2018-2019学年宁夏银川一中高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年宁夏银川一中高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 宁夏银川一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由已知等式变形得，再利用复数的四则运算法则求出z的代数形式，再写出虚部。‎ 详解：由有，则z 的虚部为，故选B.‎ 点睛：本题主要考查了复数的四则运算以及复数的代数形式，属于容易题。若复数，则复数的虚部为。‎ ‎2．对于一组数据，如果将它们改变为，则下列结论正确的是（ ）‎ A．平均数不变，方差变 B．平均数与方差均发生变化 C．平均数与方差均不变 D．平均数变，方差保持不变 ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据平均数的公式变化前后的平均数，再根据方差公式进行计算变化前后的方差，从而可得结果.‎ 详解：由平均数公式得，变化前的平均数为，‎ 变化后的平均数为；‎ 变化前方差，‎ 变化后方差 可得平均数变，方差保持不变，故选D.‎ 点睛：本题考查了平均数和方差的公式，平均数是所有数据的和除以数据的个数，‎ ‎，方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数. ‎ ‎3．设实数a,b,c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于　(　　)‎ A．0 B． C． D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵三个数， ， 的和为1，其平均数为 ‎∴三个数中至少有一个大于或等于 假设， ， 都小于，则 ‎∴， ， 中至少有一个数不小于 故选B.‎ ‎4．下列有关命题的说法正确的是(　　)‎ A．命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题“，”的否定是“，”‎ D．命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据否命题的概念可知选项A不正确，再由特称命题的否定为全称命题知选项C不正确，对于选项B，∵，∴x=-1或6，故“”是“”的充分不必要条件，不正确，故选D 考点：本题考查了简易逻辑知识 点评：近年全国和各省市高考对这部分内容的考查主要有：充分条件和必要条件的判断，四种命题的判断、全称命题、特称命题的否定等方面 ‎5．从2010名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2010人中，每人入选的概率（ ）‎ A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且为 D．都相等，且为 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：从人中剔除人，每人不被剔除的概率是，剩下的人抽取人，每人被抽到的概率是，因此在人中，每人入选的概率是，故选C.‎ 考点：抽样方法．‎ ‎6．根据如下样本数据得到的回归方程为，若=5.4，则x每增加1个单位，估计y(　　) ‎ A．增加0.9个单位 B．减少0.9个单位 C．增加1个单位 D．减少1个单位 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得，，回归方程为，若，且回归直线过点，，解得每增加一个单位，就减少个单位，故选B.‎ ‎7．在区间[-1,1]上任选两个数，则的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意知，所有的基本事件构成的平面区域为，其面积为．设“在区间[-1,1]上任选两个数，则”为事件A，则事件A 包含的基本事件构成的平面区域为，其面积为．‎ 由几何概型概率公式可得所求概率为．选A．‎ ‎8．下列关于回归分析的说法中错误的是（ ）‎ A．回归直线一定过样本中心 B．残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 C．两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 D．甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，回归直线一定过样本中心，正确；‎ 对于B，可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适。带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高。故正确；‎ 对于C，可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故正确；‎ 对于D，∵相关指数取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合效果越好，又∵甲、乙两个模型的相关指数的值分别约为0.98和0.80，0.98>0.80，∴甲模型的拟合效果好，故不正确。‎ 本题选择D选项.‎ ‎9．在实数集中定义一种运算“”，对任意，为唯一确定的实数，且具有性质：‎ ‎（1）对任意，； （2）对任意，.‎ 则函数的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据性质，，‎ 当且仅当时，的最小值为3．‎ 故选：B．‎ 考点：1．新定义；2．基本不等式．‎ ‎10．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学。“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如下流程框图，若输入的分别为96、36，则输出的为( )‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：由程序框图可知： 当a=96，b=36时，满足a＞b，则a=96-36=60，i=1 由a＞b，则a=60-36=24，i=2 由a＜b，则b=36-24=12，i=3 由a>b，则b=24-12=12，i=4 由a=b=12，输出i=4． 故选：A．‎ ‎11．有这样一个有规律的步骤：对于数25，将组成它的数字2和5分别取立方再求和为133，即；对于133也做同样操作： ，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（ ）‎ A．25 B．250 C．55 D．133‎ ‎【答案】D ‎【解析】 , , ,‎ ‎ , ,,……‎ 具有周期规律， 则第2017次操作后得到的数是133.选D.‎ ‎12．设函数,若函数在内有两个极值点，则实数的取值范围是( )‎ A． B．(0,1)‎ C．(0,2) D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数在内有两个极值点，即在有两个零点，可转化为函数与函数在区间上有两个交点，通过数形结合可以求出答案。‎ ‎【详解】‎ 对函数求导，可得，‎ 由题意可知，函数与函数在区间上有两个交点，‎ 对函数求导，，‎ 当时，；当时，，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 且当时，，结合单调性可以画出函数在大致图象（如下图）。‎ 函数是斜率为且恒过点（1，0）的直线，设与相切时直线斜率为，‎ 则当时，函数与函数在区间上有两个交点,‎ 设切点为（），则，，‎ 则切线方程为，‎ 因为切线过点（1，0），则，‎ 解得或，‎ 因为，所以只有满足题意，‎ 此时切线方程为，，‎ 所以当时，函数与函数在区间上有两个交点，即函数在内有两个极值点。‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数极值问题，函数与其导数的关系，属于较难题。‎ ‎13．已知复数满足， 为的共轭复数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得： ‎ ‎∴， ，‎ 故选：A 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎14． 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：‎ 则第个图案中有白色地面砖的块数是 ____________‎ ‎【答案】4n+2‎ ‎【解析】‎ 解：方法一：（归纳猜想法）‎ 观察可知：除第一个以外，每增加一个黑色地板砖，相应的白地板砖就增加四个，‎ 因此第n个图案中有白色地面砖的块数是一个“以6为首项，公差是4的等差数列的第n项”．‎ 故第n个图案中有白色地面砖的块数是4n+2‎ ‎15．某单位实行职工值夜班制度，己知A，B，C，D，E5名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，D星期四值夜班，则今天是星期__________‎ ‎【答案】周四 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意先确定今天不是星期一，也不是星期日，然后结合题意分情况讨论，从而选出答案。‎ ‎【详解】‎ 因为A昨天值夜班，从今天起B，C至少连续4天不值夜班，所以今天不是星期一，也不是星期日。‎ 若今天是星期二，则A星期一值夜班，D星期四值夜班，则B，C会在周二、周三及周五中的某两天值夜班，不满足题意；‎ 若今天是周三，则A星期二值夜班，D星期四值夜班，则B，C至少一人会在周五或周三值夜班，不满足题意；‎ 若今天是周四，则A星期三值夜班，D星期四值夜班，则B，C可以在下周一与周二值夜班，满足题意；‎ 若今天是周五，则A星期四值夜班，与D星期四值夜班矛盾，不满足题意；‎ 若今天是周六，则A星期五值夜班，D星期四值夜班，则下周一与周二B，C至少一人值夜班，不满足题意。‎ 故答案为今天是星期四。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了学生的推理能力，属于基础题。‎ ‎16．已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是__________‎ ‎【答案】[-1,3]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导可以得出函数为R上单调递增函数，由可以知道函数为奇函数，然后结合函数的性质对等式变形，可以转化为时，存在解，结合二次函数性质可以求出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 由题意，定义域为R且，所以函数为R上单调递增函数，‎ 又因为，所以函数为奇函数，‎ 因为，在上有解，‎ 则， ‎ 所以，‎ 即时，存在解，‎ 因为二次函数，在上最大值为，最小值为，‎ 故，在上值域为[-1,3]，‎ 则当时，，使得成立。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数与导数的关系，考查了奇函数的性质，以及二次函数的性质，属于中档题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．为了解某冷饮店的经营状况，随机记录了该店月的月营业额（单位：万元）与月份的数据，如下表：‎ ‎（1）求关于的回归直线方程；‎ ‎（2）若在这些样本点中任取两点，求恰有一点在回归直线上的概率.‎ 附：回归直线方程中，‎ ‎ ，.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意计算平均数与回归系数，写出回归方程；‎ 详解：（2）用，分别表示所取的两个样本点所在的月份，则该试验的基本事件用列举法可得包含个基本事件，设“恰有一点在回归直线上”为事件，则包含个基本事件，用古典概型直接求概率即可。‎ ‎（1），，，，所以，‎ 于是，所以回归有线方程为：.‎ ‎（2）用，分别表示所取的两个样本点所在的月份，则该试验的基本事件可以表示为有序实数对，于是该试验的基本事件空间为：‎ ‎ ，共包含个基本事件，‎ 设“恰有一点在回归直线上”为事件，则中，共包含个基本事件，‎ 所以.‎ 点睛：本题考查回归直线方程的求法和古典概型，属基础题.‎ ‎18．已知向量a＝(－2,1)，b＝(x，y)．‎ ‎(1)若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a·b＝－1的概率；‎ ‎(2)若x，y在连续区间[1,6]上取值，求满足a·b<0的概率．‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ ‎（1）设表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共36个．……2分 用表示事件“”，即.………………………………………3分 则包含的基本事件有（1，1），（3，2），（5，3），共3个．……………………5分 ‎∴．‎ 答：事件“”的概率为．……………………………………………6分 ‎（2）用表示事件“”，即.…………………………………7分 试验的全部结果所构成的区域为，…8分 构成事件的区域为，‎ 如图所示．……………………………………………10分 所以所求的概率为．‎ 答：事件“”的概率为．……………12分 ‎19．进入12月以来，某地区为了防止出现重污染天气，坚持保民生、保蓝天，严格落实机动车限行等一系列“管控令”.该地区交通管理部门为了了解市民对“单双号限行”的赞同情况，随机采访了220名市民，将他们的意见和是否拥有私家车情况进行了统计，得到如下的列联表：‎ 赞同限行 不赞同限行 合计 没有私家车 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 有私家车 ‎70‎ ‎40‎ ‎110‎ 合计 ‎160‎ ‎60‎ ‎220‎ ‎（1）根据上面的列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关；‎ ‎（2）为了了解限行之后是否对交通拥堵、环境污染起到改善作用，从上述调查的不赞同限行的人员中按分层抽样抽取6人，再从这6人中随机抽出3名进行电话回访，求3人中至少抽到1名“没有私家车”人员的概率.‎ 附：.‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由公式可得的观测值 ，与临界值比较，即可得结论；（2）根据分层抽样方法可得从“没有私家车”中抽取人，从“有私家车”中抽取人，利用列举法可得，再从这人中随机抽出名共有基本事件共个，其中人中至少抽到名“没有私家车”人员的事件有个，根据古典概型概率公式可得结果.‎ 试题解析：（1）的观测值 .‎ 所以不能在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“是否赞同限行与是否拥有私家车”有关.‎ ‎（2）设从“没有私家车”中抽取人，从“有私家车”中抽取人，由分层抽样的定义可知，解得，.‎ 在抽取的6人中，“没有私家车”的2名人员记为，，“有私家车”的4名人员记为，，，，则所有的抽样情况如下：‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，，‎ ‎，，，.‎ 共20种.‎ 其中至少有1名“没有私家车”人员的情况有16种.‎ 记事件为至少抽到1名“没有私家车”人员，则.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查分层抽样法的应用、古典概型概率公式以及独立性检验，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎20．为了解市民对A，B两个品牌共享单车使用情况的满意程度，分别从使用A，B两个品牌单车的市民中随机抽取了100人，对这两个品牌的单车进行评分，满分60分．根据调查，得到A品牌单车评分的频率分布直方图，和B品牌单车评分的频数分布表：‎ ‎ ‎ 根据用户的评分，定义用户对共享单车评价的“满意度指数”如下：‎ 评分 满意度指数 ‎（1）求对A品牌单车评价“满意度指数”为的人数； ‎ ‎（2）从对A，B两个品牌单车评分都在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人是A品牌单车的评分人的概率；‎ ‎【答案】（1）20； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据频率分布直方图可以直接求出答案；（2）对A，B两个品牌单车评分都在范围内的人中随机选出2人，列出所有的6种情况，恰有1人是A品牌的有3种，即可求出所求概率。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由A的频率分布直方图可知，对A评分低于30的频率为，(0.003+0.005+0.012)×10=0.2‎ 所以评分低于30的人数为100×0.2=20.‎ ‎（2）对A评分在[0,10)范围内的有3人，设为；‎ 对B评分在[0,10)范围内的有1人，设为N.‎ 从这4人中随机选出2人的选法为：‎ 共6种.‎ 其中，恰有1人是A的选法为.共3种.‎ 故概率为P(A)=.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图、概率问题，属于中档题。‎ ‎21．设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－2|，x∈R，不等式f(x)≤6的解集为M.‎ ‎（1）求M；‎ ‎（2）当a2，b2∈M时，证明： |a＋b|≤|ab＋3|.‎ ‎【答案】（1）[－3,3]； （2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）去绝对值将不等式化为其等价形式，求解即可；（2）利用分析法，将不等式转化为3(a＋b)2≤(ab＋3)2，证明即可。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)|x＋2|＋|x－2|≤6等价于或或，解得－3≤x≤3，‎ ‎∴M＝[－3,3].‎ ‎(2) 当a2，b2∈M时，即0≤a2≤3,0≤b2≤3时，‎ 要证|a＋b|≤|ab＋3|，即证3(a＋b)2≤(ab＋3)2，‎ ‎3(a＋b)2－(ab＋3)2＝3(a2＋2ab＋b2)－(a2b2＋6ab＋9)＝3a2＋3b2－a2b2－9＝(a2－3)(3－b2)≤0，‎ ‎∴|a＋b|≤|ab＋3|.‎ ‎【点睛】‎ 绝对值不等式，通常通过分类讨论去掉绝对值，转化为它的等价不等式。‎ ‎22．设函数，．‎ ‎（1）求函数的单调性；‎ ‎（2）如果对任意的，都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在单调递减，在单调递增；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导，分类讨论即可求出它的单调性；（2）先求出在上的最大值，则在恒成立，然后可转化为在上恒成立，求出在的最大值，即可求出的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 当时，，函数在上单调递增；‎ 当时，令，得，此时，函数在单调递减，在单调递增. ‎ ‎（2）由 得，由 得或，‎ 因为，所以在单调递减，在单调递增，‎ 又因为，所以，‎ 由题意，可转化为在上恒成立，‎ 即在上恒成立， ‎ 设，因为 令，则 显然时，，所以在在单调递减，‎ 又因为，故当时，，时，，‎ 即当时，时，，‎ 所以，函数在区间单调递增，在区间上单调递减 所以，‎ 故时，在上恒成立，‎ 即对任意的，都有成立，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在最大值与最小值问题中的应用，属于较难题。‎