2018-2019学年黑龙江省大庆市第四中学高一下学期第二次月考数学试题（解析版）
2018-2019学年黑龙江省大庆市第四中学高一下学期第二次月考数学试题
一、单选题
1．设数列是公差为的等差数列，若，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】由题意可得，代值计算可得答案。
【详解】
因为数列是公差为的等差数列，若，
所以
故选D
【点睛】
本题考查等差数列的基本量计算，属于简单题。
2．若，则下列不等式中不成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：对于A:a
a,则两边同除以a(a−b)可得，故B错误，
对于C，根据绝对值函数的性质则 ，C正确，
对于D,ab2，故D正确，
故选：B
3．已知，则在方向上的投影为 （ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】A
【解析】在方向上的投影为，代值计算可得答案。
【详解】
在方向上的投影为
故选A.
【点睛】
本题考查平面向量的投影计算，属于简单题。
4．已知，且，则最大值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题，且，可得 （当且仅当时取等号），进而求出答案。
【详解】
因为，且
所以 （当且仅当时取等号）
即，
所以
故选D.
【点睛】
本题考查基本不等式，属于基础题。
5．已知等比数列的公比，前项和为，则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】利用等比数列的性质，把用含有的代数式表示，进而求出答案。
【详解】
因为等比数列的公比，
所以
所以
故选C.
【点睛】
本题考查等比数列的性质，属于简单题。
6．如图，在中，为线段上的一点，，且，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝，故选A.
7．一个简单几何体的三视图如图所示，其中正视图是等腰直角三角形，侧视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】由三视图可知，该几何体是一个四棱锥，由侧视图为边长为的正三角形，结合三视图的性质可知四棱锥底面是边长为和的矩形，四棱锥的高为
，故四棱锥体积为，故选D.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.
8．设的三个内角成等差数列，、、成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
【答案】B
【解析】先由的三个内角成等差数列，得出 ,又因为、、成等比数列，所以，整理计算即可得出答案.
【详解】
因为的三个内角成等差数列，
所以 ,
又因为、、成等比数列，
所以
所以
即
又因为
所以
故选B
【点睛】
本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得，再利用三角公式转化，属于中档题.
9．已知等比数列中，，则的结果可化为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题等比数列中，，可得 ，，
再由等比数列的前项和公式得出答案。
【详解】
因为等比数列中，，所以 ，
所以由等比数列的前项和公式得
故选C.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式与前项和公式，属于基础题。
10．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由三视图可知被截去的三棱锥是长方体的一个角，三棱锥的外接球即所对应长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线，从而可求得外接球的表面积．
【详解】
由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示：截去的三棱锥是长方体的一个角，AB⊥AD，AD⊥AC，AC⊥AB，
所以将三棱锥补成长方体，其外接球相同，外接球的直径为长方体的体对角线，半径为：，外接球的表面积为：
故选：A．
【点睛】
本题考查由三视图还原几何体，考查三棱锥外接球表面积的求法，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直则用（a,b,c为三棱的长）；②若 面ABC（SA=a），则（r为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球.
11．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A．25 B．20 C．15 D．10
【答案】B
【解析】根据是等比数列，得，且也是等比数列，结合基本不等式的性质即可求得答案。
【详解】
因为是等比数列，
所以，且也是等比数列，
所以
整理有 （当且仅当时取等号）
所以的最小值为
故选B.
【点睛】
本题考查等比数列的性质与基本不等式，解题的关键是得出，也是等比数列，属于中档题。
12．设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，求出的值，代入中化简，利用基本不等式求出结果.
【详解】
设，则
所以
当且仅当即时取等号
所以的最小值是，则的最大值为.
故选A
【点睛】
本题考查基本不等式，解题的关键是设，得出进行代换，属于偏难题目.
二、填空题
13．将边长为的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体的侧面积为_______
【答案】
【解析】将边长为的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体为圆柱，从而计算得出答案。
【详解】
将边长为的正方形以其一边所在直线为轴旋转一周，所得几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为
【点睛】
本题考查几何体的旋转与侧面积，属于简单题。
14．已知数列，为其前项和，满足，则数列的通项公式______
【答案】
【解析】由题可知当 时， ，时，
由 可得答案。
【详解】
已知数列，为其前项和，满足，
所以时，
时，
所以
当，满足上式，
故数列的通项公式为
【点睛】
本题考查数列通项公式的求法，知识点为，属于基础题。
15．数列的首项为，为等差数列且，若，则______
【答案】10
【解析】由可得，又因为为等差数列，，所以计算可得，从而可得
【详解】
因为，
所以
又因为为等差数列，
所以 ，即
因为数列的首项为，所以
【点睛】
本题考查等差数列的求和公式与性质，解题的关键是得出
，属于一般题。
16．已知数列满足，且，若数列为递增数列，则的取值范围是_______
【答案】
【解析】由题先证明数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，从而得出
，再由求出答案.
【详解】
因为数列为递增数列，，且，
所以，所以
所以
从而可得数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以，整理有
因为 ，所以
整理得，即
所以的取值范围是
【点睛】
本题主要考查等比数列的定义，等比数列的通项公式等，考查运算求解能力以及化归与转化思想.
三、解答题
17．已知平面向量
（1）若，求；
（2）若，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题可得，解出，，进而得出答案。
（2）由题可得，，再由计算得出答案，
【详解】
因为，
所以，即
解得
所以
（2） 若，则
所以，
，，
所以
【点睛】
本题主要考查的向量的模以及数量积，属于简单题。
18．已知等差数列中，为其前项和，
（1）求数列的通项公式;
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由题可得，解得，代入等差数列的通项公式求得答案。（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】
（1）由题是等差数列可得，解得
所以
（2）
所以数列的前项和
【点睛】
本题考查等差数列通项公式的求法以及裂项相消法求和，属于普通题.
19．已知的内角的对边分别为，已知
(1) 若，求；
(2) 若，求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由正弦定理得，，再由余弦定理得，进而求出答案。
（2）由得，
所以由正弦定理得，化简整理有，算出，再由 计算面积。
【详解】
因为,由正弦定理得，
因为，由余弦定理得，即
所以
（2）∵，
∴，
即．由正弦定理得，
∵，
∴，即．
所以，即．
∵,∴ ．
∴ ，即,即三角形为等边三角形
所以
【点睛】
本题主要考查正余弦定理和解三角形问题，解题的关键是掌握基本的三角公式，属于一般题。
20．在数列中，
（1）设，证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）由题可得，，从而证得数列是公差为，首项为1的等差数列。
（2）由（1）可知，，再由错位相减法求和。
【详解】
由题，
可得，
∴数列是公差为，首项为1的等差数列
（2）由（1）可知，
所以数列的前项和
，
整理计算的
【点睛】
数列是高考的重要考点，本题主要考查等差数列的定义以及错位相减法求和，属于一般题。
21．在中，分别为角的对边，
(1)求；
(2)若，求的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由得，从而计算出.
（2）由正弦定理将表示成，再化简整理得答案。
【详解】
解：（1），
则，
则，
因为 ，所以，
因为，所以
（2）由，得
，其中.
由，得，∴的最大值为1，
∴的最大值为.
【点睛】
本题主要考查正余弦定理和解三角形问题，解题的关键是掌握基本的三角公式，属于一般题。
22．在数列中，已知，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，且数列前项和为，若，对恒成立，求实数取值范围。
【答案】（1）（2）
【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可求出数列的通项公式，利用对数运算法则求出数列的通项公式；
（2）对分奇数和偶数讨论，利用等差数列的前项和公式、分离参数、基本不等式的性质可得出实数取值范围。
【详解】
由题在数列中，，，可知数列是以为首项，为公比的
等比数列，所以得
又因为
所以
（2）由（1）可知
当为偶数时
即对任意偶数都成立
同理当为奇数时
对时，恒成立
综上：.
【点睛】
数列是高考的重要考点，本题主要考查等差数列的定义以及数列求和，解题的关键是对分奇数和偶数讨论，属于一般题。
