【数学】2019届一轮复习北师大版指数与指数函数学案
第8讲 指数与指数函数
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解指数函数模型的实际背景．
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3．理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图象．
4．体会指数函数是一类重要的函数模型.
2017·山东卷，10
2017·北京卷，10
2016·浙江卷，7
2015·天津卷，7
1.指数幂的化简与运算，经常与对数函数相结合考查．
2．指数函数的图象与性质的应用是高考的热点，经常与对数函数一起考查．
3．指数函数的综合应用是高考的热点，经常以指数型函数和复合函数的形式出现，考查它们的单调性、奇偶性、最值等.
分值：5分
1．根式
(1)根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
如果__xn＝a__，那么x叫做a的n次方根
n>1，且n∈N*
当n是奇数时，正数的n次方根是一个__正数__，负数的n次方根是一个__负数__
零的n次方根是零
当n是偶数时，正数的n次方根有__两个__，这两个数互为__相反数__
±(a>0)
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
①＝
②()n＝__a__(注意：a必须使 有意义)．
2．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：a＝____(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
②负分数指数幂：a－＝____＝____(a>0，m，n∈N*，且n>1)；
③0的正分数指数幂等于__0__,0的负分数指数幂__无意义__.
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝__ar＋s__(a>0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝__ars__(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
0
0时，__y>1__；
当x<0时，__00时，__01__
在R上是__增函数__
在R上是__减函数__
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)与()n都等于a(n∈N*)．( × )
(2)2a·2b＝2ab.( × )
(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．( √ )
(4)若am0，且a≠1)，则m1时，mn.
(5)正确．y＝2－x＝x，根据指数函数的性质可知函数在R上为减函数．
2．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为( B )
A．－9 B．7
C．－10 D．9
解析 原式＝(26)－1＝7.
3．函数f(x)＝的定义域是( A )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
解析 ∵1－2x≥0，∴2x≤1，∴x≤0.
4．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( A )
A．(1,5) B．(1,4)
C．(0,4) D．(4,0)
解析 当x＝1时，f(x)＝5.
5．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是__(－，－1)∪(1，)__.
解析 由题意知00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，和一条渐近线y＝0.
(2)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用最基本的指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
【例2】 (1)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( D )
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是__[－1,1]__.
解析 (1)因为函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象必过点(－1,0)，所以D项正确．故选D．
(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示．
由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．
三 指数函数的性质及应用
有关指数函数性质的问题类型及解题思路
(1)比较指数幂大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)．
(2)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，
要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．
(3)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．
【例3】 已知函数f(x)＝ex－e－x(x∈R，且e为自然对数的底数)．
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性；
(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
解析 (1)∵f(x)＝ex－x，
∴f′(x)＝ex＋x，∴f′(x)>0对任意x∈R都成立，
∴f(x)在R上是增函数．
∵f(x)的定义域为R，且f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)存在，由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数，则f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立⇔f(x2－t2)≥f(t－x)对一切x∈R都成立⇔x2－t2≥t－x对一切x∈R都成立⇔t2＋t≤x2＋x＝2－对一切x∈R都成立⇔t2＋t≤(x2＋x)min＝－⇔t2＋t＋＝2≤0.
又2≥0，∴2＝0，∴t＝－，∴存在t＝－，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立．
1．已知a＝，b＝，c＝，则( D )
A．ac，∴b0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)＝( A )
A．1 B．a
C．2 D．a2
解析 ∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，∴x1＋x2＝0，又∵f(x)＝ax，∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1.故选A．
3．函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为( B )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
解析 令2x＝t(t>0)，则函数y＝4x＋2x＋1＋1可化为y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2(t>0)．
∵函数y＝(t＋1)2在(0，＋∞)上递增，∴y>1.
∴所求值域为(1，＋∞)．故选B．
4．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)(a>0，且a≠1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( B )
A． B．
C．2 D．4
解析 ∵在[0,1]上y＝ax与y＝loga(x＋1)具有相同的单调性，∴f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上单调．
∴f(0)＋f(1)＝a，即a0＋loga1＋a1＋loga2＝a，化简得1＋loga2＝0，解得a＝.
错因分析：令t＝ax时，忽略了t>0这一条件．
【例1】 要使关于x的不等式9x＋(4＋a)3x＋4>0恒成立，求实数a的取值范围．
解析 方法一 令3x＝t，则t>0，
且t2＋(4＋a)t＋4>0在t∈(0，＋∞)时恒成立．
令f(t)＝t2＋(4＋a)t＋4(t>0)，则
①Δ<0，即(4＋a)2－4×4<0，∴a2＋8a<0，解得－8－恒成立．
令3x＝t，其中t>0，∵t＋≥4(当且仅当t＝2时取等号)，
∴－≤－4，
∵4＋a>－恒成立，∴4＋a>－4，a>－8.
∴实数a的取值范围为(－8，＋∞)．
【跟踪训练1】 如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a的值．
解析 设t＝ax>0，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2，其对称轴为t＝－1.
①若a>1，∵t＝ax在[－1,1]上递增，∴t∈.
∵－1<0<，∴y＝(t＋1)2－2在t∈上递增，由复合函数单调性知原函数在[－1,1]上递增，
故当x＝1时，ymax＝a2＋2a－1，
由a2＋2a－1＝14，解得a＝3或a＝－5(舍)，∴a＝3.
②若0c>b B．c>a>b
C．a>b>c D．b>a>c
解析 b＝2.50＝1，c＝2.5＝2－2.5，
则2－2.5<1<22.5，即cf(c)>f(b)，
结合图象知00，∴0<2a<1.
∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
∴f(c)<1，∴0f(c)，∴1－2a>2c－1，
∴2a＋2c<2.故选D．
二、填空题
7．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是__(0,1)__.
解析 因为f(x)＝a－x＝x，且f(－2)>f(－3)，
所以函数f(x)在定义域上单调递增，
所以>1，解得00，且a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝____.
解析 因为g(x)在[0，＋∞)上为增函数，
则1－4m>0，即m<.
若a>1，则函数f(x)在[－1,2]上单调递增，最小值为＝m，最大值为a2＝4，解得a＝2，m＝，与m<矛盾；
当00，且a≠1)，若对任意x1，x2∈R，>0，则a的取值范围是__(0,1)∪(2，＋∞)__.
解析 当02时，a－2>0，y＝ax单调递增，所以f(x)单调递增．又由题意知f(x)单调递增，故a的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．
三、解答题
10．化简：(1)(a>0，b>0)；
(2)－＋(0.002)－－10×(－2)－1＋(－)0.
解析 (1)原式＝
＝a＋＋－1·b1＋－2－＝ab－1.
(2)原式＝－＋－－＋1
＝＋500－10×(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
11．已知函数f(x)＝ax2－4x＋3.
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值．
解析 (1)当a＝－1时，f(x)＝－x2－4x＋3，令g(x)＝－x2－4x＋3，由于g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，当a＝0时，g(x)＝－4x＋3在R上不存在最小值，即f(x)不存在最大值，不合题意．当a≠0时，∵g(x)＝ax2－4x＋3＝a2＋3－，∴g(x)min＝3－(a>0)，∴f(x)max＝3－＝3，∴3－＝－1，∴a＝1.
12．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)解关于t的不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0.
解析 (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋.
由上式易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又因为f(x)是奇函数，所以不等式f(t2－2t)＋f(2t2－1)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－1)＝f(－2t2＋1)．因为f(x)是减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋1，即3t2－2t－1>0，解不等式可得t.
