2019-2020学年湖南省邵东县第一中学高一上学期第三次月考数学试题
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邵东一中2019年下学期高一第三次月考
数学试题
考试时间：120分钟
第I卷（选择题)
一、单选题
1．（4分）已知，，则的非空子集的个数为
A．8 B．7 C．6 D．5
2．（4分）函数的图象是
A．B．C．D．
3．（4分）已知函数，则
A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减
C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称
4．（4分）已知函数是上的增函数，、是图象上两点，那么的解集是
A． B． C． D．
5．（4分）已知函数，若存在实数，，，当
时，，设，则的取值范围是
A． B． C． D．
6．（4分）设函数,若,则的值等于
A．4 B．8 C．16 D．2019
7．（4分）设是上的偶函数，且在上是减函数，若且，则
A． B．
C． D．与大小不确定
8．（4分）如图，一个水平放置的平面图的直观图（斜二测画法）是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是
A．1+ B．2+ C．1+ D．
9．（4分）平面α∥β，AB交α、β于A、B，CD交α、β于C、D，AB∩CD=S，SA=6，AB=9，SD=8，则CD=
A． B．24 C．12 D．或24
10．（4分）已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，侧棱，，两两垂直，且，若以为球心且1为半径的球与三棱锥公共部分的体积为，球的体积为，则的值为
A． B． C． D．
11．（4分）若直线l不平行于平面α，且α，则
A．α内所有直线与l异面
B．α内只存在有限条直线与l共面
C．α存在唯一的直线与l平行
D．α存在无数条直线与l相交
12．（4分）已如三棱锥D-ABC的四个顶点在球O的球面上，若，当三棱锥D-ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为.
A． B．2π C．5π D．
第II卷（非选择题)
二、填空题
13．（4分）已知函数满足对任意，都有成立，则实数的取值范围是________．
14．（4分）如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为________．
15．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为________．
16．（4分）函数f (x)＝∣4x－x2∣－a的零点的个数为3，则a＝ ．
三、解答题
17．（8分）已知函数．
（）用定义证明在上是增函数．
（）若在区间上取得最大值为，求实数的值．
C1
C
B
A
B1
D
A1
D1
E
18．（8分）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
证明：直线BD1∥平面AEC；
求异面直线AE与BD1所成角的余弦值．
19．（10分）如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N．求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；
(2)PC和NC的长．
20．（10分） “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4
0恒成立，求实数k的取值范围．
22．（10分）已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．
（1）求的解析式；
（2）设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．
数学参考答案
1．B
【分析】集合中的元素是在条件下的值域,即可求得.
集合中的元素是的定义域.分别求得集合,集合,即可求得.
【详解】
，
中的元素是的定义域,
解得:
，
根据非空子集个数计算公式:
的非空子集个数为.
故选:B
【点睛】研究集合问题,看元素应满足的属性,在集合中有函数时,分辨集合的元素是自变量,还是因变量,结合集合中的约束来求解集合.
2．D
【分析】化简题设中的函数后可得其图像的正确选项.
【详解】函数可化为，故其图像为D.
【点睛】本题考查分段函数的图像，属于基础题.
3．C
【分析】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C．
【点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心．
4．D
【分析】根据函数图象化简不等式，解得结果.
【详解】由题意可得y=f(x)图象示意图，由图可得|f(x+1)|≥1或，即或，选D.
【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.
5．D
【分析】画出函数图象，得到，，得
则，换元后转化为二次函数求解值域即可．
【详解】作出函数f（x）的图象，若存在实数，，，当时，，可得a与b关于x=1对称，
所以2＜c＜3， ，且，得
则，
令，得，
又，则的取值范围为，
故选：D．
【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查数形结合思想和运算能力，分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，属于中档题．
6．B
【分析】根据函数的解析式,由,得到等式,再把化简,运用对数的运算公式结合上个等式,可以求出所求代数式的值.
【详解】由可得：.
。
故选：B
【点睛】本题考查了对数的运算性质,考查了运算能力,属于基础题.
7．A
【分析】试题分析：由是上的偶函数，且在上是减函数，所以在上是增函数，因为且，所以，所以，又因为，所以，故选A.
考点：函数奇偶性与单调性的综合应用.
【点晴】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，其中解答中涉及函数的单调性和函数奇偶性的应用等知识点，本题的解答中先利用偶函数的图象的对称性得出在上是增函数，然后在利用题设条案件把自变量转化到区间上是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.
8．B
【分析】先还原几何体，再根据直角梯形面积公式得结果.
【详解】几何体为一个直角梯形，上底长为1，下底长为1+，高为2，因此面积为选B.
【点睛】本题考查直观图，考查基本分析求解能力，属基础题.
9．D
10．B
【分析】由题意可知是半径为1的球的体积的，把三棱锥补成正方体，利用正方体与外接球的关系即可得到球的体积为.
【详解】由题意易得：，
将三棱锥补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球，直径为：，
从而，，
所以，
故选：B.
【点睛】三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .
11．D
【分析】通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD的正误.
【详解】根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC错误，故选D.
【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.
12．A
【分析】根据当三棱锥的体积取到最大值时，分别过作平面与平面的垂线，相交于，得到球的球心，再由求得截面的性质，求得球的半径，即可求得球的表面积.
【详解】如图所示，当三棱锥的体积取到最大值时，则平面与平面垂直，取的中点，连接，则，
分别取与的外心，分别过作平面与平面的垂线，相交于，则为四面体的球心，
由，可得正方形的边长为，则
所以四面体的外接球的半径
所以球的表面积为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及球的表面积的计算，其中解答中根据组合体的结构特征，求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.
13．
【分析】由可知为单调递增函数,故利用分段函数的单调性需要满足的关系式进行列式求解.
【详解】由可知为单调递增函数,故中
有与均为增函数,且在处的值小于.可得
故答案为：
【点睛】分段函数单调递增,需满足在各自区间上单调递增,且在分段处的函数值也满足单调性.
14．
【分析】几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，圆柱的全面积包括三部分，上下底面圆的面积和侧面展开矩形的面积.
【详解】由三视图知几何体是一个圆柱，
圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1，
故圆柱的全面积是：.
【点睛】本题考查三视图和圆柱的表面积，关键在于由三视图还原几何体.
15．
【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，根据圆锥底面圆周长等于展开后半圆的弧长得出，由题意得出，再由勾股定理得出的值，最后利用锥体的体积公式计算出圆锥的体积.
【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则，
由题意可知，，，由勾股定理得，
因此，该圆锥的体积为，故答案为：.
【点睛】本题考查圆锥体积的计算，涉及圆锥的侧面展开图问题，解题时要注意扇形弧长等于圆锥底面圆周长这一条件的应用，考查空间想象能力，属于中等题.
16．4
【分析】令函数f（x）=|x2-4x|-a=0，可得|x2-4x|=a．由于函数f（x）=|x2-4x|-a的零点个数为3，故函数y=|x2-4x|的图象和函数y=a的图象有3个交点，
如图所示：故a=4．故答案为 4．
考点：本题考查函数图象的对称变换；函数的零点。
【点睛】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了化归与转化及数形结合的数学思想，属于中档题．
17．（1）见解析；（2）.
【分析】:(1)用定义法证明函数为增函数;(2)由第一问的单调性可得,在x=4处取到最大值,代入即可.
（）设任意，，且，
则，
∵，
∴，，
∴，
即，
故在上是增函数．
（）在区间上是增函数，
∴，∴，
解得．
【点睛】证明函数单调性的一般步骤：（1）取值：在定义域上任取，并且（或）；（2）作差：，并将此式变形（要注意变形到能判断整个式子符号为止）；（3）定号：判断的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；（4）下结论：根据定义得出其单调性.
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取BD的中点O，连接OE，求证OE∥BD1，即可证明直线BD1∥平面AEC；
C1
C
B
A
B1
D
A1
D1
E
O
（2）可得异面直线AE与BD1所成角即为∠AEO。
【详解】（1）证明：连结BD交AC于O，连结EO，
在△BDD1中，
∵E，O分别为DD1与BD的中点，
∴EO ∥BD1
而EO 在平面AEC内，BD1不在平面AEC内，
∴直线BD1∥平面AEC
（2）∵EO ∥BD1，则异面直线AE与BD1所成角即为相交线AE与EO所成角，
设正方体的棱为2，则ED＝1，AE＝EC＝；
∴△AEC为等腰三角形，O为AC的中点，则OE⊥AC，
在Rt△AEO中，AO＝，OE＝
cos∠AEO＝；
所以异面直线AE与BD1所成角的余弦值为．
【点睛】本题考查利用面面平行证明线面平面，考查利用直角三角形的边角关系求异面直线所成角。
19．(1) (2) PC＝2, NC=
【分析】(1)由题意结合展开图的特征求解其对角线长即可；
(2)首先画出其展开图，然后结合展开图的几何特征即可求得PC和NC的长．
【详解】(1)正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，
其对角线的长为．
(2)
如图所示，将平面BB1C1C绕棱CC1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线．
设PC＝x，则P1C＝x．
在Rt△MAP1中，勾股定理得(3＋x)2＋22＝29，求得x＝2．
∴PC＝P1C＝2．∵＝，∴NC=
【点睛】本题主要考查正棱柱的几何特征，侧面展开图的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20．（1）（2）当养殖密度为尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为千克/立方米．
【分析】（1）由题意：当0＜x≤4时，v（x）=2．当4＜x≤20时，设v（x）=ax+b，v（x）=ax+b在[4，20]是减函数，由已知得，能求出函数v（x）；
（2）依题意并由（1），得f（x）=，当0≤x≤4时，f（x）为增函数，由此能求出fmax（x）=f（4），由此能求出结果．
【详解】（1）由题意得当时，；
当时，设，
由已知得，解得，所以，
故函数。
（2）设鱼的年生长量为千克/立方米，依题意并由（1）可得
当时，为增函数，故；
当时，，
，
所以当时，的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
【点睛】解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.
21．（1）.（2）k<1.
【分析】（1）设则或（舍），
又为奇函数，，
整理得
（2）在上单调递减.
要使对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
为奇函数，恒成立，
又在上单调递减，
当时恒成立，当时恒成立，
而当时，，
22．（1）．（2）.最小值
【分析】(1)根据是二次函数，且的解集是可设出的零点式,再根据在区间上的最大值在对称轴处取得为12即可算出对应的参数.
(2)由(1)求得后改写成顶点式,再根据对称轴与区间的位置关系,分情况进行讨论即可.
【详解】（1）是二次函数，且的解集是，
∴可设，
可得在区间在区间上函数是减函数，区间上函数是增函数．
∵，，，
∴在区间上的最大值是，得．
因此，函数的表达式为．
（2）由（1）得，函数图象的开口向上，对称轴为，
①当时，即时，在上单调递减，
此时的最小值；
②当时，在上单调递增，
此时的最小值；
③当时，函数在对称轴处取得最小值，
此时，，
综上所述，得的表达式为，
当，取最小值
【点睛】本题主要考查二次函数的性质.遇到含参数的最值问题时,注意讨论对称轴与区间的位置关系,分别为对称轴在区间左侧,右侧与对称轴在区间内即可.
