江西省山江湖协作体2019-2020学年高一上学期第三次月考（自招班）数学试题

江西省山江湖协作体2019-2020学年高一上学期第三次月考（自招班）数学试题

‎“山江湖”协作体高一年级第三次月考 数学试卷（自招班）‎ 一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）‎ ‎1．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．方程的解所在区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．过点且与直线垂直的直线方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．已知，那么a，b，c的大小关系是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰为，上底长为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若圆关于直线对称，则的值为（ ）‎ A．5 B．3 C．1 D．-1‎ ‎7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，‎ 无袤，上袤三尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面 都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边 长为，则该鳖臑的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知函数是奇函数，且当时，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知是幂函数，对任意的，且，满足，若，且，，则的值（ ）‎ A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 ‎11．已知为直线上的动点，过点作圆的一条切线，切点为，则面积的最小值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数的定义域为，满足，且当时，.‎ 若对任意，都有，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知点到直线的距离等于，则的值为__________．‎ ‎14．函数的值域为__________．‎ ‎15．已知四面体为正四面体，，分别为的中点．‎ 若用一个与直线垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面 体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为________．‎ 16. 已知四面体的四个顶点均在球的表面上，为球的直径，‎ ‎，四面体的体积的最大值为 .‎ 三、解答题（共70分。解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17．（10分）已知直线与直线交于点.‎ （1） 求过点且平行于直线的直线的一般方程；‎ （2） 求过点并且在轴上截距是在轴上截距的倍的直线的一般方程.‎ ‎18．（12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）若不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎19．（12分）如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于的点．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．‎ ‎20．（12分）已知二次函数满足且.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若在上的最大值为，求实数的值.‎ 21． ‎（12分）如图，四面体中，是正三角形，．‎ ‎（1）证明：;‎ ‎（2）已知是直角三角形，. 若为棱上与不重合的点，且，求四面体与四面体的体积比.‎ 22. ‎（12分）已知圆心在坐标原点的圆O经过圆与圆的交点，A、B是圆O与y轴的交点，P为直线y=4上的动点，PA、PB与圆O的另一个交点分别为M、N.‎ (1) 求圆O的方程；‎ (2) 求证：直线MN过定点.‎ ‎“山江湖”协作体高一年级第三次月考 数学试卷（自招班）‎ 一、 选择题 D C A A C C A B C A A B ‎ 二、 填空题 13. 或 14. 15. 16. ‎ 三、 解答题 17. 解：（1）联立，得，‎ ‎∴，设平行于直线的直线的一般式方程为，‎ 把代入，得：．‎ ‎∴过点且平行于直线的直线的一般式方程为： .....（4分）‎ ‎（2）①当直线过原点时，符合题意 当直线过原点时，且过时 ‎∴斜率，‎ ‎∴直线l2的方程为；‎ ‎②当直线l2不过原点时，‎ ‎∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，‎ ‎∴可设直线l2的方程为：．‎ ‎∵直线l2过点P（1，1），‎ ‎∴，解得a．‎ ‎∴直线l2的方程为：，即．‎ 综上所述，直线l2的方程为或． .........（10分）‎ 17. 解：（1）须满足，　∴， ‎ ‎∴所求函数的定义域为 ........ （ 5分）‎ ‎（2）∵不等式有解，∴ ‎ 令，由于，∴‎ ‎∴的最大值为 ‎∴实数的取值范围为 ...... （12分）‎ 18. 解：（1）由题设知，平面平面，交线为.‎ 因为,平面,所以平面，‎ 故.因为为上异于的点，且为直径，‎ 所以.又，所以平面.‎ 而平面，故平面平面. ...............（6分）‎ （2） 当为的中点时，∥平面.‎ 证明如下：连结交于. 因为为矩形，所以为中点.‎ 连结,因为为的中点，所以∥.，，所以∥平面. ...............（12分）‎ 19. 解：（1）设二次函数，‎ 所以对称轴，因为 所以. ...............（5分） ‎ 当，故在先减后增，又 故最大值为 同理当，故在上最大值为=8，解得 综上：或 ...............（12分）‎ 17. 解：（1）取AC的中点O，连结DO，BO.‎ 因为AD=CD，所以AC⊥DO. ‎ 又由于是正三角形，所以AC⊥BO.‎ 从而AC⊥平面DOB，故AC⊥BD. ...............（6分） ‎ ‎（2）连结EO. 由（1）及题设知∠ADC=90°，所以DO=AO.‎ 在中，.‎ 又AB=BD，所以，故∠DOB=90°.‎ 由题设知为直角三角形，所以.‎ 又是正三角形，且AB=BD，所以.‎ 故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1. ...............（12分）‎ 22. 解：（1）由解得：或，‎ 即两圆的交点坐标为和，‎ 又因为圆O的圆心为坐标原点，‎ 所以圆O的方程为. ...............（5分）‎ ‎（2）：不妨设 则直线PA的直线方程为，直线PB的直线方程为，‎ 由得，同理可得，‎ 直线MN的斜率为，‎ 直线MN的的方程为：，‎ 化简得：，‎ 所以直线MN过定点. ...............（12分）‎