江苏省苏州市2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析

江苏省苏州市2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com 苏州市2019-2020学年第一学期学业质量阳光指标调研卷 高三数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.‎ ‎1.已知集合，，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】，，0，1，，‎ ‎，．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】本题考查了描述法、列举法的定义、交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎2.已知i是虚数单位，复数的虚部为3，则实数b的值为________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部为3求解．‎ ‎【详解】的虚部为3，‎ ‎，即．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3.从2名男生和l名女生中任选2名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一女的概率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 基本事件总数，选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数 - 22 -‎ ‎，由此能求出选中的恰好是一男一女的概率．‎ ‎【详解】从2名男生和1名女生中任选2名参加青年志愿者活动，‎ 基本事件总数，‎ 选中的恰好是一男一女包含的基本事件个数，‎ 则选中的恰好是一男一女的概率为．‎ 故答案为：．‎ 点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎4.为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图），已知在之间通过的车辆数是440辆，则在之间通过的车辆数是________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由频率分布直方图得在，之间通过的车辆的频率为0.44，在，之间通过的车辆的频率为0.10，由此利用在，之间通过的车辆数是440辆，能求出在，之间通过的车辆数．‎ ‎【详解】由频率分布直方图得：‎ 在，之间通过的车辆的频率为，‎ 在，之间通过的车辆的频率为0.10，‎ - 22 -‎ 设在，之间通过的车辆数为．‎ 在，之间通过的车辆数是440辆，‎ ‎，解得．‎ 则在，之间通过的车辆数为100．‎ 故答案为：100．‎ ‎【点睛】本题考查在，之间通过的车辆数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎5.如图是一个算法流程图，若输入的x值为5，则输出的y值为________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据算法流程图，一步一步进行运算，直到跳出循环.‎ ‎【详解】输入，不满足，所以运行，‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎6.已知等比数列中，，则“”是“”的________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质结合充分必要条件的判定方法得答案．‎ ‎【详解】在等比数列中，，则由，得，即，；‎ 反之，由，得，即或，当时，．‎ 等比数列中，，则“”是“”的充分不必要条件．‎ 故答案为：充分不必要．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．‎ ‎7.在平面直角坐标系xOy中，已知点，是双曲线的左、右焦点，点P的坐标为，若，则该双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件列出、关系式，然后转化求解双曲线的离心率即可．‎ ‎【详解】在平面直角坐标系中，己知点，是双曲线的左、右焦点，点的坐标为，‎ 由，可得：，即，‎ 即，所以双曲线的离心率为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．‎ ‎8.若x，y满足约束条件，则的最大值为________.‎ ‎【答案】3‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 设得，‎ 平移直线，由图象可知当直线经过点时，‎ 直线的纵截距最大，此时最大，‎ 此时，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.‎ ‎9.如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同.已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该冰淇淋的体积是________.‎ - 22 -‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出圆锥底面半径为，圆锥母线长，圆锥的高为，半个冰淇淋小球的半径，由此能求出该冰淇淋的体积．‎ ‎【详解】圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，‎ 圆锥底面半径为，圆锥母线长，‎ 圆锥的高为，‎ 半个冰淇淋小球的半径，‎ 该冰淇淋的体积是：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查冰淇淋的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．‎ ‎10.在平面直角坐标系xOy中，若直线上存在点P，使得过点P向圆作切线PA（切点为A），满足，则实数m的取值范围为________.‎ - 22 -‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由切线的性质分析可得，进而结合点到直线的距离公式可得，解可得的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，圆，其圆心为，半径，‎ 若点向圆作切线，满足，又由，‎ 则有，变形可得，‎ 若直线上存在点，满足题意，必有，‎ 变形可得：，‎ 解可得：或，即的取值范围为或；‎ 故答案为：或．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．‎ ‎11.在平面直角坐标系xOy中，己知直线与函数图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为1，则点的横坐标为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，得，或，依题意可得，可求得，继而可得答案．‎ ‎【详解】因为点的横坐标为1，即当时，，‎ 所以或，‎ - 22 -‎ 又直线与函数的图象在轴右侧的公共点从左到右依次为，，‎ 所以，‎ 故，‎ 所以函数的关系式为．‎ 当时，（3），‎ 即点的横坐标为3，为二函数的图象的第二个公共点．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题．‎ ‎12.如图，在平面四边形ABCD中，己知AD=3，，E，F为AB，CD的中点，P，Q为对角线AC，BD的中点，则的值为________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可连接，，，，根据题意即可得出四边形为平行四边形，从而可得出，然后进行数量积的运算即可．‎ ‎【详解】如图，连接，，，，‎ ‎，为，的中点，，为对角线，的中点，‎ 四边形为平行四边形，‎ - 22 -‎ ‎，，且，，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了三角形中位线的性质、向量加法的平行四边形法则、向量减法和数乘的几何意义，考查了向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎13.已知实数x，y满足，则的最小值为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 实数，满足，化为：，令，，则．解得，．代入，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【详解】实数，满足，‎ 化为：，‎ 令，，则．‎ 解得，．‎ 则，当且仅当，时，即，时取等号．‎ - 22 -‎ 的最小值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的性质、换元法、转化法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎14.已知函数，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程恰有5个相异的实根，则实数a的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出图象，求出方程的根，分类讨论的正负，数形结合即可.‎ ‎【详解】当时，令，解得，‎ 所以当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，‎ 当时，单调递减，且，‎ 作出函数的图象如图：‎ ‎（1）当时，方程整理得，只有2个根，不满足条件；‎ ‎（2）若，则当时，方程整理得，‎ 则，，此时各有1解，‎ - 22 -‎ 故当时，方程整理得，‎ 有1解同时有2解，即需，，因为（2），故此时满足题意；‎ 或有2解同时有1解，则需，由（1）可知不成立；‎ 或有3解同时有0解，根据图象不存在此种情况，‎ 或有0解同时有3解，则，解得，‎ 故，‎ ‎（3）若，显然当时，和均无解，‎ 当时，和无解，不符合题意．‎ 综上：的范围是，‎ 故答案为：，‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.己知向量，.‎ ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）时，函数的最大值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）根据即可求出，然后根据二倍角的正切公式即可求出的值；‎ ‎（2）进行数量积的坐标运算，并根据二倍角的正余弦公式和两角和的正弦公式得出，从而可求出的最大值，以及对应的的值．‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 因为（否则与矛盾），所以，‎ 所以. ‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ 所以当，即时，函数的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系、二倍角的正弦、余弦和正切公式、两角和的正弦公式和数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎16.如图，在斜三棱柱中，，，分别是，的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求证：.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）连结，，由三角形中位线定理可得，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得，结合由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连结，，‎ 因为斜三棱柱，所以四边形为平行四边形，‎ 由平行四边形性质得点也是中点， ‎ 因为点是的中点，所以， ‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）连结，因为，点是的中点，所以，‎ 又，，平面，平面，‎ 所以平面，‎ 因为平面，所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质，属于中档题.证明线面平行的常见方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.‎ ‎17.为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜.已知扇形AOB - 22 -‎ 中，，（百米），荒地内规划修建两条直路AB，OC，其中点C在上（C与A，B不重合），在小路AB与OC的交点D处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区.设，蜂巢区的面积为S（平方百米）.‎ ‎（1）求S关于的函数关系式；‎ ‎（2）当为何值时，蜂巢区的面积S最小，并求此时S的最小值.‎ ‎【答案】（1），；（2）当等于时，S取到最小值平方百米 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由余弦定理得，由正弦定理得，，蜂巢区的面积，由此能求出关于的函数关系式．‎ ‎（2）对求导得，当时，，递减，当时，，递增，当，时，，递减，由此能求出当为时，蜂巢区的面积最小，的最小值为．‎ ‎【详解】（1），，由余弦定理得，‎ 在中，由正弦定理得，，‎ ‎，，‎ - 22 -‎ 蜂巢区的面积：‎ ‎，‎ 整理，得关于的函数关系式为：‎ ‎，．‎ ‎（2）对求导，得，‎ 令，解得或，‎ 当时，，递减，‎ 当时，，递增，‎ 当，时，，递减，‎ 综上所述，的最小值只可有在或趋近时取得，‎ 当时，，当时，，‎ 当为时，蜂巢区的面积最小，的最小值为．‎ ‎【点睛】本题考查函数关系式、蜂巢区的面积最小值的求法，考查三角函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，是中档题．‎ ‎18.如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”.过椭圆第一象限内一点P作x轴的垂线交其“辅圆”于点Q，当点Q在点P的上方时，称点Q为点P的“上辅点”.已知椭圆上的点的上辅点为.‎ - 22 -‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）若的面积等于，求上辅点Q的坐标；‎ ‎（3）过上辅点Q作辅圆的切线与x轴交于点T，判断直线PT与椭圆E的位置关系，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）直线PT与椭圆相切，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据定义直接求解即可；（2）设点，，则点，，则可得到，再根据的面积可得到，进一步与椭圆方程联立即得解；（3）表示出直线的方程，与椭圆方程联立，再判断△即可得出结论．‎ ‎【详解】（1）椭圆上的点的上辅点为，‎ 辅圆的半径为，椭圆长半轴为，‎ 将点代入椭圆方程中，解得，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）设点，，则点，，将两点坐标分别代入辅圆方程和椭圆方程可得，‎ - 22 -‎ ‎，，‎ 故，即，‎ 又，则，‎ 将与联立可解得，则，‎ 点的坐标为；‎ ‎（3）直线与椭圆相切，证明如下：‎ 设点，，由（2）可知，，‎ 与辅圆相切于点的直线方程为，则点，‎ 直线的方程为：，整理得，‎ 将与椭圆联立并整理可得，，‎ 由一元二次方程的判别式，可知，上述方程只有一个解，故直线与椭圆相切．‎ ‎【点睛】本题以新概念为载体，旨在考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系，考查通性通法的运用，计算量较大，对计算能力的要求较高，属于较难题目．‎ ‎19.已知数列满足，，其中是数列的前n项和.‎ ‎（1）求和的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）设.‎ ‎①若，求k的值；‎ ‎②求证：数列（中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.‎ ‎【答案】（1），，；（2）①1，②见解析 ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用递推关系式求出数列的前几项，同时求出数列的通项公式；（2）结合第一问的结论求出，①直接代入即可求解；②对于给定的，若存在，，，，使得，只要找到相应的整数，即可证明．‎ ‎【详解】（1）时，，所以，‎ 时，，所以，所以.‎ 由，①‎ 所以，②‎ 由②①得，‎ 即，③‎ 当时，，④‎ 由③④得，‎ 即，‎ 所以数列是首项为0，公差为2的等差数列，‎ 故数列的通项公式是.‎ ‎（2）；‎ ‎；‎ ‎①；‎ ‎．‎ ‎②对于给定的，若存在，，，，使得；‎ ‎，只需，‎ 两边取倒数，即，即；‎ - 22 -‎ 即，；取，则；‎ ‎；‎ 对数列中的任意一项，总可以表示成该数列其他两项之积．‎ ‎【点睛】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当函数与函数图象的公切线l经过坐标原点时，求实数a的取值集合；‎ ‎（3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足.‎ ‎【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求解单调性；（2）先求出公切线的方程，再探讨的取值范围；（3）先利用导数研究函数的单调性，证明零点个数．再使用函数思想，构造函数，利用导数研究函数单调性解决不等式问题．‎ ‎【详解】（1）对求导，得，‎ 令，解得，‎ 当时，，单调递增．‎ 当，时，，单调递减．‎ ‎（2）设公切线与函数的切点为，，则公切线的斜率，‎ - 22 -‎ 公切线的方程为：，将原点坐标代入，得，解得．‎ 公切线的方程为：，将它与联立，整理得．‎ 令，对之求导得：，令，解得．‎ 当时，，单调递减，值域为，‎ 当时，，单调递增，值域为，‎ 由于直线与函数相切，即只有一个公共点，因此．‎ 故实数的取值集合为．‎ ‎（3）证明：，要证有两个零点，只要证有两个零点即可．（1），‎ 即时函数的一个零点．‎ 对求导得：，令，解得．当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．当时，取最小值，，‎ ‎，必定存在使得二次函数，‎ 即．因此在区间上必定存在的一个零点．‎ 综上所述，有两个零点，一个是，另一个在区间上．‎ 下面证明．‎ 由上面步骤知有两个零点，一个是，另一个在区间上．‎ - 22 -‎ 不妨设，则，下面证明即可．‎ 令，对之求导得，‎ 故（a）在定义域内单调递减，，即．‎ 证明完毕．‎ 点睛】本题考察知识点众多，利用导数研究函数单调性，切线与导数的关系，利用导数研究函数的零点个数，利用导数构造函数来证明不等式，对学生的思维能力和思维品质要求极高，属于难题．‎ - 22 -‎ ‎ ‎ - 22 -‎