合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)

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合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)‎ ‎(考试时间：120分钟 满分：150分)‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设复数满足，则在复平面内的对应点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.若集合，，则( )‎ A. B. C.(-1，1) D.(-1，2)‎ ‎3．已知双曲线()的一条渐近线方程为，且经过点(，4)，则双曲线的方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.在中，，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：‎ ‎　‎ 空调类 冰箱类 小家电类 其它类 营业收入占比 ‎90.10%‎ ‎4.98%‎ ‎3.82%‎ ‎1.10%‎ 净利润占比 ‎95.80%‎ ‎-0.48%‎ ‎3.82%‎ ‎0.86%‎ 则下列判断中不正确的是( )‎ A.该公司2018年度冰箱类电器销售亏损 B.该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同 C.该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供 D.剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低 ‎6.将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是( )‎ A.函数的图象关于点对称 B.函数的周期是 C.函数在上单调递增 D.函数在上最大值是1‎ ‎7.已知椭圆()的左右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，以线段为直径的圆交线段的延长线于点，若，则该椭圆离心率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务必须排在前三项执行，且执行任务之后需立即执行任务，任务、任务不能相邻，则不同的执行方案共有( )‎ A.36种        B.44种       C.48种        D.54种 ‎9.函数的图象大致为( )‎ 8‎ ‎10.如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有( )‎ A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 ‎11.“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则的值为( )‎ A.7 B.8 C.9 D.10‎ ‎12.函数在(0，1)内有两个零点，则实数的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.‎ ‎13.设等差数列的前项和为，若，， 则数列的公差__________.‎ ‎14.若，则_____________.‎ ‎15.若，则的最小值为_________.‎ ‎16.已知半径为4的球面上有两点，，球心为，若球面上的动点满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为____________.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 在中，角所对的边分别为，，‎ 的面积.‎ ‎(Ⅰ)求角；‎ ‎(Ⅱ)求周长的取值范围.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，.‎ 8‎ ‎(Ⅰ)求证：；‎ ‎(Ⅱ)若，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：‎ 方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；‎ 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.‎ 某医院准备一次性购买2台这种机器。现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：‎ 维修次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 台数 ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.‎ ‎(Ⅰ)求的分布列；‎ ‎(Ⅱ)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？‎ ‎20.(本小题满分12分)已知抛物线()上一点(，9)到其焦点的距离为.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ)设过焦点的直线与抛物线交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交轴于两点，求的取值范围.‎ 8‎ ‎21.(本小题满分12分)已知函数()是减函数. ‎ ‎(Ⅰ)试确定的值；‎ ‎(Ⅱ)已知数列，，()，求证：.‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).在以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为.‎ ‎(Ⅰ)写出曲线和的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ)若分别为曲线，上的动点，求的最大值.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎(Ⅰ)求的解集；‎ ‎(Ⅱ)若恒成立，求实数的最大值.‎ 合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学试题(理科)‎ 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C C B B C D B A C D D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.2 14. 15. 16.‎ 三、解答题：‎ 8‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)由可知，‎ ‎∴. 由正弦定理得.‎ 由余弦定理得，∴. …………………………5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，∴，.‎ 的周长为 ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴的周长的取值范围为. ……………………………12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)取的中点为，连结.‎ 由是三棱台得，平面∥平面，从而.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴.‎ ‎∵，为的中点，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∵平面平面，且交线为，平面，‎ ‎∴⊥平面，而平面，‎ ‎∴. ………………………5分 ‎(Ⅱ)连结.‎ 由是正三角形，且为中点得，.‎ 由(Ⅰ)知，⊥平面，，‎ ‎∴，‎ ‎∴两两垂直.‎ 以分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设，则()，()，(1，0，0)，(-1，，0)，‎ ‎∴，，.‎ 设平面的一个法向量为.‎ 由可得，.‎ 8‎ 令，则，∴.‎ 设与平面所成角为，则.‎ ‎ ……………………………12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6.‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎…………………………5分 ‎(Ⅱ)选择延保方案一，所需费用元的分布列为：‎ ‎7000‎ ‎9000‎ ‎11000‎ ‎13000‎ ‎15000‎ P ‎(元).‎ 选择延保方案二，所需费用元的分布列为：‎ ‎10000‎ ‎11000‎ ‎12000‎ P ‎(元).‎ ‎∵，∴该医院选择延保方案二较合算. …………………………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)已知()到焦点的距离为，则点到其准线的距离为10.‎ ‎∵抛物线的准线为，∴，‎ 解得，，∴抛物线的方程为. …………………………5分 ‎(Ⅱ)由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为(0，1)，则.‎ 设()，(，)，由消去得，，‎ ‎∴，.‎ 由于抛物线也是函数的图象，且，则.‎ 8‎ 令，解得 ，∴，从而.‎ 同理可得，，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴的取值范围为. ……………………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 解：(Ⅰ)的定义域为，.‎ 由是减函数得，对任意的，都有恒成立.‎ 设.‎ ‎∵，由知，，‎ ‎∴当时，；当时，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴在时取得最大值.‎ 又∵，∴对任意的，恒成立，即的最大值为.‎ ‎∴，解得. ……………………………5分 ‎(Ⅱ)由是减函数，且可得，当时，，‎ ‎∴，即.‎ 两边同除以得，，即.‎ 从而，‎ 所以①.‎ 下面证：‎ 记，.‎ ‎∴，‎ ‎∵在上单调递增，‎ ‎∴在上单调递减，而，‎ ‎∴当时，恒成立，‎ ‎∴在上单调递减，即，，‎ ‎∴当时，.‎ 8‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，，即②.‎ 综上①②可得，. ……………………………12分 ‎22.(本小题满分10分)‎ 解：(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为，‎ 曲线的直角坐标方程为，即.…………………………5分 ‎(Ⅱ)设点的坐标为().‎ 当时，=. …………………………10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ 解：(Ⅰ)由得，‎ 所以，解得，‎ 所以，的解集为. …………………………5分 ‎(Ⅱ)恒成立，即恒成立.‎ 当时，；‎ 当时，.‎ 因为(当且仅当，即时等号成立)，‎ 所以，即的最大值是. …………………………10分 8‎