海南省华侨中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析

海南省华侨中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 海南华侨中学2021届高二年级上学期 第三次段考测试卷（数学）‎ 考试时间：120分钟 注意事项：‎ ‎1. 本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效.‎ ‎2. 本试卷满分150分，考试时间120分钟.‎ 一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在8件同类产品中，有6件是正品，2件次品，从这8件产品中任意抽取2件产品，则下列说法正确的是 A. 事件“至少有一件是正品”是必然事件 B. 事件“都是次品”是不可能事件 C. 事件“都是正品”和“至少一个正品”是互斥事件 D. 事件“至少一个次品”和“都是正品”是对立事件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据题意得出所有的可能种类，然后通过必然事件以及不可能事件的性质判断出A、B错误，再然后通过互斥事件与对立事件的性质判断出C错误以及D正确，即可得出答案．‎ ‎【详解】因为抽取的两件产品有可能都是次品，所以A、B错；‎ 因为事件“至少一个正品”包含事件“都是正品”，所以C错；‎ 因为事件“至少一个次品”和事件“都是正品”包含了所有可能的事件，故互为对立事件，所以D正确，综上所述，故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了事件的关系，主要考查了必然事件、不可能事件、互斥事件、对立事件的相关性质，提高了学生对于事件的关系的判断能力，体现了基础性，是简单题．‎ ‎2.设不同直线：，：，则“”是“”的（ ）‎ - 21 -‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C.‎ 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．‎ ‎1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．‎ ‎2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．‎ ‎3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．‎ ‎3.某校高一新生中的3名同学打算参加“动漫乐园”“学生公司”“篮球之家”“相声社”四个社团.每名同学必须参加一个社团，且只能参加一个社团，则不同的参加方法的种数为（ ）‎ A. 64 B. 81 C. 24 D. 72‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分步计数原理求解．‎ ‎【详解】由题意方法数为．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查分步计数原理，掌握各步概念是解题关键．‎ ‎4.已知正四面体的棱长为2，则（ ）‎ A. -2 B. 0 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ 由立体几何知识证明，从而可得数量积．‎ ‎【详解】如图，取中点，连接，则，，∴平面，于是有，∴．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的数量积，证明两条直线垂直是解题关键．‎ ‎5.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：‎ 甲 乙 丙 丁 平均成绩 ‎86‎ ‎89‎ ‎89‎ ‎85‎ 方差 ‎2.1‎ ‎3.5‎ ‎2.1‎ ‎5.6‎ 从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据均值和方差确定 ‎【详解】选均值大的，同时方差小的，丙合适．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查均值和方差的应用，均值大说明成绩好，方差小说明成绩稳定．‎ - 21 -‎ ‎6.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.‎ 详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如下图所示，假设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 根据数据求出中位数，众数，平均数即可得．‎ ‎【详解】由已知5出现10次，出现次数最多，因此众数是5，即，30个数按序排好，第15个数是5，第16 个数是6，中位数是5.5，即．‎ 平均数为，‎ ‎∴．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查中位数、众数、平均数的概念，属于基础题．‎ ‎8.已知变量，之间的线性回归方程为，且变量，之间的一组相关数据如图所示，则下列说法错误的是（ ）‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎2‎ A. 变量，之间呈负相关关系 B. 可以预测，当时，‎ C. D. 该回归直线必过点 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性回归直线的性质判断．‎ ‎【详解】线性回归方程为中的系数为，∴变量，之间呈负相关关系，A正确；‎ 代入方程得，B正确；‎ 由已知，则，于是D正确，‎ ‎，，C错．‎ 故选：C.‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查线性回归直线方程，掌握回归直线的性质是解题关键．‎ ‎9.一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分.已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负的情况共有（ ）‎ A. 7种 B. 13种 C. 18种 D. 19种 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定4分是哪些数的和，然后确定中场次比赛结果．‎ ‎【详解】4=2+2=2+1+1=1+1+1+1，即甲的4场比赛，胜2场，负2场，或者胜1场平2场负1场，或者平4场．‎ 由此可得．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查排列组合的应用，解题关键是确定完成这件事的方法：先分类再分步．本题即先确定得4分的情况，然后对每种情况再分步计数．‎ ‎10.已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.‎ 详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,‎ 由斜率为得，，‎ 由正弦定理得,‎ - 21 -‎ 所以，故选D.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ 二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎11.今年入夏以来，我市天气反复，降雨频繁.在下图中统计了上个月前15天的气温，以及相对去年同期的气温差（今年气温-去年气温，单位：摄氏度），以下判断错误的是（）‎ A. 今年每天气温都比去年气温高 B. 今年的气温的平均值比去年低 C. 去年8-11号气温持续上升 D. 今年8号气温最低 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察图象，即可判断结果．‎ ‎【详解】由图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年气温，故选项A不正确；‎ 除6、7号，今年气温略高于去年气温外，其它日子，今年气温都低于去年气温，所以今年的气温的平均值比去年低，选项B正确；今年8-11日气温上升，但是气温差逐渐下降，说明 去年8-11号气温持续上升，选项C正确；由图可知，今年8号气温最低，选项D正确；‎ 综上，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查学生的数据分析和数学建模能力．‎ - 21 -‎ ‎12.已知点F是抛物线的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k>0，C,A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ）‎ A. B. 四边形ACBD面积最小值为 C. D. 若，则直线CD的斜率为 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线的极坐标方程求出，然后即可计算求解，判断出各选项的真假．‎ ‎【详解】设AB的倾斜角为，则有，所以，C正确；‎ ‎，若，则，，‎ 直线CD的斜率为，D正确；‎ ‎，所以B不正确；‎ 设 ，由抛物线过焦点弦的性质可知，，‎ ‎，所以A正确．‎ 故选：ACD．‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质应用，抛物线的极坐标方程的应用，考查学生的数学运算能力，属于较难题．‎ 三、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知椭圆的长轴长是矩轴长的倍，则该椭圆的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 题意得，结合，得出．‎ ‎【详解】由题意，所以，‎ ‎∴．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆离心率，掌握关系式是解题关键．‎ ‎14.直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成的角的余弦值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，证明，得异面直线所成的角，然后计算．‎ - 21 -‎ ‎【详解】如图，取中点，连接，，‎ 因为，分别是，的中点，所以，，‎ 即，∴平行四边形，，∴异面直线与所成的角为（或其补角），‎ 在直三棱柱中，设，则由可得：‎ ‎，，，‎ 那么在等腰中．‎ 故答案：．‎ ‎【点睛】本题考查求异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角．‎ ‎15.6名学生，其中3人只会唱歌，2人只会跳舞，剩下1人既会唱歌又会跳舞，选出2人唱歌2人跳舞，共有______种不同的选法.（请用数学作答）‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 根据既会唱歌又会跳舞的那1个人未选中和选中分类，选中后又选为唱歌还是跳舞再分类求解．‎ ‎【详解】根据既会唱歌又会跳舞的那1个人未选中，选中唱歌，选中跳舞分类：‎ ‎．‎ 故答案为：12.‎ ‎【点睛】本题考查组合的应用，解题关键是多面手的安排．可按多面手的作用分类：未选中多面手，选中多面手后安排做一种工作．再确定其它要选的人数．‎ ‎16.对于各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”.若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是4，则的“逆序数”是______.‎ ‎【答案】17‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 用减去4即得．‎ ‎【详解】由题意知正数数组的“逆序数”与的“逆序数”和为，所以的“逆序数”为．‎ 故答案为：17.‎ ‎【点睛】本题考查新定义问题，考查排列组合的应用．解题关键是理解认识到数组与中逆序数的和为．‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.口袋里装有编号为1，2，3，4的四个小球，有放回的抽取两次，记录两次取到小球的编号分别为，.奖励规则如下：‎ ‎①若，则奖励玩具一个； ‎ ‎②若，则奖励水杯一个；‎ ‎③其余情况奖励饮料一瓶.‎ - 21 -‎ 小亮准备参加此项活动.‎ ‎（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；‎ ‎（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）获得饮料的概率大于获得水杯的概率，理由见解析．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 有放回抽取，每次抽取都有4种可能．可计算出总可能数，‎ ‎（Ⅰ）用列举法列出事件“小亮获得玩具”的所有基本事件后可计算概率；‎ ‎（Ⅱ）同理计算出小亮获得水杯的概率以及获得饮料的概率，两者比较即得．‎ ‎【详解】有放回抽取，每次抽取都有4种可能，因此总的基本事件数为，‎ ‎（Ⅰ）事件“小亮获得玩具”包含基本事件为：11，12，13，21，31共5种，概率为；‎ ‎（Ⅱ）事件“小亮获得水杯”包含基本事件为：24，34，44，42，43共5种，概率为．所以获得饮料的概率为 ‎∴获得饮料的概率大于获得水杯的概率．‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件数．本题是用列举法求解．‎ ‎18.已知抛物线过点，且到抛物线焦点的距离为2.直线过点，且与抛物线相交于，两点.‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点恰为线段的中点，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由点在抛物线上，及焦半径公式得的方程组，解之可得；‎ ‎（Ⅱ）用点差法求出直线斜率，得直线方程，联立方程组直接求出交战坐标，得弦长．‎ - 21 -‎ ‎【详解】（Ⅰ）由题意，∵，解得，‎ 抛物线方程为；‎ ‎（Ⅱ）设，则，两式相减得，‎ ‎∴，∵的中点是，∴．‎ ‎∴直线方程为，即，‎ 由，解得，，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查求抛物线标准方程，考查求直线与抛物线的相交弦长．在已知弦中点时，可用点差法求得弦所在直线斜率与弦中点坐标之间的关系．‎ ‎19.如图，在棱长为1的正方体中，点在上移动，点在上移动，，连接.‎ ‎（1）证明：对任意，总有平面；‎ ‎（2）当时，求四面体的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接延长交于，连接，证明，可得线面平行；‎ ‎（2）由棱锥体积公式，得等高的三棱锥体积比等于底面积之比把棱锥转化，两次转化后为．这样易求得体积．‎ ‎【详解】（1）如图，连接延长交于，连接，正方体棱长为1，则面对角线长为，‎ ‎∵，∴，又，∴，∴，‎ 又平面，平面，∴平面；‎ ‎（2）时，是与的交点，是它们的中点，是的交战，也是它们的中点．如图，‎ 则，，‎ ‎∴．‎ - 21 -‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证明线面平等，考查求棱锥的体积．掌握棱锥的体积公式是解题关键．利用体积公式可得同底的棱锥体积比等于高的比，等高的棱锥的体积比等于底面积之比．‎ ‎20.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．‎ ‎(1)求图中a的值；‎ ‎(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.‎ 分数段 ‎[5060)‎ ‎[60,70)‎ ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ x∶y ‎1∶1‎ ‎2∶1‎ ‎3∶4‎ ‎4∶5‎ ‎【答案】（1）（2） (分)（3）‎ ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率分布直方图的性质列方程即可得到的值；‎ ‎（2）由平均数加权公式可得平均数，计算出结果即可；‎ ‎（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在之外的人数．‎ ‎【详解】解(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.‎ ‎(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．‎ ‎(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为 ‎0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.‎ 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为 ‎.‎ 故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图及计算，解题关键认真识图，不遗漏条件，属于基础题.‎ ‎21.已知椭圆：右焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点，若；‎ ‎（1）求椭圆的离心率；‎ ‎（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且. 求椭圆的方程.‎ ‎【答案】（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，即，再由离心率公式可得所求值；‎ - 21 -‎ ‎（2）求得，，可得椭圆方程为，设直线的方程为，联立椭圆方程求得的坐标，以及直线的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得，即可得到所求椭圆方程．‎ ‎【详解】（1），所以即 可得；‎ ‎（2），，‎ 即，，‎ 可得椭圆方程为，‎ 设直线的方程为，‎ 代入椭圆方程可得，‎ 解得或，‎ 代入直线方程可得或（舍去），‎ 可得，‎ 圆心在直线上，且，可设，‎ 可得，解得，‎ 即有，可得圆的半径为2，‎ 由直线和圆相切的条件为，‎ 可得，解得，‎ - 21 -‎ 可得，，‎ 可得椭圆方程为.‎ 点睛】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎22.如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动.‎ ‎（1）当时，求点的位置；‎ ‎（2）设平面与平面所成二面角的大小为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）是的靠近的三等分点；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证明，再证得平面，然后以为轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，设出点坐标，由可求得点位置；‎ ‎（2）求出平面和平面的一个法向量，由法向量夹角余弦的绝对值等于二面角的余弦可得结论．‎ ‎【详解】（1）∵，∴，‎ ‎，∴，‎ - 21 -‎ 又，平面平面，平面平面，平面，∴平面，‎ 以为轴建立空间直角坐标系，如图，‎ ‎，‎ 设，，‎ 则，‎ ‎∵，∴，解得，∴．‎ 是的靠近的三等分点．‎ ‎（2）由（1），设平面的一个法向量为，则，取，则，‎ 易知平面的一个法向量为，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴．‎ - 21 -‎ ‎【点睛】本题考查用空间向量法研究空间直线垂直，求二面角．解题关键是建立空间直角坐标系．‎ - 21 -‎ ‎ ‎ - 21 -‎