江西省宜春市高安中学2019-2020高一下学期期中考试数学（理）（A）试卷

江西省宜春市高安中学2019-2020高一下学期期中考试数学（理）（A）试卷

江西省宜春市高安中学2019-2020高一下学期期中考试数学（理）（A）试卷 一. 选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)‎ ‎1.命题“”的否定为 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2.设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上对应的点位于( )‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.已知椭圆的离心率为，且椭圆的长轴长与焦距之和为6，则椭圆的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.“”是此方程表示椭圆的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎5.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记，若在D上恒成立，则称在D上为凸函数．以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.若，则函数的图象在处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（ ）‎ ‎9.已知，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎10.设点为抛物线的焦点，三点在抛物线上，且四边形为平行四边形，若对角线，则对角线所在的直线方程为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知定义在上的函数导函数为，对任意有，且设，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知椭圆的左右焦点分别为,若椭圆上存在点使,则该椭圆离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二. 填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在题中横线上)‎ 13. 设复数满足，则__________．‎ ‎14.在直线，，，围成的区域内撒一粒豆子，则落入，，围成的区域内的概率为__________．‎ ‎15.设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记，当为钝角时，的取值范围是__________． ‎ ‎16.用符号表示不超过的最大整数，例如 设函数有三个零点且 则的取值范围是__________． ‎ 三.解答题(本大题共6小题,共70分,17题满分10分，其余满分12分)‎ ‎17.设实数x满足，其中，命题实数x满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ ‎18. 观察下面四个等式：‎ 第1个：， 第2个：，‎ 第3个： 第4个：‎ ‎（1）按照以上各式的规律，猜想第个等式（）；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想成立．‎ ‎19. 已知四棱锥，底面为菱形， ,H为上的点，过的平面分别交于点，且平面．‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）当为的中点， ，与平面所成的角为，求二面角的余弦值．‎ ‎20.已知函数在与时都取得极值．‎ ‎（1）求的值与函数的单调区间；‎ ‎（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎21.已知椭圆：过点，且离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设过点为的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为（点与点不重合），证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的最小值；‎ ‎（2）若在区间上有两个极值点.‎ ‎（）求实数的取值范围；‎ ‎（）求证：.‎ 数学试题（A卷）答案 一、选择题：(每小题5分，共60分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B C B C D A A B B D D 二、填空题：(每小题5分，共20分)‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题：‎ ‎17．解：实数x满足，其中，解得 命题实数x满足，解得，即．‎ ‎（1）时， ‎ 为真，可得p与q都为真命题， ‎ 则 ，解得．所以实数x的取值范围是 ‎（2）p是q的必要不充分条件，， ‎ 解得.实数a的取值范围是．‎ ‎18．(1)猜想第n个等式为：，. ‎ ‎(2)证明：(1)当，左边右边，等式成立；‎ ‎(2)假设当时，等式成立，即，‎ 那么当时 所以，当时，等式成立．由(1)和(2)可知等式对于任何都成立．‎ ‎19.（1）证明：连结交于点，连结．因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，‎ 因为且平面，所以平面，‎ 因为平面，所以．‎ 因为平面， 平面，且平面平面，‎ 所以，所以．‎ ‎（2）由（1）知且，因为，且为的中点，‎ 所以，所以平面，所以与平面所成的角为，‎ 所以，所以，因为，所以． ‎ 分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则 ‎，‎ 所以．‎ 记平面的法向量为，则，‎ 令，则，所以，‎ 记平面的法向量为，则，令，则，所以， ‎ 记二面角的大小为，则 ‎．‎ 所以二面角的余弦值为 ． ‎ ‎20．（1），f（x）＝3x2+2ax+b 由解得，‎ f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：‎ x ‎（﹣∞,）‎ ‎ ‎ ‎（，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 极大值 极小值 所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．‎ ‎（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，‎ 得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，‎ 所以当x时，f（x）为极大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c为最大值．要使f（x）＜对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需＞f（2）＝2+c．‎ 解得c＜﹣1或c＞2．‎ ‎21.（1）由题意知，，解得，‎ 则椭圆的方程是.‎ ‎（2）设，，则，由已知得直线的斜率存在，设斜率为，‎ 则直线的方程为：，‎ 由，得，‎ 所以，，‎ 直线的方程为：，‎ 所以，‎ 令，则 ，‎ 所以直线与轴交于定点.‎ ‎22.解：（Ⅰ）当时，，，令，得.‎ 的单调性如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ 单调递减 ‎ ‎ 单调递增 易知.‎ ‎（Ⅱ）（i）.令，则.‎ 令，得.‎ 的单调性如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎ ‎ 单调递减 ‎ ‎ 单调递增 在区间上有两个极值点，即在区间上有两个零点，‎ 结合的单调性可知，且，即且.‎ 所以，即的取值范围是.‎ ‎（ii）由（i）知，所以.‎ 又，，，结合的单调性可知，.‎ 令，则.当时，，，，‎ 所以在上单调递增，而，，‎ 因此.‎