数学卷·2018届重庆市万州区纯阳中学高二上学期12月月考数学试卷（解析版）

数学卷·2018届重庆市万州区纯阳中学高二上学期12月月考数学试卷（解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年重庆市万州区纯阳中学高二（上）12月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．方程x2+y2+2ax﹣by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（　　）‎ A．2，4，4 B．﹣2，4，4 C．2，﹣4，4 D．2，﹣4，﹣4‎ ‎2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）‎ A．①② B．①③ C．①④ D．②④‎ ‎3．点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．a=±1‎ ‎4．直线y=x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离为（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎5．给出下列四个命题：‎ ‎（1）平面内的一条直线与平面外的一条直线是异面直线；‎ ‎（2）若三个平面两两相交，则这三个平面把空间分成7部分；‎ ‎（3）用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；‎ ‎（4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它和另一条直线可能相交、平行或异面．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎6．直线x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．若圆台的上、下底面半径的比为3：5，则它的中截面分圆台上下两部分面积之比为（　　）‎ A．3：5 B．9：25 C．5： D．7：9‎ ‎8．过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（　　）‎ A．y= B．y=﹣ C． D．‎ ‎9．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（　　）‎ A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形 ‎10．已知，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，则过这三点的截面图的形状是（　　）‎ A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13．以点A（1，4）、B（3，﹣2）为直径的两个端点的圆的方程为　　．‎ ‎14．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是　　．‎ ‎15．正四面体的内切球与外接球的体积之比　　．‎ ‎16．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共5小题，第17题8分，第18～21题每题10分．）‎ ‎17．过圆x2+y2﹣x+y﹣2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+‎ ‎4y﹣1=0上的圆的方程为　　．‎ ‎18．过原点O作圆x2+y2﹣8x=0的弦OA，延长OA到N，使|OA|=|AN|，求点N的轨迹方程．‎ ‎19．如图：已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC，BD的交点．求A1F与B1E所成角的余弦值．‎ ‎20．圆（x+1）2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB过点P，‎ ‎①若弦长，求直线AB的倾斜角；‎ ‎②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程．‎ ‎21．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M、N两点 ‎（1）求实数k的取值范围；‎ ‎（2）求证：为定值；‎ ‎（3）若O为坐标原点，且，求直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年重庆市万州区纯阳中学高二（上）12月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．方程x2+y2+2ax﹣by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（　　）‎ A．2，4，4 B．﹣2，4，4 C．2，﹣4，4 D．2，﹣4，﹣4‎ ‎【考点】二元二次方程表示圆的条件．‎ ‎【分析】先根据方程求出用a、b和c表示的圆心坐标和圆的半径，再由题意代入对应的式子求出a、b和c的值．‎ ‎【解答】解：由x2+y2+2ax﹣by+c=0得，圆心坐标是（﹣a，），半径为r2=，‎ 因圆心为C（2，2），半径为2，解得a=﹣2，b=4，c=4，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）‎ A．①② B．①③ C．①④ D．②④‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．‎ ‎【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，‎ 所以，正确答案为D．‎ 故选D ‎　‎ ‎3．点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（　　）‎ A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．a=±1‎ ‎【考点】点与圆的位置关系．‎ ‎【分析】圆（x﹣a）2+（y+a）2=4表示平面上到圆心（a，﹣a）的距离为2的所有点的集合，如果点（1，1）在圆内，则得到圆心与该点的距离小于半径，列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围．‎ ‎【解答】解：因为点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，‎ 所以表示点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离小于2，‎ 即＜2‎ 两边平方得：（1﹣a）2+（a+1）2＜4，‎ 化简得a2＜1，解得﹣1＜a＜1，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．直线y=x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离为（　　）‎ A． B． C． D．0‎ ‎【考点】点到直线的距离公式；圆的标准方程．‎ ‎【分析】求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，此距离减去半径即得所求的结果．‎ ‎【解答】解：由题设知圆心为C（﹣2，1），半径r=1，‎ 而圆心C（﹣2，1）到直线x﹣y﹣1=0距离为，‎ 因此，圆上点到直线的最短距离为，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．给出下列四个命题：‎ ‎（1）平面内的一条直线与平面外的一条直线是异面直线；‎ ‎（2）若三个平面两两相交，则这三个平面把空间分成7部分；‎ ‎（3）用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；‎ ‎（4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它和另一条直线可能相交、平行或异面．‎ 其中真命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1）写出平面内的一条直线与平面外的一条直线的位置关系，即可判定命题正误；‎ ‎（2）画出三个平面两两相交的情况，即可判定命题的正误；‎ ‎（3）根据棱台的定义，可以判定命题的正误；‎ ‎（4）举例说明命题是正确的．‎ ‎【解答】解：（1）平面内的一条直线与平面外的一条直线的位置关系是平行，相交，或异面；‎ ‎∴命题（1）错误；‎ ‎（2）三个平面两两相交，这三个平面可以把空间分成6或7部分，‎ 如图，；‎ ‎∴命题（2）错误；‎ ‎（3）用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台；‎ ‎∴命题（3）错误；‎ ‎（4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，‎ 那么它和另一条直线可能相交（如两条异面直线的公垂线），‎ 平行（如作两条异面直线所成的角），‎ 或异面（如正方体中下底面的对角线与上底面的棱）；‎ ‎∴命题（4）正确；‎ 所以，以上真命题只有1个，是（4）；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．直线x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】先求圆心到直线的距离，再求劣弧所对的圆心角．‎ ‎【解答】解：圆心到直线的距离：，‎ 圆的半径是2，劣弧所对的圆心角为60°‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．若圆台的上、下底面半径的比为3：5，则它的中截面分圆台上下两部分面积之比为（　　）‎ A．3：5 B．9：25 C．5： D．7：9‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据圆台的上、下底面半径的比为3：5，我们可以设，上底半径为3R，下底半径为5R，母线长为2L，求出上、下两部分侧面积，即可得到答案．点评：‎ ‎【解答】解：设上底半径为3R，下底半径为5R，母线长为2L，‎ 则中截面半径为4R，分成的两个圆台的母线长均为L，‎ 则S上=π（4R+3R）L，‎ S下=π（4R+5R）L，‎ 故分圆台上、下两部分侧面积的比为7：9．‎ 故选：D，‎ ‎　‎ ‎8．过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（　　）‎ A．y= B．y=﹣ C． D．‎ ‎【考点】直线和圆的方程的应用．‎ ‎【分析】画出图形，利用三角函数可以求直线的斜率，求出直线方程．‎ ‎【解答】解：如图，圆方程为（x+2）2+y2=12，‎ 圆心为A（﹣2，0），半径为1，‎ ‎．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（　　）‎ A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形 ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】圆锥的母线长就是展开半圆的半径，根据这个条件就可以知道圆锥的母线长是圆锥底面圆半径的两倍，推出结论．‎ ‎【解答】解：圆锥的母线长就是展开半圆的半径，半圆的弧长为aπ就是圆锥的底面周长，‎ 所以圆锥的底面直径为a，‎ 圆锥的轴截面是等边三角形．‎ 故选A ‎　‎ ‎10．已知，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】交集及其运算；元素与集合关系的判断．‎ ‎【分析】先分析出M中的元素表示的是以（0，0）为圆心，r=3的上半圆，N中的元素是一组平行线上的点，再画出对应图象，知道直线的临界值在相切以及y=x+3之间，求出相切时对应的b即可求得结果．‎ ‎【解答】解：由题得：M中的元素表示的是以（0，0）为圆心，r=3的上半圆，‎ N中的元素是一组平行线上的点．‎ 由M∩N≠∅，得直线与半圆有公共点，画出图形得 直线的临界值在与圆相切以及y=x﹣3之间．‎ 相切时，因为（0，0）到直线y=x+b的距离 ‎ d==3⇒b=±3，由图得取b=3．‎ 所以﹣3＜b≤3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】通过几何体的体积，判断几何体中正方体的个数，排除选项A、D；从俯视图正视图推出正确选项．‎ ‎【解答】解：由这个几何体的体积为7cm3可知共有7个小正方体．‎ 通过俯视图可以排除选项A、D，结合俯视图与主视图即可选出正确答案为C（若左视图为D，则只需要6个小正方体即可）．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，则过这三点的截面图的形状是（　　）‎ A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】分别取D1C1、D1D、AD的中点H、M、N，连结GH、HM、MN，六边形EFGHMN是过E，F，G这三点的截面图．‎ ‎【解答】解：分别取D1C1、D1D、AD的中点H、M、N，‎ 连结GH、HM、MN，‎ ‎∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，‎ ‎∴HG∥EN，HM∥EF，FG∥MN，‎ ‎∴六边形EFGHMN是过E，F，G这三点的截面图，‎ ‎∴过这三点的截面图的形状是六边形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）‎ ‎13．以点A（1，4）、B（3，﹣2）为直径的两个端点的圆的方程为　（x﹣2）2+（y﹣1）2=10　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】根据中点坐标公式求出线段AB的中点坐标即为圆心的坐标，然后根据两点间的距离公式求出圆心到A的距离即为圆的半径，根据求出的圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．‎ ‎【解答】解：设线段AB的中点为O，‎ 所以O的坐标为（，），即（2，1），则所求圆的圆心坐标为（2，1）；‎ 由|AO|==，得到所求圆的半径为，‎ 所以所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．‎ 故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10‎ ‎　‎ ‎14．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是　16或64　．‎ ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】利用直观图的画法规则法两种情况即可求出．‎ ‎【解答】解：如图所示：‎ ‎①若直观图中平行四边形的边A′B′=4，‎ 则原正方形的边长AB=A′B′=4，故该正方形的面积S=42=16．‎ ‎②若直观图中平行四边形的边A′D′=4，‎ 则原正方形的边长AD=2A′D′=8，故该正方形的面积S=82=64．‎ 故答案为16或64．‎ ‎　‎ ‎15．正四面体的内切球与外接球的体积之比　1：27　．‎ ‎【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．‎ ‎【分析】画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值，即可求棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比．‎ ‎【解答】解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O． ‎ 设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥‎ 底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．‎ 设正四面体PABC底面面积为S． ‎ 将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，‎ 可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．‎ 每个正三棱锥体积V1=•S•r 而正四面体PABC体积V2=•S•（R+r）‎ 根据前面的分析，4•V1=V2，‎ 所以，4••S•r=•S•（R+r），‎ 所以，R=3r，‎ 所以棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比为1：27．‎ 故答案为1：27．‎ ‎　‎ ‎16．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为　80 cm2　．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由三视图判断几何体的特征，结合三视图的数据关系，求出几何体的侧面积．‎ ‎【解答】解：由三视图复原几何体可知，此几何体为正四棱锥，底面边长为8，侧面上的高为5，‎ 所以S侧=4××8×5=80cm2．‎ 故答案为：80cm2．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共5小题，第17题8分，第18～21题每题10分．）‎ ‎17．过圆x2+y2﹣x+y﹣2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+4y﹣1=0上的圆的方程为　x2+y2+2x﹣2y﹣11=0　．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】根据题意可设所求圆的方程为x2+y2﹣x+y﹣2+λ（x2+y2﹣5）=0（λ≠﹣1），再求出圆心坐标为，圆心在直线3x+4y﹣1=0上，所以将圆心的坐标代入中心方程可得λ的值，进而求出圆的方程．‎ ‎【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2﹣x+y﹣2+λ（x2+y2﹣5）=0（λ≠﹣1），‎ 即整理可得 ，‎ 所以可知圆心坐标为，‎ 因为圆心在直线3x+4y﹣1=0上，‎ 所以可得，‎ 解得λ=﹣．‎ 将λ=﹣代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：x2+y2+2x﹣2y﹣11=0．‎ 故答案为：x2+y2+2x﹣2y﹣11=0．‎ ‎　‎ ‎18．过原点O作圆x2+y2﹣8x=0的弦OA，延长OA到N，使|OA|=|AN|，求点N的轨迹方程．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】设N（x，y），延长OA到N，使|OA|=|AN|，可得A．由于点A在圆（x′）2+（y′）2﹣8x′=0上，即可得出．‎ ‎【解答】解：设N（x，y），∵延长OA到N，使|OA|=|AN|，∴A．‎ 由于点A在圆（x′）2+（y′）2﹣8x′=0上，‎ ‎∴﹣8×=0，化为：x2+y2﹣16x=0，即为点N的轨迹方程．‎ ‎　‎ ‎19．如图：已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC，BD的交点．求A1F与B1E所成角的余弦值．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用cos＜，＞=即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．‎ 不妨设AB=2，则D（0，0，0），A1（2，0，2），F（1，1，0），‎ B1（2，2，2），E（0，2，1）．‎ ‎=（1，﹣1，2），=（2，0，1），‎ ‎∴cos＜，＞===，‎ ‎∴A1F与B1E所成角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．圆（x+1）2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB过点P，‎ ‎①若弦长，求直线AB的倾斜角；‎ ‎②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程；直线的倾斜角．‎ ‎【分析】①由弦长公式求出圆心到直线AB的距离，点斜式设出直线方程，由点到直线的距离公式求出斜率，再由斜率求倾斜角．‎ ‎②由题意知，圆心到直线AB的距离d=，由点到直线的距离公式求出斜率，点斜式写出直线方程，并化为一般式．‎ ‎【解答】解：①设圆心（﹣1，0）到直线AB的距离为d，则 d==1，设直线AB的倾斜角α，斜率为k，‎ 则直线AB的方程 y﹣2=k（x+1），即 kx﹣y+k+2=0，d=1=，‎ ‎∴k=或﹣，‎ ‎∴直线AB的倾斜角α=60°或 120°．‎ ‎②∵圆上恰有三点到直线AB的距离等于，‎ ‎∴圆心（﹣1，0）到直线AB的距离d==，‎ 直线AB的方程 y﹣2=k（x+1），‎ 即kx﹣y+k+2=0，‎ 由d==，‎ 解可得k=1或﹣1，‎ 直线AB的方程 x﹣y+3=0 或﹣x﹣y+1=0．‎ ‎　‎ ‎21．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M、N两点 ‎（1）求实数k的取值范围；‎ ‎（2）求证：为定值；‎ ‎（3）若O为坐标原点，且，求直线l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．‎ ‎（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程化简，再利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2 和x1•x2 的值，可得y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）的值，利用=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1•x2+y1•y2﹣（y1+y2）+1，即可得出结论；‎ ‎（3）由x1•x2+y1•y2=12，解得k的值，从而求得直线l的方程．‎ ‎【解答】（1）解：由题意可得，直线l的斜率存在，‎ 设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．…‎ 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．‎ 故由＜1，解得：＜k＜．‎ 故当＜k＜时，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．‎ ‎（2）证明：由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，‎ 可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，‎ 设M（x1，y1）；N（x2，y2），则 x1+x2=，x1•x2=，‎ ‎∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=，‎ ‎=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1•x2+y1•y2﹣（y1+y2）+1=+﹣k×﹣2+1=7为定值；‎ ‎（3）解：由x1•x2+y1•y2==12，解得 k=1，‎ 故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0．‎