2018-2019学年浙江省湖州市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

2018-2019学年浙江省湖州市高一下学期期末考试数学试题（解析版）

‎2018-2019学年浙江省湖州市高一下学期期末考试数学试题 一、单选题 ‎1．在直角坐标系中，直线的倾斜角是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据直线的方程，求出它的斜率，可得它的倾斜角．‎ ‎【详解】‎ 在直角坐标系中，直线的斜率为，等于倾斜角的正切值，‎ 故直线的倾斜角是，故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的倾斜角和斜率的求法。‎ ‎2．向量，，若，则实数的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用向量平行的坐标表示，即可求出。‎ ‎【详解】‎ 向量，，，即 解得．故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量平行的坐标表示。‎ ‎3．圆心为且过原点的圆的一般方程是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，求出圆的半径，即可得圆的标准方程，变形可得其一般方程。‎ ‎【详解】‎ 根据题意，要求圆的圆心为，且过原点，‎ 且其半径，‎ 则其标准方程为，变形可得其一般方程是，‎ 故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的方程求法，以及标准方程化成一般方程。‎ ‎4．在中，内角所对的边分别是．已知，，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知三边，利用余弦定理可得，结合，为锐角，可得，利用三角形内角和定理即可求的值．‎ ‎【详解】‎ 在中，，，，‎ 由余弦定理可得：，‎ ‎，故为锐角，可得，‎ ‎，故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用。‎ ‎5．若直线和直线平行，则的值为（ ）‎ A．1 B．-2 C．1或-2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由两直线平行可知满足 ‎【考点】两直线平行的判定 ‎6．已知函数，若关于的不等式的解集为，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可得，且，3为方程的两根，运用韦达定理可得，，的关系，可得的解析式，计算，（1），（4），比较可得所求大小关系．‎ ‎【详解】‎ 关于的不等式的解集为，‎ 可得，且，3为方程的两根，‎ 可得，，即，，‎ ‎，，‎ 可得，（1），（4），‎ 可得（4）（1），故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用。‎ ‎7．已知是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵等差数列，，，成等比数列，∴，‎ ‎∴，∴，，故选B.‎ ‎【考点】1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念 ‎8．已知向量，的夹角为，且，，则与的夹角等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据条件即可求出，从而可求出，，，然后可设与的夹角为，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．‎ ‎【详解】‎ ‎，；‎ ‎，，；‎ 设与的夹角为，则；‎ 又，，故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量数量积的定义运用，向量的模的求法，以及利用数量积求向量夹角。‎ ‎9．已知数列满足，（且），且数列是递增数列，数列是递减数列，又，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据已知条件可以推出，当为奇数时，，当为偶数时，，因此去绝对值可以得到，，利用累加法继而算出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎，即，‎ 或，‎ 又，‎ ‎．‎ 数列为递增数列，数列为递减数列，‎ 当为奇数时，，当为偶数时，，‎ ‎．‎ ‎ ‎ ‎．故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了通过递推式求数列的通项公式，数列单调性的应用，以及并项求和法的应用。‎ ‎10．设，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得恒成立，讨论，，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ 恒成立，‎ 即为恒成立，‎ 当时，可得的最小值，‎ 由，‎ 当且仅当取得最小值8，即有，则；‎ 当时，可得的最大值，‎ 由，‎ 当且仅当取得最大值，即有，则，‎ 综上可得．故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力。‎ 二、填空题 ‎11．已知点，，向量，则向量____，向量____．‎ ‎【答案】 ； ‎ ‎【解析】由点，，向量，先求出点坐标为，由此利用平面向量坐标运算法则能求出向量和向量．‎ ‎【详解】‎ 点，，向量，‎ 点坐标为，向量，向量．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的加减坐标运算。‎ ‎12．在中，内角所对的边分别是．若，，，则____，____．‎ ‎【答案】1 ‎ ‎【解析】由已知及正弦定理可得，即求出，利用三角形的内角和定理可求，根据余弦定理可得的值．‎ ‎【详解】‎ ‎，由正弦定理可得：，即，‎ ‎，，‎ 又，，，‎ 由余弦定理可得：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用。‎ ‎13．已知实数满足则目标函数的最大值是____，满足条件的实数构成的平面区域的面积等于____．‎ ‎【答案】2 2； ‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性目标函数的最值求法，进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 由得．平移直线，‎ 由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最大．‎ 由，解得，代入目标函数得．‎ 即目标函数的最大值为2．‎ 点时，同理，‎ 满足条件的实数，构成的平面区域的面积等于：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查简单线性规划问题的求解方法——平移法的应用，以及三角形面积的求法。‎ ‎14．已知在圆：上，直线：与圆相交于，则实数____，____．‎ ‎【答案】 ； ‎ ‎【解析】把点坐标代入圆的方程可得的值；由圆的方程可知，再由弦心距公式可得，继而由向量的数量积公式可得解．‎ ‎【详解】‎ 把代入圆，‎ 解得．即圆的方程为，‎ 所以，‎ 又圆到直线的距离，‎ 所以，则，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的一般方程与标准方程的互化，直线与圆相交所得弦长的求法，以及数量积的定义应用。‎ ‎15．已知，则的最大值是____．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】利用对数的运算法则以及二次函数的最值化简求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，则 ‎．当且仅当时，函数取得最大值．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数的运算法则应用以及利用二次函数的配方法求最值。‎ ‎16．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．‎ 详解: 设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，‎ ‎∴S7==381，解得a1=3．故答案为：3.‎ 点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.‎ ‎17．若关于的方程（）在区间有实根，则最小值是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将看作是关于的直线方程，则表示点到点的距离的平方，根据距离公式可求出点到直线的距离最小，再结合对勾函数的单调性，可求出最小值。‎ ‎【详解】‎ 将看作是关于的直线方程，‎ 表示点与点之间距离的平方，‎ 点到直线的距离为，‎ 又因为，令，‎ ‎ 在上单调递增，所以，‎ 所以的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查点到直线的距离公式以及对勾函数单调性的应用，意在考查学生转化思想的的应用。‎ 三、解答题 ‎18．已知直线过点，且在轴上的截距为．‎ ‎（Ⅰ）求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与圆：相切，求实数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或 ‎【解析】（Ⅰ）由斜率公式先求得直线的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程；‎ ‎（Ⅱ）运用直线和圆相切的条件，即圆心到直线的距离等于半径，解方程可得所求值．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意得l过点和点，‎ 则，所以直线l的方程为；‎ ‎（Ⅱ）由题意得圆心，半径，‎ 又，‎ 即，解得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线方程的求法，以及直线与圆的位置关系应用，重在考查学生利用几何法解决直线与圆的相切问题的能力。‎ ‎19．已知等比数列的各项为正数，为其前项的和，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的通项公式及其前项的和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ），‎ ‎【解析】（Ⅰ）设正项等比数列的公比为且，由已知列式求得首项与公比，则数列的通项公式可求；（Ⅱ）由已知求得，再由数列的分组求和即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意知，等比数列的公比，且，‎ 所以，‎ 解得，或（舍去），‎ 则所求数列的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）由题意得，‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及前项和公式的应用，同时考查了待定系数法求数列的通项公式和分组求和法求数列的和。‎ ‎20．如图所示，是边长为的正三角形，点四等分线段．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若点是线段上一点，且，求实数的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）以作为基底，表示出，然后利用数量积的运算法则计算即可求出；（Ⅱ）由平面向量数量积的运算及其运算可得：设，又，所以，解得，得解．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由题意得，‎ 则 ‎（Ⅱ）以为点Q是线段上一点，所以设，‎ 又，所以，‎ 故，‎ 解得，因此所求实数m的值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量数量积的运算以及平面向量基本定理的应用。‎ ‎21．在中，内角所对的边分别是．已知，，且．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求面积的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）先利用向量垂直的坐标表示，得到，再利用正弦定理以及两角和的正弦公式将，化为，进而得到，由此能求出．‎ ‎（Ⅱ）将两边平方，推导出，当且仅当，时取等号，由此求出面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ 解析：（Ⅰ）由得，‎ 则 得，即 由于，得，又A为内角，因此.‎ ‎（Ⅱ）将两边平方，即 所以，当且仅当，时取等号.‎ 此时，其最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数量积的坐标表示及运算、两角和的正弦公式应用、三角形面积公式的应用以及利用基本不等式求最值。‎ ‎22．已知数列的前项和为，且满足，（）．‎ ‎（Ⅰ）求的值，并求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：（）．‎ ‎【答案】（Ⅰ），，（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）根据和项与通项关系得 ，利用等比数列定义求得结果 ‎（Ⅱ）利用放缩法以及等比数列求和公式证得结果 ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ），‎ 由得，‎ 两式相减得 故，又 所以数列是以2为首项，公比为2的等比数列，‎ 因此，即.‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 所以 ‎.‎ 当时，‎ 故 又当时，，.‎ 因此对一切成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用和的关系以及构造法求数列的通项公式，同时考查利用放缩法证明数列不等式，解题难点是如何放缩，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力。‎