上海市吴淞中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

上海市吴淞中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

www.ks5u.com 吴淞中学高一月考数学卷 一、填空题 ‎1.用集合表示能被4整除的数______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据能被4整除的数都可写成4的整数倍，即可得到所求集合．‎ ‎【详解】解：∵能被4整除的数都可写成4的整数倍， ∴所有能被4整除的数的集合可表示为：， 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合表示方法中的描述法，注意表示形式．‎ ‎2.已知，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合集合中元素的互异性，分类讨论即可。‎ ‎【详解】解：当时，，此时，根据集合中的元素具有互异性，不符合题意，当时，解得或（舍去），此时，符合题意。‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查元素的互异性，属于基础题。‎ ‎3.已知集合，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简集合,即可求出 ‎【详解】解：，所以。‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题。‎ ‎4.已知命题：“若，则或”，则命题的逆否命题是______.‎ ‎【答案】若且，则 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“若，则 ”的逆否命题是“若，则”。“或”的否定是“且”‎ ‎【详解】解：命题：“若，则或”的逆否命题是若且，则。‎ ‎【点睛】本题考查原命题的逆否命题，属于基础题。‎ ‎5.设集合，集合，若，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合，以及即可得出，即得出的取值范围．‎ ‎【详解】解：∵，，且， ∴， 故答案为：．‎ ‎【点睛】考查根据交集结果，求参数，属于基础题．‎ ‎6.命题“若，则”否命题是______命题（填“真”或“假”）‎ ‎【答案】假 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据否命题的定义，写出并判断命题的真假．‎ ‎【详解】解：命题“若，则”的否命题是“若，则”，可判断为假命题．‎ 故答案为：假。‎ ‎【点睛】本题考查四种命题关系以及判断命题的真假，否命题为将条件和结论分别否定是解决本题的关键．‎ ‎7.方程的解集为，方程的解集为，已知，则_______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由，将代入得解得 则方程可以化简为，，‎ 方程可以化简为，，‎ 所以 ‎8.“”是“函数为R上的增函数”的_______.（填“充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件”中的一个）‎ ‎【答案】充分不必要条件.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先从充分性进行研究，再从必要性角度研究，从而得到结果.‎ ‎【详解】解：当时，故函数为R上的增函数，满足充分性，‎ 当函数为R上的增函数时，可以得到，故不满足必要性，‎ 故本题的答案是充分不必要条件.‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件，解题此类问题首先要搞清楚什么条件，什么是结论，由条件得出结论满足充分性，由结论推出条件满足必要性.‎ ‎9.设集合，，若，则______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合，利用且，得到 ， ，由此能求出的值．‎ ‎【详解】解：，因为且，所以 得，所以 ，‎ 故答案为：3.‎ ‎【点睛】本题考查集合相等求参数，是基础题．‎ ‎10.集合，若只有一个真子集，则实数的值为______.‎ ‎【答案】或0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若一个集合只有一个真子集，即该集合只有一个元素，分和两种情况讨论，即可得出答案。‎ ‎【详解】解：当时，，只有一个真子集，符合题意；‎ 当时，若只有一个真子集，即，此时，‎ 故答案为：或 ‎【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求参数，分类讨论二次项的系数是关键，属于基础题。‎ ‎11.给出下列命题：‎ ‎①原命题为真，它的否命题为真；‎ ‎②原命题为真，它的逆命题不一定为真；‎ ‎③若命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；‎ ‎④若命题逆否命题为真，则它的否命题为真；‎ 其中真命题的序号是______.‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 互为逆否命题的两个命题，其真假相同；互为逆命题和互为否命题的两个命题，其真假没有关系。‎ ‎【详解】解：∵互为逆否命题的两个命题，其真假相同；互为逆命题和互为否命题的两个命题，其真假没有关系。‎ 所以②③为真命题，①④为假命题，故答案为：②③‎ ‎【点睛】本题考查四种命题间的真假关系，属于基础题。‎ ‎12.是有理数集，集合，在下列集合中：‎ ‎①；②；③；④.‎ 与集合相等的集合序号是______.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用集合的定义以及集合相等的定义进行验证，即可得出结论.‎ ‎【详解】对于①中的集合，，设，，，‎ 则，则，①中的集合与集合相等；‎ 对于②中的集合，，设，，，且、不同时为零.‎ 则，其中，，②中的集合与集合相等；‎ 对于③中的集合，取，，，，则，③中的集合与集合不相等；‎ 对于④中集合，设，，其中、、、，则，，，④中的集合与集合相等.‎ 因此，集合相等的集合序号是①②④.‎ 故答案为：①②④.‎ ‎【点睛】本题考查集合相等的定义，解题时要充分利用集合的定义进行验证，考查计算能力，属于中等题.‎ 二、选择题 ‎13.设集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合 ,先求，再求，即可。‎ ‎【详解】，所以，所以，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查集合的交运算和补运算，属于基础题。‎ ‎14.是的（ ）条件.‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求解两个不等式，得到与的关系，结合充分必要条件的判定，即可求解．‎ ‎【详解】由，解得或，由，解得或，‎ 所以由不能推得，反之由可推得，‎ 所以是的必要不充分条件，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及必要不充分条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎15.已知，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据即可得出方程 有两负根或无根，从而得出 或，解出的范围即可．‎ ‎【详解】解：∵，‎ ‎∴方程 有两负根或无根，则 或，‎ 解得： 或， ∴实数的取值范围是 故选：D ‎【点睛】考查描述法的定义，交集的定义及运算，空集的定义，判别式和一元二次方程实根的关系．‎ ‎16.已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）‎ A. 13 B. 14 C. 15 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出集合中元素的个数，即可求出真子集的个数.‎ ‎【详解】解：，所以集合的真子集的个数为 ，‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查集合的真子集的个数，如果集合有个元素，则其真子集个数为，属于基础题。‎ 三、解答题 ‎17.已知集合，，.‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用交、并、补集的运算进行求解； （2）由，分和两种情况讨论，即可得出答案。‎ ‎【详解】解：（1）因为集合，，所以，‎ 又因为或，所以 ‎ ‎（2）因为，所以当时，即，‎ 当时，若满足题意，则有 ，所以，‎ 综上所述：。‎ ‎【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，是基础题．‎ ‎18.已知全集，集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出和,再取交集，即可。‎ ‎（2）因为且恒成立，所以，解出即可。‎ ‎【详解】解：（1）若，则，所以或，又因为，所以 。‎ ‎（2）由（1）得，，又因为，所以 ，解得。‎ ‎【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，考查了利用集合间的关系求参数的取值问题，解答此题的关键是对集合端点值的取舍，是基础题．‎ ‎19.已知命题p：“方程有两个不相等的实根”，命题p是真命题。‎ ‎（1）求实数m的取值集合M； ‎ ‎（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的充分条件，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ 分析：‎ ‎（1）由二次方程有解可得，从而可得解；‎ ‎（2）由x∈N是x∈M的充分条件，可得，从而可得解.‎ 详解：‎ ‎(1) 命题：方程有两个不相等的实根，‎ ‎，解得，或．‎ M={m|，或}．‎ ‎(2) 因为x∈N是x∈M的充分条件，所以 N=‎ ‎ ‎ 综上，或 点睛：根据充要条件求解参数的范围时，可把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系，由此得到不等式（组）后再求范围．解题时要注意，在利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．‎ ‎20.设，若其元素满足，则称集合为集合的“元封闭集”.‎ ‎（1）写出实数集的一个“二元封闭集”；‎ ‎（2）证明：正整数集上不存在“二元封闭集”；‎ ‎（3）求出正整数集上的所有“三元封闭集”.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由 推出 ，从而求一个二元封闭集； （2）假设存在，不妨设 ，讨论的取值； （3）不妨设，讨论求出三元封闭集．‎ ‎【详解】（1）因为 ，所以 ，‎ 令，则二元封闭集可以为。‎ ‎（2）证明：不妨设 ，‎ 若 ，‎ 若 ，‎ ‎ ，‎ 则正整数集上不存在“二元封闭集”．‎ ‎（3）不妨设 ，‎ 则由 可得，‎ ‎ ‎ 假设，则 ，‎ 则，‎ 此时为。‎ 若，则 ，‎ ‎ 则 ，‎ 则不存在．‎ 综上所述，正整数集上的“三元封闭集”只有一个，．‎ ‎【点睛】本题考查了学生对新知识的接受能力与应用能力，属于难题．‎ ‎21.设是不小于3的正整数，集合，对于集合中任意两个元素，.‎ 定义1：. ‎ 定义2：若，则称，互为相反元素，记作，或.‎ ‎（Ⅰ）若，，，试写出，，以及的值；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：；‎ ‎（Ⅲ）设是小于的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合中任意两个不相同的元素，，都有，试求集合中元素个数的所有可能值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据定义求，，以及的值；（Ⅱ）设，，根据定义求，再根据定义化简，即得结果，（Ⅲ）先假设集合有三个不相同的元素，，，再根据得恰有个1，与个0，同理可得恰有个1，与个0，调整次序对应相减可得，最后根据为奇数，得到矛盾，否定假设，即得结果.‎ ‎【详解】（Ⅰ），，‎ ‎（Ⅱ）设，，，‎ 由，可得，‎ 所以，‎ 当且仅当，，即，时上式“=”成立 由题意可知 即 所以，‎ ‎（Ⅲ）解法1：假设，，为集合中的三个不相同的元素.‎ 则 即 又由题意可知或1，‎ 恰有个1，与个0‎ 设其中个等于1的项依次为 个等于0的项依次为 由题意可知 所以，同理 所以 即 因为 由（2）可知 因为 所以，‎ 设，由题意可知 所以，得与为奇数矛盾 所以假设不成立，即集合中至多有两个元素 当时符合题意 所以集合中元素的个数只可能是2‎ 解法2：假设，，为集合中的三个不相同的元素.‎ 则 即 又由题意可知或1，‎ 恰有个1，与个0‎ 设其中个等于1的项依次为 个等于0的项依次为 由题意可知 所以①‎ 同理②‎ ‎①—②得 又因为为奇数 与矛盾 所以假设不成立，即集合中至多有两个元素 当时符合题意 所以集合中元素的个数只可能是2‎ ‎【点睛】本题考查新定义以及绝对值定义，考查综合分析论证与求解能力，属难题.‎ ‎ ‎