2020年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版（含答案）

2020年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版（含答案）

绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．若z=1+i，则|z2–2z|= A．0 B．1 C． D．2 2．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a= A．–4 B．–2 C．2 D．4 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正 方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值 为 2 A． B． C． D． 4．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A．2 B．3 C．6 D．9 5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：°C）的关系，在 20 个不同的温度 条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图： 由此散点图，在 10°C 至 40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程 类型的是 A． B． C． D． 6．函数 的图像在点 处的切线方程为 A． B． C． D． 7．设函数 在 的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为 5 1 4 − 5 1 2 − 5 1 4 + 5 1 2 + ( , )( 1,2, ,20)i ix y i =  y a bx= + 2y a bx= + exy a b= + lny a b x= + 4 3( ) 2f x x x= − (1 (1))f， 2 1y x= − − 2 1y x= − + 2 3y x= − 2 1y x= + ( ) cos π( )6f x xω= + [ ]π,π− A． B． C． D． 8． 的展开式中 x3y3 的系数为 A．5 B．10 C．15 D．20 9．已知 ，且 ，则 A． B． C． D． 10．已知 为球 的球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为 A． B． C． D． 11．已知⊙M： ，直线 ： ， 为 上的动点，过点 作⊙M 的切 线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为 10π 9 7π 6 4π 3 3π 2 2 5( )( )x xy x y+ + π( )0,α∈ 3cos2 8cos 5α α− = sinα = 5 3 2 3 1 3 5 9 , ,A B C O 1O ABC△ 1O 4π 1AB BC AC OO= = = O 64π 48π 36π 32π 2 2 2 2 2 0x y x y+ − − − = l 2 2 0x y+ + = P l P ,PA PB ,A B | | | |PM AB⋅ AB A． B． C． D． 12．若 ，则 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若 x，y 满足约束条件 则 z=x+7y 的最大值为 . 14．设 为单位向量，且 ，则 . 15．已知 F 为双曲线 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为 . 16．如图，在三棱锥 P–ABC 的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°， 则 cos∠FCB= . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分） 2 1 0x y− − = 2 1 0x y+ − = 2 1 0x y− + = 2 1 0x y+ + = 2 42 log 4 2loga ba b+ = + 2a b> 2a b< 2a b> 2a b< 2 2 0, 1 0, 1 0, x y x y y + − ≤  − − ≥  + ≥ ,a b | | 1+ =a b | |− =a b 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > 3AB AD= = 设 是公比不为 1 的等比数列， 为 ， 的等差中项． （1）求 的公比； （2）若 ，求数列 的前 项和． 18．（12 分） 如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正 三角形， 为 上一点， ． （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 19.（12 分） 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行 下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其 中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. { }na 1a 2a 3a { }na 1 1a = { }nna n D O AE AE AD= ABC△ P DO 6 6PO DO= PA ⊥ PBC B PC E− − 1 2 20.（12 分） 已知 A、B 分别为椭圆 E： （a>1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点， ，P 为直 线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D． （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD 过定点. 21．（12 分） 已知函数 . （1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）当 x≥0 时，f（x）≥ x3+1，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ．以坐标原点为极点， 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）当 时， 是什么曲线？ （2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标． 23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ． （1）画出 的图像； （2）求不等式 的解集． 2 2 2 1x ya + = 8AG GB⋅ =  2( ) exf x ax x= + − 1 2 xOy 1C cos , sin k k x t y t  = = (t ) x 2C 4 cos 16 sin 3 0ρ θ ρ θ− + = 1k = 1C 4k = 1C 2C ( ) | 3 1| 2 | 1|f x x x= + − − ( )y f x= ( ) ( 1)f x f x> + 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案(A 卷) 选择题答案 一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．C 9．A 10．A 11．D 12．B 非选择题答案 二、填空题 13．1 14． 15．2 16． 三、解答题 17．解：（1）设 的公比为 ，由题设得 即 . 所以 解得 （舍去）， . 故 的公比为 . （2）设 为 的前 n 项和.由（1）及题设可得， .所以 ， 3 1 4 − { }na q 1 2 32 ,a a a= + 2 1 1 12a a q a q= + 2 2 0,q q+ − = 1q = 2q = − { }na 2− nS { }nna 1( 2)n na −= − 11 2 ( 2) ( 2)n nS n −= + × − + + × − . 可得 所以 . 18．解：（1）设 ，由题设可得 ， . 因此 ，从而 . 又 ，从而 . 所以 平面 . （2）以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 . 由题设可得 . 2 12 2 2 ( 2) ( 1) ( 2) ( 2)n n nS n n−− = − + × − + + − × − + × − 2 13 1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)n n nS n−= + − + − + + − − × − 1 ( 2)= ( 2) .3 n nn − − − × − 1 (3 1)( 2) 9 9 n n nS + −= − DO a= 6 3, ,6 3PO a AO a AB a= = = 2 2PA PB PC a= = = 2 2 2PA PB AB+ = PA PB⊥ 2 2 2PA PC AC+ = PA PC⊥ PA ⊥ PBC O OE y | |OE O xyz− 3 1 2(0,1,0), (0, 1,0), ( , ,0), (0,0, )2 2 2E A C P− − 所以 . 设 是平面 的法向量，则 ，即 ， 可取 . 由（1）知 是平面 的一个法向量，记 ， 则 . 所以二面角 的余弦值为 . 19．解：（1）甲连胜四场的概率为 ． （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为 ； 乙连胜四场的概率为 ； 丙上场后连胜三场的概率为 ． 所以需要进行第五场比赛的概率为 ． （3）丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 ． 3 1 2( , ,0), (0, 1, )2 2 2EC EP= − − = −  ( , , )x y z=m PCE 0 0 EP EC  ⋅ = ⋅ =   m m 2 02 3 1 02 2 y z x y − + = − − = 3( ,1, 2)3 = −m 2(0,1, )2AP = PCB AP= n 2 5cos , | || 5 ⋅= =n mn m n m | B PC E− − 2 5 5 1 16 1 16 1 16 1 8 1 1 1 31 16 16 8 4 − − − = 1 8 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜 胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为 ， ， ． 因此丙最终获胜的概率为 ． 20．解：（1）由题设得 A（–a，0），B（a，0），G（0，1）. 则 ， =（a，–1）.由 =8得a2–1=8，即a=3. 所以E的方程为 +y2=1． （2）设C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）. 若t≠0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知–30．所以f（x）在（–∞，0）单调递减， 在（0，+∞）单调递增． （2） 等价于 . 设函数 ，则 . （i）若2a+1≤0，即 ，则当x∈（0，2）时， >0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0） =1，故当x∈（0，2）时，g（x）>1，不合题意. （ii）若0<2a+1<2，即 ，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，2)时， g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1当且仅 当g(2)=(7−4a)e−2≤1，即a≥ . 所以当 时，g(x)≤1. （iii）若2a+1≥2，即 ，则g(x)≤ . 由于 ，故由（ii）可得 ≤1. 故当 时，g(x)≤1. 综上，a的取值范围是 . 22．解：当 k=1 时， 消去参数 t 得 ，故曲线 是圆心为坐标原点，半径为 1 的 3 2 ( )f x′ ( )f x′ ( )f x′ 31( ) 12f x x≥ + 3 21( 1)e 12 xx ax x −− + + ≤ 3 21( ) ( 1)e ( 0)2 xg x x ax x x−= − + + ≥ 3 2 21 3( ) ( 1 2 1)e2 2 xg x x ax x x ax −′ = − − + + − + − 21 [ (2 3) 4 2]e2 xx x a x a −= − − + + + 1 ( 2 1)( 2)e2 xx x a x −= − − − − 1 2a ≤ − ( )g x′ 1 1 2 2a− < < 27 e 4 − 27 e 1 4 2a − ≤ < 1 2a ≥ 31( 1)e2 xx x −+ + 27 e 10 [ , )4 2 −∈ 31( 1)e2 xx x −+ + 1 2a ≥ 27 e[ , )4 − +∞ 1 cos ,: sin , x tC y t =  = 2 2 1x y+ = 1C 圆． （2）当 k=4 时， 消去参数 t 得 的直角坐标方程为 ． 的直角坐标方程为 ． 由 解得 ． 故 与 的公共点的直角坐标为 ． 23．解：（1）由题设知 的图像如图所示． （2）函数 的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数 的图像． 4 1 4 cos ,: sin , x tC y t  = = 1C 1x y+ = 2C 4 16 3 0x y− + = 1, 4 16 3 0 x y x y  + = − + = 1 4 1 4 x y  =  = 1C 2C 1 1( , )4 4 13, ,3 1( ) 5 1, 1,3 3, 1. x x f x x x x x − − ≤ −  = − − < ≤   + > ( )y f x= ( )y f x= ( 1)y f x= + 的图像与 的图像的交点坐标为 ． 由图像可知当且仅当 时， 的图像在 的图像上方， 故不等式 的解集为 ． ( )y f x= ( 1)y f x= + 7 11( , )6 6 − − 7 6x < − ( )y f x= ( 1)y f x= + ( ) ( 1)f x f x> + 7( , )6 −∞ −