人教版高三数学总复习课时作业25

人教版高三数学总复习课时作业25

课时作业25　正弦定理、余弦定理应用举例 一、选择题 ‎1．如上图所示，在河岸AC测量河的宽度BC，图中所标的数据a，b，c，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是(　　)‎ A．c和α B．c和b C．c和β D．b和α 答案：D ‎2．甲船在岛A的正南B处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同时乙船自岛A出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为(　　)‎ A. 分钟 B. 分钟 C．21.5 分钟 D．2.15小时 解析：‎ 如图，设t小时后甲行驶到D处，则AD＝10－4t，乙行驶到C处，则AC＝6t.∵∠BAC＝120°，∴DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos120°＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.‎ 当t＝时，DC2最小，DC最小，此时它们所航行的时间为×60＝分钟．‎ 答案：A ‎3．轮船A和轮船B在中午12时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为120°，轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是(　　)‎ A．35海里 B．35海里 C．35海里 D．70海里 解析：设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是E、F，则依题意有CE＝25×2＝50，CF＝15×2＝30，且∠ECF＝120°，EF＝ ‎＝＝70.‎ 答案：D ‎4．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为(　　)‎ A．1 B．2sin10°‎ C．2cos10° D．cos20°‎ 解析：如图所示，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°.‎ 在△ABD中，由正弦定理＝，‎ ‎∴AD＝AB·＝＝2cos10°.‎ 答案：C ‎5．在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：由余弦定理得AC2＝9＋2－2×3××＝5，所以AC＝；再由正弦定理＝代入得sin∠BAC＝＝.‎ 答案：C ‎6．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80‎ ‎ km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始__________h后，两车的距离最小．(　　)‎ A. B．1‎ C. D．2‎ 解析：‎ 如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD＝200－80x，BE＝50x，‎ ‎∴y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos60°‎ 整理得y2＝12 900x2－42 000x＋40 000(0≤x≤2.5)‎ ‎∴当x＝时y2最小．‎ 答案：C 二、填空题 ‎7．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆形，且其轴截面顶角为120°，若要光源恰好照整个广场，则光源的高度为________m.‎ 解析：轴截面如图，则光源高度h＝＝5(m)．‎ 答案：5 ‎8．如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A，发现其北偏东45°，与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处，且cosθ＝.已知A、C两处的距离为10海里，则该货船的船速为________海里/小时．‎ 解析：因为cosθ＝，0°<θ<45°，所以sinθ＝，cos(45°－θ)＝×＋×＝，在△ABC中，BC2＝800＋100－2×20×10×＝340，所以BC＝2，该货船的船速为4海里/小时．‎ 答案：4 ‎9．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则的值等于________；边长AC的取值范围为________．‎ 解析：由正弦定理得，＝，∴＝，‎ ‎∴＝，∴＝2.‎ 在锐角△ABC中，即 ‎∴0)，‎ 故当＝时，最大值为.‎ 答案：D ‎3．(2014·新课标全国卷Ⅰ)‎ 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________ m.‎ 解析：设MN＝x m，则MA＝ m．△ABC中，BC＝100 m，则AC＝100 m，在△MAC中，∠AMC＝180°－75°－60°＝45°，由正弦定理得＝，‎ 则＝解得x＝150.‎ 答案：150‎ ‎4．山顶有一座石塔BC，已知石塔的高度为a.‎ ‎(1)如图(1)，若以B，C为观测点，在塔顶B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得A处的俯角为β，用a，α，β表示山的高度h.‎ ‎(2)如图(2)，若将观测点选在地面的直线AD上，其中D是塔顶B在地面上的正投影．已知石塔高度a＝20，当观测点E在AD上满足DE＝60时，看BC的视角(即∠BEC)最大，求山的高度h.‎ 解：(1)在△ABC中，∠BAC＝α－β，∠BCA＝90°＋β，‎ 在△ABC中，由正弦定理，得＝，‎ ‎∴AB＝＝.‎ 则h＝AB·sinα－a＝－a＝.‎ ‎(2)设DE＝x，∵tan∠BED＝，tan∠CED＝，‎ ‎∴tan∠BEC＝ ‎＝＝≤.‎ 当且仅当x＝，‎ 即x＝时，tan∠BEC最大，从而∠BEC最大，‎ 由题意，＝60，‎ 解得h＝180.‎