【数学】四川省遂宁市船山区第二中学校2019-2020学年高一下学期期中考试试题

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【数学】四川省遂宁市船山区第二中学校2019-2020学年高一下学期期中考试试题

四川省遂宁市船山区第二中学校2019-2020学年 高一下学期期中考试试题 ‎(时间:120分钟满分:150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设向量与向量共线,则实数( )‎ A. 4 B. ‎2 ‎C. 3 D. 6‎ ‎2. △ABC中,,,,则最短边的边长等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知四边形中,,,则其形状为( )‎ A. 菱形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 梯形 ‎4.已知=(-2,5),,若与反向,则等于(  )‎ A.(-4,10) B. (1,-10) C.(-1,10) D. (4,-10) ‎5.已知函数,则其单调递增区间为( )‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎6. 如图,从高为的气球(A)上测量待建规划铁桥(BC)的长,如果测得桥头(B)的俯角是,桥头(C) 的俯角是,则桥BC的长为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.,,,则下列结论正确的是( )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎8. 在边长为的正方形中,为的中点,点在线段上运动,则的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则角等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10. 已知数列中,,且对,总有,则( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. ‎ ‎11.P是△ABC内的一点,=(+),则△ABC的面积与△ABP的面积之比为(  )‎ A. 3 B. ‎2 C. D.6‎ ‎12.已知三条边的边长分别为‎4米、‎5米、‎6米,将三边都截掉米后,剩余的部分组成一个钝角三角形,则的取值范围是 ( )‎ A. 05 B. 1‎‎5 ‎ C. 14 D. 13‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)‎ ‎13.若,则的值为_ __ ‎ ‎14. 已知数列,3,,,…,,…,则是它的 项 。‎ ‎15.在中,,,面积为,则________‎ ‎16.如图,已知P是半径为2,圆心角为的一段圆弧AB上一点,,则的最小值为____________.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,17题10分,其余每小题12分,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17. (本小题满分10分) 已知,‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ ‎18. (本小题满分12分) 已知在同一平面内,且 ‎(1)若,且,求; ‎ ‎(2)若,且,求与的夹角.‎ ‎19. (本小题满分12分)已知sin(π-α)=,cos(α-β)=,0<β<α<,‎ ‎(1)求的值;(2)求角β的大小.‎ ‎20.(本小题满分12分)的内角的对边分别为已知.‎ ‎(1)求角和边长;‎ ‎(2)设为边上一点,且,求的面积.‎ ‎21.已知向量,,设函数.‎ ‎(1)求函数的最大值;‎ ‎(2)已知在锐角中,角,,所对的边分别是,,,且满足,求的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分12分)如图,公园里有一湖泊,其边界由两条线段和以为直径的半圆弧组成,其中为‎2百米,为.若在半圆弧,线段,线段上各建一个观赏亭,再修两条栈道,使. 记.‎ ‎(1)试用表示的长;‎ ‎(2)试确定点的位置,使两条栈道长度之和最大. ‎ 参考答案 一.选择题(每题5分,共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A D B A C D C B A D 二.填空题(每题5分,共20分)‎ ‎13. 14.第11项 15. 16.5﹣‎ 三.解答题(17题10分,18-22题各12分,总分70分)‎ ‎17.【详解】解:(Ⅰ)由sin﹣2cos=0,得tan=2.∴tanx=;‎ ‎(Ⅱ)=‎ ‎=‎ ‎=(﹣)+1=.‎ ‎18. 解: (1)∵c∥a,∴设c=λa,则c=(λ,2λ).‎ 又|c|=2,∴λ=±2,∴c=(2,4)或(-2,-4). ‎ ‎(2)∵⊥(‎2a-b),∴(a+2b)·(‎2a-b)=0.‎ ‎∵|a|=,|b|=,∴a·b=-.‎ ‎∴cosθ==-1,∴θ=180°‎ ‎19.解:(1)因为sin(π-α)=,所以sinα=.‎ 因为0<α<,所以cosα==. ‎ 所以 ‎(2)因为cos(α-β)=,且0<β<α<,所以0<α-β<,‎ 所以sin(α-β)==.‎ 所以cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=.因为0<β<,所以β=. ‎ ‎20.【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)先根据同角的三角函数的关系求出 从而可得的值,再根据余弦定理列方程即可求出边长的值;(2)先根据余弦定理求出,求出的长,可得,从而得到,进而可得结果.‎ 试题解析:(1),‎ 由余弦定理可得,即 即,解得(舍去)或,故 ‎ (2) ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎, ‎ ‎21.(1)‎ ‎,‎ 则,此时即;‎ ‎(2)由,‎ 由,则,,,‎ 由,‎ ‎,‎ 由,‎ 则,则.‎ ‎22.【答案】(1);(2)与重合.‎ ‎【解析】分析:(1)解直角三角形BDC用表示的长.(2)先利用正弦定理求出DF=4cosθsin(+θ), 再求出DE=AF=4-4,再利用三角函数求DE+DF的最大值.‎ 详解:(1)连结DC.在△ABC中,AC为‎2百米,AC⊥BC,∠A为,‎ 所以∠CBA=,AB=4,BC=. ‎ 因为BC为直径,所以∠BDC=,所以BD=BC cosθ=cosθ. ‎ ‎(2)在△BDF中,∠DBF=θ+,∠BFD=,BD=cosθ,‎ 所以, ‎ 所以DF=4cosθsin(+θ),且BF=4, ‎ 所以DE=AF=4-4, ‎ 所以DE+DF=4-4+4 sin(+θ)= sin2θ-cos2θ+3‎ ‎=2 sin(2θ-)+3‎ 因为≤θ<,所以≤2θ-<,‎ 所以当2θ-=,即θ=时,DE+DF有最大值5,此时E与C重合 答:当E与C重合时,两条栈道长度之和最大.‎
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