江西省新余一中、宜春一中2020-2021学年高二上学期联考数学试题 Word版含答案

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新余一中宜春一中2021届高二联考数学试卷 一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎2.是虚数单位，若，则的值是（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎3.对大于或等于的正整数的幂运算有如下分解方式: ,,,…‎ ‎,,，…‎ 根据上述分解规律,则,的分解中最小的正整数是,则（ ）‎ A.9      B.10     C.11       D.12‎ ‎4.“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎5.如图所示，在边长为1的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎6.已知函数的图象在点处的切线与直线平行,若数列的前项和为,则的值为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点， 是的中点，则直线的位置关系是（ ）‎ A.平行 B.相交 C.异面垂直 D.异面不垂直 - 15 -‎ ‎8. 在中，，以为焦点，经过点的椭圆与双曲线的离心率分别为，则(   )‎ A. B. C. D.‎ ‎9. 在等比数列中, ,则能使不等式成立的最大正整数是(   )‎ A.5     B.6      C.7       D.8‎ ‎10.已知定义在上的函数满足恒成立(其中为函数的导函数)，对于任意实数，，下列不等式一定正确的是(   )‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎11.已知点，曲线，直线 (且)与曲线C交于两点，若周长 的最小值为2，则p的值为(   )‎ A.8 B.6 C.4 D.2‎ ‎12.已知函数在处的导数相等，则不等式恒成立时的取值范围为(   )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知直线 与抛物线 相切，则  ．‎ ‎14.记为等差数列的前n项和，，则___________.‎ ‎15.已知三棱锥的各顶点均在一个半径为的球面上,球心在上, 平面,,则三棱锥与球的体积之比为__________.‎ ‎16.已知函数，给出以下命题:‎ ‎①若函数不存在单调递减区间，则实数b的取值范围是;‎ ‎②过点且与曲线相切的直线有三条;‎ ‎③方程的所有实数的和为16.‎ 其中真命题的序号是___________.‎ 三、解答题(本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．)‎ ‎17.(10分)已知函数.‎ - 15 -‎ ‎(1).当时,解不等式；‎ ‎(2).若的解集为 ,求证: .‎ ‎18.(12分)已知的内角的对边分别为，满足．‎ 有三个条件：①； ②； ③．‎ 其中三个条件中两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设为边上一点，且，求的面积．‎ ‎19.(12分)随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：‎ 分组 频数（单位：名）‎ 使用“余额宝”‎ 使用“财富通”‎ 使用“京东小金库”‎ ‎80‎ 使用其他理财产品 ‎120‎ 合计 ‎1200‎ 已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多200名.‎ ‎(1).求频数分布表中的值；‎ ‎(2).已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.‎ 注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.‎ - 15 -‎ ‎20.(12分)如图，在四棱锥中，，， . 分别为棱的中点，.‎ ‎(1)证明:平面平面；‎ ‎(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值｡‎ ‎21.(12分)已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在斜率为-1的直线与椭圆相交于两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎22.(12分)己知函数．‎ ‎（1）当时，函数在上是减函数，求b的取值范围；‎ ‎（2）若方程的两个根分别为，求证：.‎ 新余一中、宜春一中2021届高二联考数学试卷答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C C A B D C A C D B C ‎1、已知集合，，则( )‎ - 15 -‎ A. B. C. D.‎ ‎1答案及解析：‎ 答案：B 解析：依题意，知，｝，故，故选B.‎ ‎ 2．是虚数单位，若，则的值是 A、 B、 C、 D、‎ ‎2【答案】C ‎【解析】因为，所以由复数相等的定义可知，所以，故应选．‎ ‎3、对大于或等于的正整数的幂运算有如下分解方式: ,,,…‎ ‎,,，…‎ 根据上述分解规律,则,的分解中最小的正整数是,则 (   )‎ A.9          B.10         C.11         D.12‎ ‎3答案及解析：‎ 答案：C 解析：已知 ‎∵,∴.‎ 的分解中最小的正整数是,分析正整数的3次幂运算的分解式,‎ 可知最小的正整数为,故.‎ 故选C.‎ ‎4、“方程表示双曲线”的一个充分不必要条件是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎4答案及解析：‎ 答案：A 解析：方程表示双曲线的充要条件是，解得.根据四个选项可知，充分不必要条件是A.故选A ‎ 5、如图所示，在边长为1的正方形中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）B - 15 -‎ A. B． C． D．‎ ‎6、已知函数的图象在点处的切线与直线平行,若数列的前项和为,则的值为(   )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6答案及解析：‎ 答案：D 解析：由已知得,函数的图象在点处的切线的斜率为,故,所以,此时直线与直线不重合,满足题意,则,所以,故.‎ ‎7、如图所示，在正方体中，是底面正方形的中心，是的中点，是的中点，则直线的位置关系是( )‎ A. 平行 B.相交 ‎ C.异面垂直 D.异面不垂直 ‎7答案及解析：‎ 答案：C 解析：建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为2，则，,,,则直线的位置关系是异面垂直.‎ ‎8、在中，，以为焦点，经过点的椭圆与双曲线的离心率分别为，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8答案及解析：‎ 答案：A - 15 -‎ 解析：如图，分别设椭圆与双曲线的标准方程为，，焦距为，则，.∵点在椭圆上，∴,即.又∵点在双曲线上，∴，即，得，则.‎ ‎9、在等比数列中, ,则能使不等式成立的最大正整数是(   )‎ A.5     B.6    C.7    D.8‎ 答案：C 解析：本题综合考查了数列与不等式的知识.‎ ‎∵在等比数列中, ,∴公比,∴时, ;时, .‎ ‎∵,∴,,,‎ ‎∴,‎ 又当时, ,‎ ‎∴使不等式成立的的最大值为.‎ ‎ 10、已知定义在上的函数满足恒成立(其中为函数的导函数)，对于任意实数，，下列不等式一定正确的是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10答案及解析：‎ 答案：D - 15 -‎ 解析：因为在上恒成立，‎ 设，有，‎ 故在上单调递增.‎ 因为，所以，，‎ 所以，，‎ 即，，‎ 所以，，‎ 两式相加，得，C错，D对；‎ 取，，则A不对；‎ 取，，则B不对.‎ ‎ ‎ ‎11、已知点，曲线，直线 (且)与曲线C交于两点，若周长 的最小值为2，则p的值为( )‎ A.8 B.6 C.4 D.2‎ ‎12、已知函数在处的导数相等，则不等式恒成立时m的取值范围为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11答案及解析：‎ 答案：B 解析：易知曲线C是由两抛物线和构成，如图，设MN与y轴的交点为D，抛物线的焦点为F，‎ 连接.即，则，的周长，当且仅当M，R，F三点共线时取等号，故，所以.‎ ‎12答案及解析：‎ 答案：C 解析：由题得.由函数在，处的导数相等，得.‎ 恒成立，恒成立.‎ - 15 -‎ 令，‎ 则.‎ 当时，；当时，.‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，.故选C.‎ ‎13、已知直线 与抛物线 相切，则  ．‎ ‎12答案及解析：‎ 答案：‎ ‎14、记为等差数列的前n项和，，则___________.‎ ‎14答案及解析：‎ 答案：4‎ 解析：因，所以，即，‎ 所以．‎ ‎15、已知三棱锥的各顶点均在一个半径为的球面上,球心在上, 平面,,则三棱锥与球的体积之比为__________.‎ ‎15答案及解析：‎ 答案：‎ 解析：如图:‎ 依题意, ,又,, 因此,,. 而, 因此.‎ ‎16、已知函数，给出以下命题:‎ ‎①若函数不存在单调递减区间，则实数b的取值范围是;‎ - 15 -‎ ‎②过点且与曲线相切的直线有三条;‎ ‎③方程的所有实数的和为16.‎ 其中真命题的序号是___________.‎ ‎16答案及解析：‎ 答案：②‎ 解析：因为，所以，若函数不存在单调递减区间，则有，解得，所以①错误;设过点的直线与曲线相切于点，则有，又点在曲线上，所以，代入上式，得，解得或或，所以过点且与曲线相切的直线有三条，②正确;计算得函数的图象关于点成中心对称，且函数的图象也关于点成中心对称，所以方程的所有实数根的和为，③错误.综上所述，真命题的序号为②.‎ ‎17、已知函数.‎ ‎(1).当时,解不等式;‎ ‎(2).若的解集为,求证: .答案：1.当时,不等式为,‎ ‎∴或或,‎ ‎∴不等式的解集为. 2. ,即,解得,而,‎ 解集是,∴,解得,‎ 所以,‎ ‎∴.‎ 当且仅当时等号成立.‎ ‎18、已知的内角的对边分别为，满足．‎ 有三个条件：①；②；③．‎ - 15 -‎ 其中三个条件中两个正确，请选出正确的条件完成下面两个问题：‎ ‎（1）求c；‎ ‎（2）设D为边上一点，且，求的面积．‎ ‎18答案：（1）因为，所以，即， ‎ A为钝角，与矛盾，‎ 故①②中仅有一个正确，③正确； ‎ 显然，得； ‎ 当①③正确时，‎ 由，得（无解）,‎ 当②③正确时，‎ 由于，，得； ‎ ‎（2）因为，，则,‎ 则，‎ ‎， ‎ 故的面积为．‎ ‎19、随着互联网金融的不断发展，很多互联网公司推出余额增值服务产品和活期资金管理服务产品，如蚂蚁金服旗下的“余额宝”，腾讯旗下的“财富通”，京东旗下“京东小金库”.为了调查广大市民理财产品的选择情况，随机抽取1200名使用理财产品的市民，按照使用理财产品的情况统计得到如下频数分布表：‎ 分组 频数（单位：名）‎ 使用“余额宝”‎ 使用“财富通”‎ 使用“京东小金库”‎ ‎80‎ 使用其他理财产品 ‎120‎ 合计 ‎1200‎ 已知这1200名市民中，使用“余额宝”的人比使用“财富通”的人多200名.‎ ‎1.求频数分布表中的值；‎ ‎2.已知2018年“余额宝”的平均年化收益率为，“财富通”的平均年化收益率为.若在1200名使用理财产品的市民中，从使用“余额宝”和使用“财富通”的市民中按分组用分层抽样方法共抽取5人，然后从这5人中随机选取2人，假设这2人中每个人理财的资金有10000元，这2名市民2018年理财的利息总和为，求的分布列及数学期望.‎ - 15 -‎ 注：平均年化收益率，也就是我们所熟知的利息，理财产品“平均年化收益率为”即将100元钱存入某理财产品，一年可以获得3元利息.‎ ‎ 19答案及解析：‎ 答案：1.据题意，得，‎ 所以. ‎ ‎2.据，得这被抽取的5人中使用“余额宝”的有3人，使用“财富通”的有2人.‎ ‎10000元使用“余额宝”的利息为（元）.‎ ‎10000元使用“财富通”的利息为（元）.‎ 所有可能的取值为500（元），700（元），900（元）.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为：‎ ‎500‎ ‎700‎ ‎900‎ ‎（元）. ‎ ‎ ‎ ‎20、如图，在四棱锥中，，， .分别为棱的中点，.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值｡‎ - 15 -‎ ‎20答案及解析：‎ 答案：解：（1）证明：因为点为的中点，‎ 所以四边形为平行四边形，即. ‎ 因为分别为棱的中点，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 所以平面平面 ‎（2）如图所示，‎ 因为为相交直线，所以平面.‎ 不防设则以与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系 设，‎ 从而，‎ 而的法向量记为，则 可得，令则 又面的法向量为，二面角的大小为.‎ ‎，解得 ‎ 所以，‎ 所以，‎ 设平面的法向量为，则，可得.‎ 令则，所以 设直与平面所成角为，‎ - 15 -‎ 则. ‎ ‎21、已知椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆C上.‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）是否存在斜率为-1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎21答案及解析：‎ 答案：（1）因为椭圆C的左右焦点分别为，，‎ 所以.由椭圆定义可得，‎ 解得，所以，所以椭圆C的标准方程为 ‎（2）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为，‎ 由得，即，，‎ 解得，设，，则，，‎ 由于，设线段MN的中点为E，则，‎ 所以又，所以，解得.‎ 当时，不满足.‎ 所以不存在满足条件的直线l.‎ 解析：‎ ‎22、己知函数．‎ ‎（1）当时，函数在上是减函数，求b的取值范围；‎ ‎（2）若方程的两个根分别为，求证：.‎ ‎22答案及解析：‎ - 15 -‎ 答案：（1）∵在上递减，‎ ‎∴对恒成立.‎ 即对恒成立，所以只需.‎ ‎∵，∴，‎ 当且仅当时取“=”，∴.‎ ‎（2）由已知，得，‎ ‎∴两式相减，‎ 得.‎ 由知 ‎，‎ 设，则.‎ ‎∴.‎ ‎∴在上递增，∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 即.‎ - 15 -‎