四川省成都石室中学2020届高三11月半期考试数学（理）试题 含答案

四川省成都石室中学2020届高三11月半期考试数学（理）试题 含答案

成都石室中学十一月份半期考试 数学（理科）‎ ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ ‎ 第（Ⅰ）卷（选择题，共60分）‎ 一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.‎ ‎1．已知为虚数单位，复数，则（ ）‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ ‎2．已知集合，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布.从中随机取一件．其长度误差落在区间内的概率为（ ）‎ ‎（附：若随机变量服从正态分布，则，‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则 ‎ B．若，则 ‎ C．若，且，则 ‎ D．若，且，则 ‎6．△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分与不必要条件 ‎7．的展开式的常数项是（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎8．要得到函数的图象，可将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 ‎ C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎ ‎9．对于任意，函数满足，且当时，函数，若，，，则大小关系是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10．曲线在上存在单增区间，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．空间四面体ABCD中， AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数，对任意的，存在，使 ‎ 成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第（Ⅱ）卷（选择题，共60分）‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．‎ ‎13．已知与垂直，则与的夹角为 .‎ ‎14．已知，则= .‎ ‎15．已知函数，若，且，则的取 值范围为 . ‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，若，，过点M，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点C，D，则的最小值为 .‎ 三．解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（本题满分12分）已知等比数列的前项和为，，且是和的等差中项．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）当时，令，求数列的前项和．‎ ‎18.（本题满分12分）由中央电视台综合频道和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课．每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到青年观众的喜爱，为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了、两个地区的100名观众，得到如下的列联表，已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众是地区当中“非常满意”的观众的概率为0.4．‎ 非常满意 满意 合计 ‎35‎ ‎10‎ ‎　　‎ ‎　　‎ 合计 ‎　　‎ ‎　　‎ ‎　　‎ ‎（1）现从100名观众中用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取“非常满意”‎ 的、地区的人数各是多少．‎ ‎（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附：参考公式：.‎ ‎（3）若以抽样调查的频率为概率，从、两个地区随机抽取2人，设抽到的观众“非常满意”的人数为，求的分布列和期望．‎ ‎19.（本题满分12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面底面，，.‎ ‎（1）求证：平面与平面不垂直；‎ ‎（2）若，，，求二面角的余弦值. ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知动直线垂直于轴，与椭圆交于两点，点在直线上，.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆相交于，与曲线相切于点，为坐标原点，求的取值范围. ‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数(其中,是自然对数的底数) .‎ ‎(1)若对任意,都有,求的取值范围;‎ ‎(2)设()的最小值为,当时,证明:.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线参数方程为为参数)，将曲线上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，得到曲线.‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求取得最小值时的值. ‎ ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在，使得，求实数的取值范围.‎ 石室中学十一月份半期考试 数学试卷（理科）解析 ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ 一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.‎ ‎1．已知为虚数单位，复数，则　　‎ A． B．‎2 ‎C． D．‎ 答案：A 解析：因为，所以.‎ ‎2．已知集合，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 解析：因为，，所以=‎ ‎3．双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 解析：由题可知，所以 ‎4．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布.从中随机取一件．其长度误差落在区间内的概率为（ ）‎ ‎（附：若随机变量服从正态分布，则，‎ A． B． C． D．‎ 答案：B 解析：设长度误差为随机变量，由得，‎ ‎，所以 ‎5．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是　　‎ A．若，则 ‎ B．若，则 ‎ C．若，且，则 ‎ D．若，且，则 答案：D 解析：一条直线平行一个平面，不能得到该直线和平面内任意一条直线平行，所以A错；垂直于同一平面 的两个平面可以相交，可以平行，所以B错；当m和n平行时，不能得到两平面平行，所以C错；D正确.‎ ‎6．△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，则“”是“”的（ ）条件 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分与不必要条件 答案：B 解析：因为，由正弦定理可得，所以有，又因为A、‎ B为三角形内角，所以或，即或，所以“”是“”‎ 的必要不充分条件.‎ ‎7．的展开式的常数项是　　‎ A． B． C．2 D．4‎ 答案：B 解析：的通项为，r=3得，r=4得，‎ 所以展开式的常数项是.‎ ‎8．要得到函数的图象，可将函数的图象　　‎ A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 ‎ C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 ‎ 答案：D 解析：，，因为，所以需要将的图象向右平移个单位.‎ ‎9．对于任意，函数满足，且当时，函数，若，，则，，大小关系是　　‎ A． B． C． D．‎ 答案：C 解析：因为满足，所以的图象关于x=1对称.因为时，函数，所以在单调递增，由对称性可得在单调递减，所以离x=1越近的点，纵坐标越大.‎ ‎，因为，所以.‎ ‎10．曲线在上存在单增区间，则的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ 答案：A 解析：因为曲线在上存在单增区间，所以在上有解，所以 在上有解，所以.令，则，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以.‎ ‎11．空间四面体ABCD中， AB=CD=3，AC=BD=4，AD=BC=，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 答案：D 解析：因为空间四面体ABCD中， AB=CD，AC=BD，AD=BC，于是可以将该四 面体放入长方体中，设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则有：‎ ‎，于是，由于该四面体的外接球和长方体外接球 为同一球，所以外接球的直径等于长方体的体对角线，所以,‎ 所以球的表面积.‎ ‎12．设函数，对任意的，存在，使成立，则实数的取值范围是　　‎ A． B． ‎ C． D．‎ 答案：B 解析：由可得，因为对任意的，存在，都有 ‎，所以.当时，.‎ ‎，，在单调递减，，所以在单调递减，由于，所以在单调递增，单调递减，，‎ 因为，，‎ 于是，所以 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知与垂直，则与的夹角为 .‎ 答案：‎ 解析：由题可得，所以，所 以与的夹角为.‎ ‎14．已知，则= .‎ 答案：‎ 解析：因为，所以，所以 ‎=.‎ ‎15．已知函数，若，且，则的范 围为 . ‎ 答案：‎ 解析：作出f(x)的图象可得，，‎ 所以，所以，即，所以 所以，因为，所以范围为 ‎16．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，若，，过点M，N 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点C，D，则的最小值为 . ‎ 答案：6‎ 解析：设直线的方程为：，，，，，由，因为，，‎ 所以，，即，，令，‎ 则，故的最小值为（当且仅当时取等号）.‎ 三．解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17．【解析】（1）由是和的等差中项，得 2 = + ，即 a1q7 = ‎8a1q + ‎7a1q4，‎ 所以q6－7q3－8 = 0，即，解得公比或． ………2分 当时，由，所以；‎ ‎ 当时，由，所以；……………6分 ‎（2）当时，知，，‎ 所以数列的前项和为． …………………12分 ‎18. 【解析】（1）由题意，得：，解得，‎ 地抽取人，地抽取人． ……………2分 ‎（2）完成表格如下：‎ 非常满意 满意 合计 ‎35‎ ‎10‎ ‎45‎ ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 合计 ‎75‎ ‎25‎ ‎100‎ ‎， ……………7分 没有的把握认为观众的满意程度与所在地区有关系．‎ ‎（3）从、B两地区随机抽取1人，抽到的观众“非常满意”的概率为，‎ 随机抽取2人，的可能取值为0，1，2，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎． ……………12分 ‎19、【解析】 (1)证明如下：作于点，假设平面平面，‎ ‎ 则平面， ∴ ‎ ‎ 在直角梯形中，，，∴‎ ‎ ， ∴ 平面，∴‎ ‎ ∵ 平面底面，平面底面 ‎ ∴ 平面， ∴ ‎ ‎ 在 中，不可能有两个直角，所以假设不成立. ……………….5分 ‎（2）作于点，∵，∴为中点，连接.‎ ‎ ∵ 平面底面 ∴底面 ‎ 在直角梯形中，，，∴‎ 以、、所在直线分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系 ‎ ∵ ，，‎ ‎∴ ，，，‎ ‎ ，，，‎ ‎ 设平面的法向量为 ‎ 由， 取 同理可得平面的法向量 ……………….10分 ‎∴. ……………….11分 ‎ 由图形可知，所求二面角为钝角，∴二面角的余弦值 ‎. ……………….12分 ‎20. 【解析】(Ι)设，则由题知，，‎ ‎,，‎ 由在椭圆上，得，所以，‎ 故点的轨迹的方程为； ……………5分 ‎（II）当直线的斜率不存在时，；‎ 当直线的斜率存在时，设其方程为,‎ ‎，，………7分 ‎，所以， ……………8分 ‎，‎ ‎……10分 令，，，‎ 所以，当时，即时，取最大值，当时，即时，取最小值；综上：的取值范围为. ……………12分 ‎21.【解析】(1)的定义域为,,‎ ‎(i)若时,当时,,在上递增,且时,,所以不恒成立,故不符合条件;(1分)‎ ‎(ii)若时,,所以符合条件;(2分)‎ ‎(iii)若时,令,得,当时,,在上递减;当时, ,在上递增,‎ 所以,即,得,(4分)‎ 综上, 的取值范围是.(5分)‎ ‎(2) 的定义域为,,得,于是 当时,,递减;当时,,递增,‎ 所以(7分),‎ ‎,得,当时,, 递增;当时,,递减,所以,(9分)‎ ‎ ,等价于,等价于,‎ 由(1)知时,得,在时,得,用替代,得,用替代,得(当且仅当时取等号), 取，显然成立(11分)‎ 综上知,.(12分)‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎【解析】(1)将曲线参数方程为参数)的参数消去，得到直角坐标方程为 ‎，设上任意一点为，经过伸缩变换后的坐标为，由题意得：‎ ‎，故的直角坐标方程； ………5分 ‎（2）过点倾斜角为的直线的参数方程为：为参数)，带入的方程得：，‎ 记对于的参数分别为，， ………8分 ‎，‎ 故当时，. ………10分 ‎23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 ‎【解析】（1）由题知，当时，，解得；‎ 当时，，解得；当时，，不等式无解；‎ 综上，不等式的解集为. ………5分 ‎（2）由题知，存在，成立，即，，所以，. ………10分