2021高考数学一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教学案文北师大版

2021高考数学一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教学案文北师大版

第5章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 ‎1.考查形式 本章在备考中一般为2个客观题.‎ ‎2.考查内容 ‎(1)对向量的考查，主要考查平面向量的线性运算、坐标运算、向量的平行与垂直、向量的数量积及应用，难度为容易或中档.‎ ‎(2)高考主要考查复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加、减、乘、除四则运算，其中复数的运算是高考的热点，一般为选择题.‎ ‎3.备考策略 ‎(1)深刻理解并掌握向量的线性运算、向量的数量积、向量的模及夹角的运算.‎ ‎(2)掌握复数的概念、复数的模、共轭复数、复数的几何意义及四则运算.‎ 第一节　平面向量的概念及线性运算 ‎[最新考纲]　1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．‎ ‎(对应学生用书第82页)‎ ‎1．向量的有关概念 ‎(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．‎ - 9 -‎ ‎(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．‎ ‎(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．‎ ‎(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量．‎ ‎(5)相反向量：长度相等且方向相反的向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．‎ ‎(6)向量平行或共线：如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线，规定零向量与任一向量平行．‎ ‎2．向量的线性运算 向量 运算 定义 法则 ‎(或几何意义)‎ 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 ‎(1)交换律：‎ a＋b＝b＋a；‎ ‎(2)结合律：‎ ‎(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)‎ 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)‎ 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 ‎(1)|λa|＝|λ||a|；‎ ‎(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0‎ λ(μ a)＝(λμ) a；‎ ‎(λ＋μ)a＝λa＋μ a；‎ λ(a＋b)＝λa＋λb ‎3.向量共线的判定定理和性质定理 ‎(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．‎ ‎(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得b＝λa.‎ ‎1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)．‎ ‎2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)O不在直线AB上，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.‎ ‎3．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一 - 9 -‎ 个向量终点的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．‎ ‎4．与非零向量a共线的单位向量为±.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反． (　　)‎ ‎(2)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． (　　)‎ ‎(3)若a∥b，b∥c，则a∥c. (　　)‎ ‎(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．‎ ‎ (　　)‎ ‎[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ 二、教材改编 ‎1．如图， ABCD的对角线交于点M，若＝a，＝b，用a，b表示为(　　)‎ A.a＋b B.a－b C．－a－b D．－a＋b D　[由题意可知＝－＝b－a，又＝2，‎ ‎∴＝(b－a)＝b－a，故选D.]‎ ‎2．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.‎ 若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．]‎ - 9 -‎ ‎3．已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且＝a，＝b，则＝________，＝________.(用a，b表示)‎ b－a　－a－b　[如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b.]‎ ‎4．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．‎ 矩形　[如图，因为＋＝，－＝，所以||＝||.‎ 由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．]‎ ‎(对应学生用书第83页)‎ ‎⊙考点1　平面向量的概念 ‎　辨析向量有关概念的五个关键点 ‎(1)向量定义的关键是方向和长度．‎ ‎(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．‎ ‎(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．‎ ‎(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．‎ ‎(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．‎ ‎　1.给出下列命题：‎ ‎①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；‎ ‎②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；‎ ‎③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；‎ ‎④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4‎ A　[①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a＝0时，无论λ为何值，λa＝0.④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．]‎ ‎2．给出下列命题：‎ ‎①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；‎ - 9 -‎ ‎②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；‎ ‎③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；‎ ‎④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；‎ 其中真命题的序号是________．‎ ‎③　[①错误．两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．‎ ‎②错误．|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等或相反．‎ ‎③正确．因为＝，所以||＝||且∥；‎ 又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．‎ ‎④错误．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．]‎ ‎(1)只要不改变向量a的大小和方向，可以自由平移a，平移后的向量与a相等．‎ ‎(2)在研究向量的有关问题时，一定要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．‎ ‎⊙考点2　平面向量的线性运算 ‎　向量线性运算的解题策略 ‎(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．‎ ‎(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．‎ ‎　向量的线性运算 ‎(1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)‎ A.－ B.－ C.＋ D.＋ ‎(2) (2019·皖南八校联考)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，＝3，F为AE的中点，则＝(　　)‎ - 9 -‎ A．－ B．－＋ C．－＋ D．－ ‎(1)A　(2)B　[(1)＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.‎ ‎(2)根据平面向量的运算法则得＝＋，‎ ＝，＝－.‎ 因为＝＋，＝，‎ 所以＝－＋＝－＋，故选B.]‎ ‎　平面向量的线性运算技巧 ‎(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．‎ ‎(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．‎ ‎　根据向量线性运算求参数 ‎　(2019·山西师大附中模拟)在△ABC中，＝，P是直线BN上一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)‎ A．－4 B．－1 ‎ C．1 D．4‎ B　[∵＝，∴＝5.‎ 又＝m＋，‎ ‎∴＝m＋2，‎ 由B，P，N三点共线可知，m＋2＝1，‎ ‎∴m＝－1.]‎ ‎　与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．‎ - 9 -‎ ‎　1.(2019·西宁模拟)如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示为(　　)‎ A.＋ B.－ C.＋ D.－ B　[由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得＝－＝－＝(＋)－ ‎＝－ ‎＝－.]‎ ‎2．(2019·枣庄模拟)设D为△ABC所在平面内一点，＝－＋，若＝λ(λ∈R)，则λ＝(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C．－2 D．－3‎ D　[由＝λ可知－＝λ(－)，‎ ‎∴＝＋，‎ 又＝－＋，‎ ‎∴ 解得λ＝－3，故选D.]‎ ‎3．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.‎ 　－　[＝＋＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝－ ‎＝x＋y，‎ - 9 -‎ ‎∴x＝，y＝－.]‎ ‎⊙考点3　共线向量定理的应用 ‎　共线向量定理的三个应用 证明向量共线 对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)，则a与b共线 证明三点共线 若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线 求参数的值 利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值 ‎　设两个非零向量a与b不共线，‎ ‎(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；‎ ‎(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．‎ ‎[解](1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，‎ ‎∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)‎ ‎＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.‎ ‎∴，共线，‎ 又∵它们有公共点B，‎ ‎∴A，B，D三点共线．‎ ‎(2)∵ka＋b和a＋kb共线，‎ ‎∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，‎ 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.‎ ‎∵a，b是两个不共线的非零向量，‎ ‎∴k－λ＝λk－1＝0，‎ ‎∴k2－1＝0，∴k＝±1.‎ ‎[母题探究]‎ 若将本例(1)中“＝2a＋8b”改为“＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？‎ ‎[解]　＋＝(a＋mb)＋3(a－b)‎ ‎＝4a＋(m－3)b，‎ 即＝4a＋(m－3)b.‎ 若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ.‎ - 9 -‎ 即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．‎ ‎∴解得m＝7.‎ 故当m＝7时，A，B，D三点共线．‎ ‎　利用向量共线定理解决问题应注意两点 ‎(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．‎ ‎(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．‎ ‎　1.在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)‎ A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 C　[由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．]‎ ‎2．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则(　　)‎ A．λ＝0 B．e2＝0‎ C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0‎ D　[因为向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因为向量a和b共线，存在实数k，使得a＝kb，所以e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝(2k－1)e1，所以e1∥e2或λ＝0.]‎ ‎3．已知O为△ABC内一点，且＝(＋)，＝t，若B，O，D三点共线，则t＝(　　)‎ A. B. C. D. B　[设E是BC边的中点，则(＋)＝，由题意得＝，所以＝＝(＋)＝＋，又因为B，O，D三点共线，所以＋＝1，解得t＝，故选B.]‎ - 9 -‎