高中数学必修4：2_1平面向量的实际背景及基本概念（教＼学案）

高中数学必修4：2_1平面向量的实际背景及基本概念（教＼学案）

‎2. 1平面向量的实际背景及基本概念 教材分析：‎ 向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。‎ 向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。‎ 本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。‎ 本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。‎ 在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。‎ 教学目标：‎ ‎1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.‎ ‎2、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.‎ ‎3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.‎ 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.‎ 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.‎ 学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.‎ 教 具：多媒体或实物投影仪，尺规 授课类型：新授课 教学过程：‎ 一、情景设置：‎ A B C D 如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）‎ 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.‎ 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.‎ 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？‎ 二、新课学习：‎ ‎ （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 ‎（二）请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）‎ ‎1、数量与向量有何区别？‎ ‎2、如何表示向量？‎ ‎3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？‎ ‎4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？‎ ‎5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？‎ ‎6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？‎ ‎7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？‎ ‎ （三）探究学习 ‎1、数量与向量的区别：‎ 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；‎ 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. ‎ A(起点)‎ ‎ B ‎（终点）‎ a ‎2.向量的表示方法：‎ ‎①用有向线段表示；‎ ‎②用字母ａ、ｂ ‎（黑体，印刷用）等表示；‎ ‎③用有向线段的起点与终点字母：；‎ ‎④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. ‎ ‎3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.‎ 向量与有向线段的区别：‎ ‎（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；‎ ‎（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.‎ ‎4、零向量、单位向量概念：‎ ‎①长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.‎ 注意0与0的含义与书写区别.‎ ‎②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.‎ 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.‎ ‎5、平行向量定义：‎ ‎①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.‎ 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.‎ ‎6、相等向量定义：‎ 长度相等且方向相同的向量叫相等向量.‎ 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；‎ ‎（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.‎ ‎7、共线向量与平行向量关系：‎ 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.‎ 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.‎ ‎（四）理解和巩固：‎ ‎ 例1 书本86页例1.‎ 例2判断：‎ ‎（1）平行向量是否一定方向相同？（不一定）‎ ‎（2）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）‎ ‎（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）‎ ‎（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（零向量）‎ ‎（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行向量）‎ ‎（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（长度相等且方向相同）‎ ‎（7）共线向量一定在同一直线上吗？（不一定）‎ 例3下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ 至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.‎ 例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.‎ 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）‎ 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）‎ 变式三：与向量共线的向量有哪些？（）‎ 课堂练习：‎ ‎1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ‎①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ‎②单位向量都相等； ‎③任一向量与它的相反向量不相等； ‎④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝ ‎ ‎⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ‎⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.‎ 解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.‎ ‎②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.‎ ‎③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.‎ ‎2．书本88页练习 三、小结 ：‎ 1、 描述向量的两个指标：模和方向.‎ 2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.‎ 3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点.‎ 四、课后作业：‎ ‎ 书本88页习题2.1第3、5题 ‎2.1平面向量的实际背景及基本概念 课前预习学案 一、预习目标 通过阅读教材初步了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.‎ 二、预习内容 ‎（一）、情景设置：‎ A B C D 如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）‎ 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.‎ 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、有长短的量.‎ 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？‎ ‎（二）、新课预习：‎ ‎ 1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 ‎2、请同学阅读课本后回答：（可制作成幻灯片）‎ 1) 数量与向量有何区别？‎ 2) 如何表示向量？‎ 3) 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？‎ 4) 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？‎ 5) 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？‎ 6) 有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？‎ 7) 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各 向量的终点之间有什么关系？‎ 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 课内探究学案 一、学习目标 ‎1、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.‎ ‎2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.‎ 二、学习过程 ‎1、数量与向量的区别？‎ ‎-‎ A(起点)‎ ‎ B ‎（终点）‎ a ‎2.向量的表示方法？‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③ ‎ ‎④向量的大小――长度称为向量的模，记作 。 ‎ ‎3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素： 。‎ 向量与有向线段的区别：‎ ‎（1） 。‎ ‎（2） 。 ‎ ‎4、零向量、单位向量概念：‎ ‎① 叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.‎ 注意0与0的含义与书写区别.‎ ‎② 叫单位向量.‎ 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小. ‎ ‎5、平行向量定义：‎ ‎① 叫平行向量；②我们规定0与 平行.‎ 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.‎ ‎6、相等向量定义： 叫相等向量。‎ 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；‎ ‎（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.‎ ‎7、共线向量与平行向量关系：‎ 平行向量就是共线向量，这是因为 （与有向线段的起点无关）.‎ 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.‎ 三、理解和巩固：‎ ‎ 例1 书本86页例1.‎ 例2判断：‎ ‎（1）平行向量是否一定方向相同？‎ ‎（2）不相等的向量是否一定不平行？‎ ‎（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？‎ ‎（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？‎ ‎（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？‎ ‎（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？‎ ‎（7）共线向量一定在同一直线上吗？‎ 例3下列命题正确的是（ ） A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形 的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.‎ 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？‎ 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？‎ 变式三：与向量共线的向量有哪些？‎ 课堂练习：‎ ‎1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ‎①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ‎②单位向量都相等； ‎③任一向量与它的相反向量不相等； ‎④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝ ‎ ‎⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ‎⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.‎ ‎2．书本88页练习 课后练习与提高 ‎1．下列各量中不是向量的是（ ）‎ A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 ‎2.下列说法中错误的是（ ）‎ A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0‎ C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 ‎3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点  D.一个单位圆 ‎4．已知非零向量,若非零向量，则与必定 .‎ ‎5．已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定 .‎ ‎6.设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K、L、M、N分别是AB、BC、CD、DA的中点,则 ‎ ‎ ‎