2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年重庆市七校联盟高二上学期联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．在复平面内，复数的共轭复数为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．‎ ‎2．若，则 A．2 B．1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】在所给的等式中，分别令，，可得要求式子的值．‎ ‎【详解】‎ ‎，令，可得．‎ 再令，可得，‎ 则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值问题，属于基础题．‎ ‎3．用反证法证明“若，，则，全为”时，假设正确的是（ ）‎ A．，中只有一个为 B．，至少一个为 C．，全不为 D．，至少有一个不为 ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据反证法的概念，把要证的结论否定后，即可得到所求的反设.‎ 详解：由题意可知，由于“，则全为”的否定为“至少有一个不为”，故选D.‎ 点睛：本题主要考查了反证法的定义的理解与应用，正确理解反证法的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.‎ ‎4．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是 A．使用了归纳推理 B．使用了类比推理 C．使用了“三段论”，但推理形式错误 D．使用了“三段论”，但小前提错误 ‎【答案】C ‎【解析】有理数包含有限小数，无限不循环小数，以及整数，故有些有理数是无限循环小数，这个说法是错误的，即大前提是错误的.‎ ‎【详解】‎ 大前提的形式：“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，‎ 不符合三段论推理形式，‎ 推理形式错误.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查演绎推理的基本方法，解题的关键是理解演绎推理的三段论原理，在大前提和小前提中，若有一个说法是错误的，则得到的结论就是错误的．‎ ‎5．已知随机变量服从正态分布，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果．‎ ‎【详解】‎ 根据随机变量服从正态分布，所以密度曲线关于直线对称，‎ 由于，所以，‎ 所以，‎ 则，‎ 所以．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．‎ ‎6．已知函数，，则a的值为 A． B．1 C．2e D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，求出函数的导数，将代入可得，变形可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，函数，则，‎ 若，则.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题．‎ ‎7．观察下列各式：a+b=1.a2+b2=3，a3+b3=4 ，a4+b4=7,a5+b5=11,…，则a10+b10=（ ）‎ A．28 B．76 C．123 D．199‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 由题观察可发现，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 即,‎ 故选C. ‎ ‎【考点】观察和归纳推理能力.‎ ‎8．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.‎ ‎【详解】‎ 依题意,,故.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查条件概型的计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎9．小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有(　　)‎ A．7种 B．8种 C．6种 D．9种 ‎【答案】A ‎【解析】要完成的一件事是“至少买一张IC电话卡”，分三类完成：买1张IC卡，买2张IC卡，买3张IC卡．而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法，即买一张20元面值的或买一张30元面值的；买2张IC卡有3种方法，即买两张20元面值的或买两张30元面值的或20元面值的和30元面值的各买一张，买3张IC卡有2种方法，即买两张20元面值的和一张30元面值的或3张20元面值的，故共有2＋3＋2＝7(种)不同的买法．‎ ‎10．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：击中目标时甲射击了两次包括甲乙第一次均未击中、甲第二次击中，及甲前两次均未击中、乙第二次才击中，所以其概率为，故选D.‎ ‎【考点】独立重复试验的概率.‎ ‎11．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 A．72 B．120 C．144 D．168‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：将所有的安排方法分成两类，第一类：歌舞类节目中间不穿插相声节目，‎ 有(种)；‎ 第二类：歌舞类节目中间穿插相声节目，有(种)；‎ 根据分类加法计数原理，共有96+24=120种不同的排法.‎ 故选B.‎ ‎【考点】1、分类加法计数原理；2、排列.‎ ‎12．已知函数的定义域为，部分对应值如下表：‎ 的导函数的图象如图所示，‎ 则下列关于函数的命题：‎ ‎① 函数是周期函数；‎ ‎② 函数在是减函数；‎ ‎③ 如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；‎ ‎④ 当时，函数有4个零点。‎ 其中真命题的个数是 ( )‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【答案】D ‎【解析】①显然错误；③容易造成错觉，tmax＝5；④错误，f(2)的不确定影响了正确性；②正确，可有f′(x)<0得到．‎ 二、填空题 ‎13．展开式中二项式系数最大的项的系数为______用数字作答 ‎【答案】24‎ ‎【解析】由题意利用二项式展开式的通项公式、二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项的系数．‎ ‎【详解】‎ 展开式中的通项公式为，‎ 故第项的二项式系数为，故当时，二项式系数最大，‎ 故二项式系数最大的项的系数为.‎ 故答案为：24．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．‎ ‎14．______．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】由定积分的定义进而求解．‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：16．‎ ‎【点睛】‎ 考查定积分的计算，属于基础题．‎ ‎15．将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，清华大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有______种 ‎【答案】150‎ ‎【解析】每所大学至少保送一人，可以分类来解，当5名学生分成2，2，1时，当5名学生分成3，1，1时，根据分类计数原理得到结果．‎ ‎【详解】‎ 当5名学生分成2，2，1或3，1，1两种形式，‎ 当5名学生分成2，2，1时，共有种结果，‎ 当5名学生分成3，1，1时，共有种结果，‎ 根据分类计数原理知共有种.‎ 故答案为：150．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．‎ ‎16．给出下列命题：‎ 用反证法证明命题“设a，b，c为实数，且，，则，，”时，要给出的假设是：a，b，c都不是正数；‎ 若函数在处取得极大值，则或；‎ 用数学归纳法证明，在验证成立时，不等式的左边是；‎ 数列的前n项和，则是数列为等比数列的充要条件；‎ 上述命题中，所有正确命题的序号为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对每个命题逐个分析，判断它的正确与否．‎ ‎【详解】‎ ‎①假设是a，b，c不都是正数；所以①不正确；‎ ‎②函数，则，‎ 若在处取得极大值，则时方程的根，所以，解得或，‎ 当时，时，‎ 时，，‎ 所以是极小值点，与题意矛盾，所以②不正确；‎ ‎③时，左边加到，所以③正确；‎ ‎④由题意，时，，若是等比数列，则，，即，‎ 所以是必要条件；当时，，时，‎ ‎，是等比数列，所以是充分条件，所以④正确．‎ 故答案为：③④．‎ ‎【点睛】‎ 考查本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．当m为何实数时，复数是 实数；‎ 纯虚数．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由虚部为0即可求解m的值；‎ ‎（2）由实部为0且虚部不为0列式求解．‎ ‎【详解】‎ 当，即时，z为实数；‎ 当，即，‎ 得时，z是纯虚数．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的基本概念，属于基础题．‎ ‎18．已知函数 判断函数的单调性 求函数当时的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减（2）函数在上的最大值为11，最小值为 ‎【解析】（1）令求出极值点，判断的符号得出单调性；‎ ‎（2）根据的单调性和区间端点函数值计算最值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 令得，‎ 当或时，，当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；‎ ‎（2）由可知在上是减函数，在上是增函数，‎ 且，，，‎ 函数在上的最大值为，最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数与函数单调性，函数最值的关系，属于中档题．‎ ‎19．中秋节吃月饼是我国的传统习俗，设一礼盒中装有9个月饼，其中莲蓉月饼2个，伍仁月饼3个，豆沙月饼4个，这三种月饼的外观完全相同，从中任意选取3个．‎ 求三种月饼各取到1个的概率；‎ 设X表示取到伍仁月饼的个数，求X的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】（1）直接利用组合数的应用求出概率的值；‎ ‎（2）首先求出X的分布列，进一步求出X的数学期望．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设三种月饼各取到一个的概率为P，‎ 则；‎ ‎（2）由题意可得：X可能的取值为0，1，2，3，‎ 所以，，，．‎ 则X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以X的数学期望．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：组合数的应用，数学期望的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．‎ ‎20．数列满足）.‎ ‎（1）计算，并由此猜想通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.‎ ‎【答案】（1），；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）分别令，可求解的值，即可猜想通项公式；（2）利用数学归纳法证明.‎ 试题解析：（1），由此猜想；‎ ‎（2）证明：当时，，结论成立；假设（，且），结论成立，即 当（，且）时，，即，所以 ‎，这表明当时，结论成立，‎ 综上所述，.‎ ‎【考点】数列的递推关系式及数学归纳法的证明.‎ ‎21．某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究活动课程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为．‎ 求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率．‎ 如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次数的概率分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析 ‎【解析】（1）记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A，“只成功一次”为事件，“一次都不成功”为事件，则：由此能求出该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率．‎ ‎（2）的可能取值为2，3，4，分别求出，，，的值，由此能求出的分布列和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A，‎ ‎“只成功一次”为事件，‎ ‎“一次都不成功”为事件，‎ 则：‎ ‎．‎ 故该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率为 ‎（2）的可能取值为2，3，4，5．‎ 则，，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．‎ ‎22．设函数.已知曲线在点处的切线与直线垂直.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数的极值点；‎ ‎（3）若对于任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）当时，函数有一个极小值点和一个极大值点，当时，函数在上有无极值点，当时，函数有唯一的极大值点，无极小值点；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，利用两直线垂直时斜率间的关系即可求得的值；（2）因为，其极值点就是在上的变号零点的个数，通过讨论对称轴的位置和判别式的符合得其单调性，找到函数的极值点情况；（3）要使总存在，使得成立，即总存在，使得 成立，构造函数，，则总存在，使得成立，所以即，利用导数研究含的单调性，求出最大值和最小值即得的范围.‎ 试题解析：（1），‎ 所以，所以，‎ ‎（2），其定义域为，‎ ‎，‎ 令，‎ ‎①当时，，有，即，所以在区间上单调递减，故在区间无极值点；‎ ‎②当时，，令，有，‎ 当时，，即，得在上递减；‎ 当时，，即，得在上递增；‎ 当时，，即，得在上递减；‎ 此时有一个极小值点和一个极大值点.‎ ‎③当时，，‎ 令，有，‎ 当时，，即，得在上递增；‎ 当时，，即，得在上递减.‎ 此时唯一的极大值点，无极小值点，‎ 综上可知，当时，函数有一个极小值点和一个极大值点.‎ 当时，函数在上有无极值点；‎ 当时，函数有唯一的极大值点，无极小值点 ‎（3）令，，‎ 则，‎ 若总存在，使得成立，‎ 即总存在，使得成立，‎ 即总存在，使得成立，‎ 即，‎ ‎，因为，所以，即在上单调递增，‎ 所以，‎ 即对任意成立，‎ 即对任意成立，‎ 构造函数：，，‎ ‎，当时，，∴在上单调递增，∴.‎ ‎∴对于任意，∴.‎ 所以 ‎【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和极值、最值等.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性和极值、最值等，考查了分类讨论的数学思想和转化的数学思想，属于难题.求曲线上某点的切线关键是根据导数的几何意义求得切线斜率，研究函数的极值就是研究导数的变号零点，本题中由于定义域为，所以转化为讨论二次函数在给定区间上的零点问题；本题的难点是第三问，通过构造函数，把问题转化为求新函数在给定区间上的最大值和最小值，充分体现了导数在研究函数中的工具作用.‎