2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十三直线的交点坐标与距离公式理北师大版

2021版高考数学一轮复习核心素养测评五十三直线的交点坐标与距离公式理北师大版

核心素养测评五十三 直线的交点坐标与距离公式 ‎(25分钟　50分)‎ 一、选择题(每小题5分,共35分)‎ ‎1.已知直线l1:x-2y+1=0与直线l2:mx-y=0平行,则实数m的值为 (　　)‎ A.　　　B.-　　　C.2　　　D.-2‎ ‎【解析】选A.由题意,=,即m=.‎ ‎2.若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直,则实数m= (　　)‎ A.-4　 B.-1　 C.1　 D.4‎ ‎【解析】选C.k1=,k2=-,因为直线互相垂直,所以k1·k2=-1,即·=-1,所以m=1.‎ ‎3.点P(a,b)关于l:x+y-1=0对称的点仍在l上,则a2+b2的最小值= (　　)‎ A.　 B.1　 C.2　 D.0‎ ‎【解析】选A.因为点P(a,b)关于l:x+y-1=0对称的点仍在l上,所以点P(a,b)在直线l上,‎ 所以a+b-1=0,解得a+b=1.‎ 又≤a2+b2,‎ 所以a2+b2≥(当且仅当a=b时,等号成立).‎ ‎4.P点在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为,则P点坐标为 ‎(　　)‎ A.(1,2)　 B.(2,1)‎ C.(1,2)或(2,-1)　 D.(2,1)或(-1,2)‎ ‎【解析】选C.设P(x,5-3x),则d==,解得x=1或x=2,故P(1,2)或(2,-1).‎ - 6 -‎ ‎5.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点 (　　)‎ A.(0,4)　B.(0,2)　C.(-2,4)　D.(4,-2)‎ ‎【解析】选B.直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2恒过定点(0,2).‎ ‎6.若直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,则实数k的取值范围是 (　　)‎ A.-6-2‎ ‎【解析】选A.解方程组 得因为直线y=-2x+3k+14与直线x-4y=-3k-2的交点位于第四象限,‎ 所以k+6>0且k+2<0,所以-60,c>0)恒过点P(1,m)且Q(4,0)到动直线l的最大距离为3,则+的最小值为 (　　)‎ A.　　　B.　　　C.1　　　D.9‎ ‎【解析】选B.因为动直线l:ax+by+c-2=0(a>0,c>0)恒过点P(1,m),所以a+bm+c-2=0,设点Q(4,0)到直线l的距离为d,当d=|PQ|时取最大值,‎ 所以=3,解得m=0.所以a+c=2,则+=(a+c)·=·‎ ‎≥=,当且仅当c=2a=时取等号.‎ ‎3.(5分)点A(1,3),B(5,-2),点P在x轴上使|AP|-|BP|最大,则P的坐标为 ‎(　　)‎ A.(4,0)　 B.(13,0)　 C.(5,0)　 D.(1,0)‎ ‎【解析】选B.如图,作出点A(1,3)关于x轴对称的点A′(1,-3),则|PA|-|PB|=|PA′|-|PB|≤|A′B|,当且仅当点P在A′B的延长线上时,取等号.由两点式可得直线A′B的方程为:y=x-.令y=0得x=13,‎ 所以点P的坐标为(13,0).‎ ‎4.(10分)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点. ‎ ‎(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.‎ - 6 -‎ ‎(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.‎ ‎【解析】(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,‎ 即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.‎ 所以=3.即2λ2-5λ+2=0,‎ 所以λ=2或.‎ 所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.‎ ‎(2)由解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,‎ 设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).‎ ‎(其余距离d与PA构成直角三角形,PA为它们的斜边),‎ 所以dmax=|PA|=.‎ ‎5.(10分)已知直线l1的方程为3x+4y-12=0,求l2的方程,使得: ‎ ‎(1)l2与l1平行,且过点(-1,3).‎ ‎(2)l2与l1垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.‎ ‎【解题指南】(1)由l2与l1平行可设l2:3x+4y+m=0(m≠-12),再代入点(-1,3)得m的值.‎ ‎(2)由l2与l1垂直可设l2:4x-3y+n=0,再得与坐标轴的交点,由面积公式求解.‎ ‎【解析】(1)设l2:3x+4y+m=0(m≠-12),‎ 因为l2过点(-1,3),将点(-1,3)代入得-3+4×3+m=0,‎ 解得m=-9,所以l2的方程为3x+4y-9=0.‎ ‎(2)设l2:4x-3y+n=0 ,设l2与x轴交于点A-,0,与y轴交于点B0,.‎ 所以S△AOB=·=4.‎ - 6 -‎ n2=96,n=±4,‎ 所以l2的方程为4x-3y+4=0或4x-3y-4=0.‎ - 6 -‎