个数为2，故选B.
[答案] B
4．(2018·天津卷)设x∈R，则“<”是“x3<1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由<得－f(0)对任意的x∈(0,2]都成立，则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
[解析] 根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域 为[0,2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0)即可，除所给答案外，还可以举出f(x)＝等．
[答案] f(x)＝sinx，x∈[0,2](答案不唯一)
1.集合作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在前3题的位置进行考查，难度较小．命题的热点依然会集中在集合的运算方面，常与简单的一元二次不等式结合命题．
2．高考对常用逻辑用语考查的频率较低，且命题点分散，其中含有量词的命题的否定、充分必要条件的判断需要关注，多结合函数、平面向量、三角函数、不等式、数列等内容命题。
热点课题1 集合中的新定义问题
[感悟体验]
1．(2018·山西四校联考)已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：
①M＝；
②M＝；
③M＝{(x，y)|y＝cosx}；
④M＝{(x，y)|y＝lnx}．
其中是“Ω集合”的所有序号为( )
A．②③ B．③④
C．①②④ D．①③④
[解析] 对于①，若x1x2＋y1y2＝0，则x1x2＋·＝0，即(x1x2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M，且存在(x2，y2)∈M，则x1x2＋y1y2＝1×x2＋0×y2＝x2>0，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的，故选A.
[答案] A
2．对于集合M，N，定义M－N＝{x|x∈M且x∉N}，MN＝(M－N)∪(N－M)．设A＝，B＝{x|x<0，x∈R}，则AB＝( )
A.
B.
C.∪[0，＋∞)
D.∪(0，＋∞)
[解析] 依题意得A－B＝{x|x≥0，x∈R}，B－A＝，故AB＝∪[0，＋∞)，故选C.
[答案] C
专题跟踪训练(七)
一、选择题
1．(2018·河北衡水中学、河南郑州一中联考)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则集合{2,7,8}是( )
A．A∪B B．A∩B
C．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)
[解析] 解法一：由题意可知∁UA＝{1,2,6,7,8}，∁UB＝{2,4,5,7,8}，∴(∁UA)∩(∁UB)＝{2,7,8}．由集合的运算性质可知(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，即∁U(A∪B)＝{2,7,8}，故选D.
解法二：画出韦恩图(如图所示)，由图可知∁U(A∪B)＝{2,7,8}，故选D.
[答案] D
2．(2018·湖北七市联考)已知N是自然数集，设集合A＝，B＝{0,1,2,3,4}，则A∩B＝( )
A．{0,2} B．{0,1,2} C．{2,3} D．{0,2,4}
[解析] ∵∈N，∴x＋1应为6的正约数，∴x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝3或x＋1＝6，解得x＝0或x＝1或x＝2或x＝5，∴集合A＝{0,1,2,5}，又B＝{0,1,2,3,4}，∴A∩B＝{0,1,2}，故选B.
[答案] B
3．(2018·安徽安庆二模)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，若B⊆A，则实数a＝( )
A．－1 B．2
C．－1或2 D．1或－1或2
[解析] 因为B⊆A，所以必有a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
①若a2－a＋1＝3，则a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.
当a＝－1时，A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}，满足条件；
当a＝2时，A＝{1,3,2}，B＝{1,3}，满足条件．
②若a2－a＋1＝a，则a2－2a＋1＝0，解得a＝1，此时集合A＝{1,3,1}，不满足集合中元素的互异性，所以a＝1应舍去．
综上，a＝－1或2，故选C.
[答案] C
4．(2018·安徽皖南八校联考)已知集合A＝{(x，y)|x2＝4y}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的真子集个数为( )
A．1 B．3 C．5 D．7
[解析] 由得或
即A∩B＝{(0,0)，(4,4)}，
∴A∩B的真子集个数为22－1＝3，故选B.
[答案] B
5．(2018·江西南昌模拟)已知集合A＝{x|y＝}，B＝{x|a≤x≤a＋1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－3]∪[2，＋∞) B．[－1,2]
C．[－2,1] D．[2，＋∞)
[解析] 集合A＝{x|y＝}＝{x|－2≤x≤2}，因A∪B＝A，则B⊆A，所以有所以－2≤a≤1，故选C.
[答案] C
6．(2018·湖北武昌一模)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}，则A－B＝( )
A．{0,1} B．{1,2}
C．{0,1,2} D．{0,1,2,5}
[解析] ∵A＝{x∈N|0≤x≤5}＝{0,1,2,3,4,5}，B＝{x|x2－7x＋10<0}＝{x|21，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”
B．“若am24x0成立
D．“若sinα≠，则α≠”是真命题
[解析] 对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故选项A错误；对于选项B，“若am23x，故选项C错误；对于选项D，“若sinα≠，则α≠”的逆否命题为“若α＝，则sinα＝”，该逆否命题为真命题，所以原命题为真命题，故选D.
[答案] D
8．(2018·山东日照联考)“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 当m<0时，由图象的平移变换可知，函数f(x)必有零点；当函数f(x)有零点时，m≤0，所以“m<0”是“函数f(x)＝m＋log2x(x≥1)存在零点”
的充分不必要条件，故选A.
[答案] A
9．(2018·山西太原模拟)已知命题p：∃x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：若a，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
[解析] x2－x＋1＝2＋≥>0，所以∃x0∈R，使x－x0＋1≥0成立，故p为真命题，綈p为假命题，又易知命题q为假命题，所以綈q为真命题，由复合命题真假判断的真值表知p∧(綈q)为真命题，故选B.
[答案] B
10．(2018·陕西西安二模)已知集合A＝，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝( )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．{(－2,4)，(2,4)} D．[2，＋∞)
[解析] 由A＝，得A＝(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
由B＝{y|y＝x2}，知集合B表示函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)，
所以A∩B＝[2，＋∞)，故选D.
[答案] D
11．(2018·山西太原期末联考)已知a，b都是实数，那么“2a>2b”是“a2>b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 充分性：若2a>2b，则2a－b>1，∴a－b>0，∴a>b.当a＝－1，b＝－2时，满足2a>2b，但a22b不能得出a2>b2，因此充分性不成立．必要性：若a2>b2，则|a|>|b|.当a＝－2，b＝1时，满足a2>b2，但2－2<21，即2a<2b，故必要性不成立．综上，“2a>2b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故选D.
[答案] D
12．(2018·江西南昌二模)给出下列命题：
①已知a，b∈R，“a>1且b>1”是“ab>1”的充分条件；
②已知平面向量a，b，“|a|>1，|b|>1”是“|a＋b|>1”的必要不充分条件；
③已知a，b∈R，“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件；
④命题p：“∃x0∈R，使ex0≥x0＋1且lnx0≤x0－1”的否定为綈p：“∀x∈R，都有exx－1”．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] ①已知a，b∈R，“a>1且b>1”能够推出“ab>1”，“ab>1”不能推出“a>1且b>1”，故①正确；
②已知平面向量a，b，“|a|>1，|b|>1”不能推出“|a＋b|>1”，|a＋b|>1不能推出|a|>1且|b|>1，故②不正确；
③已知a，b∈R，当a2＋b2≥1时，a2＋b2＋2|a|·|b|≥1，则(|a|＋|b|)2≥1，则|a|＋|b|≥1，又a＝0.5，b＝0.5满足|a|＋|b|≥1，但a2＋b2＝0.5<1，所以“a2＋b2≥1”是“|a|＋|b|≥1”的充分不必要条件，故③正确；
④命题p：“∃x0∈R，使ex0≥x0＋1且lnx0≤x0－1”的否定为綈p：“∀x∈R，都有exx－1”，故④不正确．
所以正确命题的个数为2，故选C.
[答案] C
二、填空题
13．(2018·安徽“皖南八校”联考)已知集合A＝{x|x2－x－6≤0}，B＝，则A∩B＝________.
[解析] ∵A＝{x|x2－x－6≤0}＝[－2,3]，B＝＝[1，＋∞)∪(－∞，0)，∴A∩B＝[－2,0)∪[1,3]．
[答案] [－2,0)∪[1,3]
14．若条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
[解析] 綈p是綈q的充分不必要条件等价于q是p的充分不必要条件，条件p：|x＋1|>2即x>1或x<－3.因为条件q：x>a，故a≥1.
[答案] a≥1
15．已知命题p：∀x∈[2,4]，log2x－a≥0，命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a
＝0.若命题“p∧(綈q)”是真命题，则实数a的取值范围是________．
[解析] 命题p：∀x∈[2,4]，log2x－a≥0⇒a≤1.命题q：∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0⇒a≤－2或a≥1，由p∧(綈q)为真命题，得－20}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是________．
[解析] A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有即
所以即≤a<.
[答案]
