【数学】2018届一轮复习北师大版第六章不等式与推理证明学案

【数学】2018届一轮复习北师大版第六章不等式与推理证明学案

第1课时　不等关系及一元二次不等式解法 ‎1．两个实数大小与差的关系 作差法 ‎2．不等式的基本性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a＞b⇔b＜a ‎⇔‎ 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c ‎⇒‎ 可加性 ‎ a＞b⇔a＋c＞b＋c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac＞bc 注意c 的符号 ⇒ac＜bc 同向可加性 ⇒a＋c＞b＋d ‎⇒‎ 同向同正 可乘性 ⇒ac＞bd＞0‎ ‎⇒‎ 可乘方性 a＞b＞0⇒an＞bn ‎(n∈N，n≥1)‎ a，b同为正数 可开方性 a＞b＞0⇒＞ ‎(n∈N，n≥2)‎ ‎3.三个二次之间的关系 判别式Δ＝b2－‎‎4ac Δ＞0‎ Δ＝0‎ Δ＜0‎ 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根 x1，x2(x1＜x2)‎ 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0‎ ‎(a＞0)的解集 ‎{x|x＜x1或x＞x2}‎ R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 ‎{x|x1＜x＜x2}‎ ‎∅‎ ‎∅‎ ‎4.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若＞1，则a＞b.(×)‎ ‎(2)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(×)‎ ‎(3)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(×)‎ ‎(4)同向不等式具有可加和可乘性．(×)‎ ‎(5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒＞.(√)‎ ‎(6)若ab＞0，且a＞b⇔＜.(√)‎ ‎(7)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)‎ ‎(8)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.(×)‎ ‎(9)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－‎4ac≤0.(×)‎ ‎(10)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集．(√)‎ 考点一　比较两个数(式)的大小 命题点 ‎1.作差法比较大小 ‎2.作商法比较大小 ‎3.利用函数单调性及特殊值验证法比较大小 ‎ [例1]　(1)(2017·吉林长春联考)已知实数a、b、c，满足b＋c＝6－‎4a＋‎3a2，c－b＝4－‎4a＋a2，则a、b、c的大小关系是(　　)‎ A．c≥b＞a　　　　　　 B．a＞c≥b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 解析：c－b＝4－‎4a＋a2＝(2－a)2≥0，∴c≥b.‎ ‎(b＋c)－(c－b)＝‎2a2＋2，∴b＝a2＋1，‎ ‎∴b－a＝a2－a＋1＝2＋＞0，∴b＞a.‎ 答案：A ‎(2)若a＝，b＝，则a与b的大小关系为________．‎ 解析：∵a＝＞0，b＝＞0，‎ ‎∴＝·＝＝＝log89＞1，∴a＞b.‎ 答案：a＞b ‎(3)对于0＜a＜1，给出下列四个不等式：‎ ‎①loga(1＋a)＜loga；②loga(1＋a)＞loga；‎ 其中成立的是(　　)‎ A．①与③　　　　　　　　　 B．①与④‎ C．②与③ D．②与④‎ 解析：当0＜a＜1时，(1＋a)－＝＜0，则1＋a＜1＋，因此②④成立．‎ 答案：D ‎[方法引航]　比较大小的常用方法 (1)作差法：其基本步骤为：作差、变形、判断符号、得出结论.用作差法比较大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、分子(分母)有理化等变形方法.‎ (2)作商法：即判断商与1的关系，得出结论.要特别注意当商与1的大小确定后必须对商式分子分母的正负进行判断，这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤.‎ (3)单调性法：利用有关函数的单调性比较大小.‎ (4)特殊值验证法：对于一些题目，有的给出取值范围，可采用特殊值验证法比较大小.‎ ‎1．将本例(1)变为已知－1＜a＜0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，比较A，B，C的大小关系为(　　)‎ A．A＜B＜C B．B＜A＜C C．A＜C＜B D．B＜C＜A 解析：选B.法一(作差法)：由－10，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝‎2a2>0得A>B，‎ C－A＝－(1＋a2)＝－ ‎＝－>0，得C>A，所以B0在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是(　　)‎ A.　　　　　　B. C．(1，＋∞) D. 解析：选A.由Δ＝a2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负(如图)，所以方程必有一正根，一负根．‎ 于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)＞0，解得a＞－，故a的取值范围为.‎ ‎(3)已知函数f(x)＝mx2－mx－1.‎ ‎①若对于x∈R，f(x)＜0恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎②若对于x∈[1,3]，f(x)＜5－m恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解：①由题意可得m＝0或⇔m＝0或－4＜m＜0⇔－4＜m≤0.‎ 故m的取值范围是(－4,0]．‎ ‎②∵f(x)＜－m＋5⇔m(x2－x＋1)＜6，‎ ‎∵x2－x＋1＞0，∴m＜对于x∈[1,3]恒成立，‎ 只需求的最小值，记g(x)＝，x∈[1,3]，记h(x)＝x2－x＋1＝2＋，h(x)在x∈[1,3]上为增函数．‎ 则g(x)在[1,3]上为减函数，‎ ‎∴[g(x)]min＝g(3)＝，∴m＜.‎ 所以m的取值范围是.‎ ‎[方法引航]　(1)若x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，可把根x1，x2代入到方程中建立关系，也可利用根与系数的关系：x1＋x2＝，x1·x2＝建立关系.,若解集有包含关系，可利用集合包含关系建立不等式关系.‎ (2)对于一元二次不等式恒成立问题：‎ ‎①讨论x∈[m，n]时，y＝f(x)的图象特征：单调性及最值.,如当x∈[m，n]时，f(x)＝ax2＋bx＋c≥0恒成立，结合图象，只需f(x)min≥0即可；f(x)＝ax2＋bx＋c≤0恒成立，只需f(x)max≤0即可.‎ ‎②分离参数：将原不等式整理为f(x)≥a(f(x)≤a)，x∈[m，n]恒成立，即f(x)min≥a(f(x)max≤a.‎ ‎1．关于x的不等式x2－2ax－‎8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________.‎ 解析：由x2－2ax－‎8a2＜0(a＞0)的解集为(－‎2a,‎4a)由x2－x1＝15，得‎4a－(－‎2a)＝15，则a＝.‎ 答案： ‎2．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)＜0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．(1，＋∞)‎ B．(－∞，－1)‎ C. D.∪(1，＋∞)‎ 解析：选C.①m＝－1时，不等式为2x－6＜0，即x＜3，不合题意．‎ ‎②m≠－1时，解得m＜－.‎ ‎[思想方法]‎ 转化与化归思想 ‎[典例]　(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．‎ ‎(2)已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－‎2a＞0恒成立，则x的取值范围为________．‎ ‎[解析]　(1)由题意知f(x)＝x2＋ax＋b ‎＝2＋b－.‎ ‎∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－＝0，即b＝.‎ ‎∴f(x)＝2.又∵f(x)＜c.∴2＜c，‎ 即－－＜x＜－＋.‎ ‎∴ ‎②－①，得2＝6，∴c＝9.‎ ‎(2)把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，‎ 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，联立方程解得x＜1或x＞3.‎ ‎[答案]　(1)9　(2){x|x＜1或x＞3}‎ ‎[回顾反思]　(1)中利用“三个二次”之间的联系，将不等式、函数、方程之间相互转化；‎ ‎(2)中将已知不等式看作关于a的一次不等式，体现了主元与次元的转化．利用转化与化归思想的原则是熟悉化原则、简单化原则、直观化原则、正难则反原则．‎ ‎[高考真题体验]‎ ‎1．(2016·高考全国丙卷)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝(　　)‎ A．[2,3]　　　　　　 B．(－∞，2]∪[3，＋∞)‎ C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)‎ 解析：选D.集合S＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S∩T＝(0,2]∪[3，＋∞)．‎ ‎2．(2015·高考山东卷)已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝(　　)‎ A．(1,3) B．(1,4)‎ C．(2,3) D．(2,4)‎ 解析：选C.由x2－4x＋3＜0，得(x－1)(x－3)＜0，解得1＜x＜3.所以A＝(1,3)，则A∩B＝(2,3)．故选C.‎ ‎3．(2014·高考江苏卷)已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，则实数m的取值范围是________．‎ 解析：作出二次函数f(x)的图象，由题可得，f(x)＜0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，即，‎ 解得－＜m＜0.‎ 答案： 课时规范训练 A组　基础演练 ‎1．若a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A.＞　　　　　　 B．a2＜ab C.＜ D．an＞bn 解析：选C.取a＝－2，b＝－1，逐个检验选项可知，仅C选项成立．‎ ‎2．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为(　　)‎ A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2}‎ C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＜1或x＞2}‎ 解析：选A.由(x－1)(2－x)≥0可知(x－2)(x－1)≤0，所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}．‎ ‎3．设α∈，β∈，那么2α－的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(0，π) D. 解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤≤，‎ ‎∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.‎ ‎4．“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件 D．必要不充分条件 解析：选D.由“a＋c>b＋d”不能得出“a>b且c>d”，‎ 反过来，由“a>b且c>d”可以得出“a＋c>b＋d”，‎ 因此“a＋c>b＋d”是“a>b且c>d”的必要不充分条件，故选D.‎ ‎5．设二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则ab的值为(　　)‎ A．－6 B．－5‎ C．6 D．5‎ 解析：选C.L由题意得－1，是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，且a<0，∴解得a＝－3，b＝－2，‎ ‎∴ab＝6，故选C.‎ ‎6．已知a＜0，－1＜b＜0，那么a，ab，ab2的大小关系是________．(用“＞”连接)‎ 解析：由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1.‎ 又a＜0，∴ab＞ab2＞a.‎ 答案：ab＞ab2＞a ‎7．函数y＝的定义域是________．‎ 解析：由x2＋x－12≥0得(x－3)(x＋4)≥0，‎ ‎∴x≤－4或x≥3.‎ 答案：(－∞，－4]∪[3，＋∞)‎ ‎8．已知不等式x2－2x＋k2－1＞0对一切实数x恒成立，则实数k的取值范围为________．‎ 解析：由题意，知Δ＝4－4×1×(k2－1)＜0，‎ 即k2＞2，∴k＞或k＜－.‎ 答案：(－∞，－)∪(，＋∞)‎ ‎9．解关于x的不等式(1－ax)2＜1.‎ 解：由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，当a＝0时，x∈∅.‎ 当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得a2x＜0，即0＜x＜.当a＜0，＜x＜0.‎ 综上所述：当a＝0时，不等式解集为空集；当a＞0时，不等式解集为；当a＜0时，不等式解集为.‎ ‎10．求使不等式x2＋(a－6)x＋9－‎3a＞0，|a|≤1恒成立的x的取值范围．‎ 解：将原不等式整理为关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9＞0.‎ 令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.‎ 因为f(a)＞0在|a|≤1时恒成立，所以 ‎(1)若x＝3，则f(a)＝0，不符合题意，应舍去．‎ ‎(2)若x≠3，则由一次函数的单调性，可得，即，解得x＜2或x＞4.‎ B组　能力突破 ‎1．已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为(　　)‎ A．[－1,1]　　　　　　　　　　 B．[－2,2]‎ C．[－2,1] D．[－1,2]‎ 解析：选A.法一：当x≤0时，x＋2≥x2，‎ ‎∴－1≤x≤0；　①‎ 当x>0时，－x＋2≥x2，∴00的解集是，则关于x的不等式>0的解集是(　　)‎ A．(1,5)‎ B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，5)‎ D．(－∞，1)∪(5，＋∞)‎ 解析：选A.不等式ax－b>0的解集是⇒a>0，且a－2b＝0，则不等式>0等价于>0⇔(x－1)(x－5)<0⇔12，即‎2m＋n<4.‎ 所以m＋n<2，即m＋n－2<0，‎ 所以点(m，n)必在直线x＋y－2＝0的左下方．‎ 答案：A ‎(2)不等式组表示的平面区域的面积为__________．‎ 解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，‎ 由解得A(8，－2)．‎ 由x＋y－2＝0得B(0,2)．又|CD|＝2，故 S阴影＝×2×2＋×2×2＝4.‎ 答案：4‎ ‎(3)如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：两直线方程分别为x－2y＋2＝0与x＋y－1＝0.由(0,0)点在直线x－2y＋2＝0右下方可知x－2y＋2≥0，‎ 又(0,0)点在直线x＋y－1＝0左下方可知x＋y－1≥0，‎ 即为所表示的可行域．‎ 答案：A ‎[方法引航]　(1)特殊点法(常用方法),在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正负即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线哪一侧的平面区域.,特别地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点.当C＝0时，常取(1，0)或者(0，1)作为此特殊点.使不等式成立的就是含取点的一侧；不成立时是另一侧.‎ (2)变量系数法,对于直线y＝kx＋b.y＞kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的平面区域；y＜kx＋b表示直线y＝kx＋b下方的平面区域.‎ ‎1．不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为(　　)‎ A．－2　　　　　　　　　 B．－1‎ C．0 D．1‎ 解析：选D.注意到直线kx－y＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(图略)，结合题意得直线kx－y＝0与直线x＋y－4＝0垂直时满足题意，于是有k×(－1)＝－1，由此解得k＝1，选D.‎ ‎2．若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为________．‎ 解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共5个整点．‎ 答案：－1‎ 考点二　简单的线性规划问题 命题点 ‎1.求线性目标函数的最值 ‎2.求斜率型目标函数的最值 ‎3.求距离型目标函数的最值 ‎4.根据目标函数最值求参数 ‎ [例2]　(1)(2016·高考全国丙卷)设x，y满足约束条件，则z＝2x＋3y－5的最小值为________．‎ 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知当z＝2x＋3y－5经过点A(－1，－1)时，z取得最小值，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.‎ 答案：－10‎ ‎(2)设实数x，y满足则的最大值为________．‎ 解析：作出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，在点处取到最大值．‎ 答案： ‎(3)已知O是坐标原点，点A(1,0)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，，则|＋|的最小值是________．‎ 解析：依题意得，＋＝(x＋1，y)，|＋|＝可视为点(x，y)与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x＋y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|＋|的最小值是＝.‎ 答案： ‎(4)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于(　　)‎ A．－2　　　　　　　　　　　 B．－1‎ C．1 D．2‎ 解析：对于选项A，当m＝－2时，可行域如图(1)所示，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；‎ 对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图(2)所示，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；‎ 对于选项C，当m＝1时可行域如图(3)所示，当直线y＝2x－z过点A ‎(2,2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；‎ 对于选项D，当m＝2时，可行域如图(4)所示，直线y＝2x－z与直线OB平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确．故选C.‎ 答案：C ‎[方法引航]　(1)求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ (2)可联系点(x，y)与点连线的斜率.‎ (3)目标函数为z＝(x－a)2＋(y－b)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解.‎ (4)对形如z＝|Ax＋By＋C|型的目标，可先变形为z＝，联系点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离.‎ ‎1．在本例(1)中，已知条件不变，求z＝2x＋3y－5的最大值是多少？‎ 解：由得 当z＝2x＋3y－5过点(1,3)时，z最大．‎ ‎∴zmax＝2×1＋3×3－5＝6.‎ ‎2．在本例(2)中条件不变，求的取值范围．‎ 解：作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示．‎ 表示(x，y)与(4,0)连线的斜率，其最小值为kBC＝＝－3，其最大值为kAC＝－ ‎∴的取值范围为.‎ ‎3．在本例(2)中条件不变，求z＝的取值范围．‎ 解：zmax＝|AC|＝＝，‎ 又∵|BC|＝＝，‎ 点C(4,0)到x－y－2＝0的距离 d＝＝＝＜.‎ ‎∴z的取值范围为.‎ 考点三　线性规划的实际应用 命题点 列约束条件求线性目标函数的最值 ‎[例3]　(1)(2016·高考全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料‎1.5 kg，乙材料‎1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料‎0.5 kg，乙材料‎0.3 kg ‎，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料‎150 kg，乙材料‎90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．‎ 解析：由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性约束条件为，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)．‎ 答案：216 000‎ ‎(2)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只能送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z为(　　)‎ A．4 650元　　　　　　　　 B．4 700元 C．4 900元 D．5 000元 解析：设该公司合理计划当天派用甲、乙型卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件得x，y满足的约束条件为目标函数z＝450x＋350y.作出约束条件所表示的平面区域如图，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y＝0(即9x＋7y＝0)知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点A(7,5)时，目标函数取得最大值，即z＝450×7＋350×5＝4 900.‎ 答案：C ‎[方法引航]　线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：‎ (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；‎ (2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；‎ (3)求值——解方程组求出A点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.‎ 某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)‎ A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元 解析：选C.设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为 作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．‎ ‎[易错警示]‎ 目标函数的直线位置不准确致误 ‎[典例]　已知实数x，y满足，若目标函数z＝－mx＋y的最大值为－‎2m＋10，最小值为－‎2m－2，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[－1,2]　　　　　　　 B．[－2,1]‎ C．[2,3] D．[－1,3]‎ ‎[正解]　画出可行域如图阴影部分所示，A(－2,2)，B(2，－2)，C(2，10)．在点C处z取得最大值，在点B处z取得最小值，观察得直线y＝mx＋z的斜率m的取值范围为 即m∈[－1,2]，故选A.‎ ‎[答案]　A ‎[易误]　目标函数y＝mx＋z，z取最大值时过C点，z取最小值过B点，分不清y＝mx＋z在哪两条直线之间变化．‎ ‎[警示]　利用线性规划求目标函数z＝ax＋by的最值时，务必要分清直线z＝ax＋by与各边界线的相对位置．‎ ‎[高考真题体验]‎ ‎1．(2016·高考全国甲卷)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．‎ 解析：作出不等式组所示的可行域，如图中阴影部分所示，由z＝x－2y得y＝x－‎ z，作直线y＝x并平移，观察可知，当直线经过点A(3,4)时，zmin＝3－2×4＝－5.‎ 答案：－5‎ ‎2．(2016·高考全国丙卷)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．‎ 解析：约束条件对应的平面区域是以点、(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y＝－x＋z经过点时，z取得最大值.‎ 答案： ‎3．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则的最大值为________．‎ 解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，‎ 由可行域知，在点A(1,3)处，取得最大值3.‎ 答案：3‎ ‎4．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　)‎ A．－5 B．3‎ C．－5或3 D．5或－3‎ 解析：选B.联立方程，解得，代入x＋ay＝7中，解得a＝3或a＝－5，当a＝－5时，z＝x＋ay的最大值是7；当a＝3时，z＝x＋ay的最小值是7，故选B.‎ 课时规范训练 A组　基础演练 ‎1．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有(　　)‎ A．0个　　　　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．无数个 解析：选B.在坐标平面内画出直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域，易知直线与此区域的公共点有1个．‎ ‎2．若实数x，y满足不等式组则该约束条件所围成的平面区域的面积是(　　)‎ A．3 B. C．2 D．2 解析：选C.因为直线x－y＝－1与x＋y＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角形，易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，‎ 故|AB|＝，|AC|＝2，其面积为×|AB|×|AC|＝2.‎ ‎3．若x，y满足，则x＋2y的最大值为(　　)‎ A. B．6‎ C．11 D．10‎ 解析：选C.令z＝x＋2y，则y＝－x＋，作出可行域如图，平移直线x＋2y＝0，过点 A(3,4)时，z有最大值，则zmax＝3＋2×4＝11.‎ ‎4．若实数x，y满足则z＝x－2y的最大值是(　　)‎ A．－3 B. C. D．－ 解析：选C.二元一次不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分所示，观察可知当直线z＝x－2y过点C时，z取得最大值，最大值为，故选C.‎ ‎5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为(　　)‎ A．－7 B．－4‎ C．1 D．2‎ 解析：选A.可行域如图阴影部分(含边界)令z＝0，得直线l0：y－2x＝0，平移直线l0知，当直线l过A点时，z取得最小值．‎ 由得A(5,3)．‎ ‎∴zmin＝3－2×5＝－7，选A.‎ ‎6．已知z＝2x＋y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.‎ 根据题中所给约束条件所得的可行域如图所示．根据y＝－2x＋z可知z的几何含义为直线在y轴上的截距．显然y＝－2x＋z在点(1,1)和(m，m)处直线的截距分别取得最大值3和最小值‎3m，故3＝4·‎3m，解得m＝.‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为(　　)‎ A．2 B．1‎ C．－ D．－ 解析：选C.画出图形，数形结合得出答案．‎ 如图所示，所表示的平面区域为图中的阴影部分．‎ 由得A(3，－1)．‎ 当M点与A重合时，OM的斜率最小，kOM＝－.‎ ‎8．O为坐标原点，点M的坐标为(1,1)，若点N(x，y)的坐标满足则· 的最大值为(　　)‎ A. B．2 C. D．2 解析：选B.如图，点N在图中阴影区域内，当O、M、N共线时，·最大，此时N(，)，·＝(1,1)·(，)＝2，故选B.‎ ‎9．已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是(　　)‎ A．(1－，2) B．(0,2)‎ C．(－1,2) D．(0,1＋)‎ 解析：选A.如图，‎ 根据题意得C(1＋，2)．‎ 作直线－x＋y＝0，并向左上或右下平移，过点B(1,3)和C(1＋，2)时，z＝－x＋y取范围的边界值，即－(1＋)＋2＜z＜－1＋3，‎ ‎∴z＝－x＋y的取值范围是(1－，2)．‎ ‎10．已知x，y满足条件则z＝的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．－ D．－ 解析：选B.作出可行域如图，问题转化为区域上哪一些与点M(－3,1)‎ 连线斜率最大，观察知点A，使kMA最大，zmax＝kMA＝＝3.‎ B组　能力突破 ‎1．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值等于(　　)‎ A．7 B．8‎ C．10 D．11‎ 解析：选C.先作出线性约束条件下的可行域，再平移目标函数所对应的直线．‎ 作出约束条件下的可行域如图(阴影部分)，当直线y＝－2x＋z经过点A(4,2)时，z取最大值为10.‎ ‎2．在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数z＝x＋ay取得最小值的最优解有无数个，则的最大值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.目标函数可化为y＝－x＋z.要使目标函数z＝x＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则－＝kAC＝1，则a＝－1.故＝，其几何意义为可行域内的点(x，y)与点M(－1,0)的连线的斜率，可知max＝kMC＝，故选A.‎ ‎3．若x，y满足则z＝x＋y的最小值为________．‎ 解析：由线性约束条件画出可行域为如图所示的△ABC内部区域(包括边界)．由z＝x＋y变形得y＝－x＋z，作直线l：y＝－x并平移，当直线平移至过点A(0,1)时，z取得最小值，且最小值z＝×0＋1＝1.‎ 答案：1‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．‎ 解析：画出不等式组表示的平面区域，如图所示，M为图中阴影部分区域上的一个动点，由于点到直线的距离最短，即原点O到直线x＋y－2＝0的垂线段长是|OM|的最小值．‎ ‎∴|OM|min＝＝＝.‎ 答案： ‎5．若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数k的取值范围是________．‎ 解析：不等式组所表示的区域是由直线x－y＋5＝0，x＝2，x＝0和过定点(0,5)的直线y＝kx＋5所围成的平面区域，如图所示．由图可知，要使阴影部分成锐角三角形，动直线y＝kx＋5与直线x＝2的交点E必须位于点B(2,3)和点D(2,5)之间，此时－11，≥a恒成立，则a的最大值是(　　)‎ A．4　　　　　　　　　　　B．6‎ C．8 D．10‎ 解析：a≤对x∈(1，＋∞)恒成立，‎ 即a≤min，‎ ＝＝(x－1)＋＋2.‎ ‎∵x>1，即x－1>0，‎ ‎∴(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，‎ 当且仅当x－1＝，即x＝3时取“＝”，∴a≤6，即a的最大值为6，故选B.‎ 答案：B ‎(3)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；‎ 解析：∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，‎ ‎∴＋＝＋ ‎＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号．‎ 答案：3＋2 ‎[方法引航]　(1)利用基本不等式求最值的三个前提条件是“一正、二定、三相等”，即“一正”是各项为正数；“二定”是求和的最小值要求各项积为定值、求积的最大值要求各项和为定值；“三相等”是必须验证等号是否成立.‎ (2)对于已知“mx＋ny＝a求的最值”的题目，一般都将已知条件改为(mx＋ny)＝1，利用求最值，不可多次使用基本不等式.‎ ‎1．将本例(1)变为已知x，y∈R＋，且满足＋＝1，则xy的最大值为________．‎ 解析：∵x＞0，y＞0且1＝＋≥2 ，∴xy≤3.当且仅当＝时取等号．‎ 答案：3‎ ‎2．将本例(2)变为当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．‎ 解析：∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，‎ 当且仅当x＝，即x＝1时取等号．‎ 答案：1‎ ‎3．将本例(3)变为：x＞0，y＞0，＋＝1，求2x＋y的最小值．‎ 解：(2x＋y)＝3＋＋≥3＋2.‎ 当且仅当＝时，取“＝”．‎ 所以2x＋y的最小值为3＋2.‎ 考点二　基本不等式与函数综合 命题点 ‎1.利用均值不等式求变量取值范围 ‎2.根据实际应用建立函数求最值 ‎[例2]　(1)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)　　　　　 B．(－∞，2－1)‎ C．(－1,2－1) D．(－2－1,2－1)‎ 解析：由f(x)＞0得32x－(k＋1)·3x＋2＞0，‎ 解得k＋1＜3x＋，而3x＋≥2(当且仅当3x＝，即x＝log3时，等号成立)，‎ ‎∴k＋1＜2，即k＜2－1.‎ 答案：B ‎(2)已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p＞0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为(　　)‎ A．2 B. C．4 D. 解析：由题意得x－1＞0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝ ‎＋1时取等号，因为f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，所以2＋1＝4.‎ ‎∴p＝.‎ 答案：B ‎[方法引航]　(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min.‎ (2)求最值时要注意其中变量的条件，有些不能用基本(均值)不等式的问题可考虑利用函数的单调性.‎ ‎1．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，则a的最小值是(　　)‎ A．0 B．－2‎ C．－ D．－3‎ 解析：选C.当x∈时，不等式x2＋ax＋1≥0恒成立转化为a≥－恒成立．‎ 又φ(x)＝x＋在上是减函数，‎ ‎∴φ(x)min＝φ＝，‎ ‎∴max＝－，‎ ‎∴a≥－.‎ ‎2．某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是________．‎ 解析：设每次购买该种货物x吨，则需要购买次，则一年的总运费为×2＝，一年的总存储费用为x，所以一年的总运费与总存储费用为＋x≥2 ‎＝40，当且仅当＝x，即x＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨．‎ 答案：20‎ ‎[易错警示]‎ 多次使用基本不等式忽视等号成立的一致性致误 ‎[典例]　(2017·河南洛阳高三统考)设正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最小值为__________．‎ ‎[正解]　依题意得＋＝＋＝＋＋≥＋2＝1，当且仅当即a＝2b＝时取等号，因此＋的最小值是1.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[易误]　由a＋b＝2≥2，‎ ‎∴当且仅当a＝b＝1时，ab＝1.①‎ 而＋≥2＝为最小值．②‎ 其中①与②中等号条件不一致导致错误．‎ ‎[警示]　当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号条件的一致性，否则就会出错．因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法．‎ ‎[高考真题体验]‎ ‎1．(2015·高考福建卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)‎ A．2　　　　　　　　　　　 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选C.将(1,1)代入直线＋＝1得＋＝1，a>0，b>0，故a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号当且仅当a＝b=2时取得，故选C.‎ ‎2．(2015·高考陕西卷)设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)‎ A．q＝r＜p B．p＝rp D．p＝r＞q 解析：选B.因为b>a>0，故>.又f(x)＝ln x(x>0)为增函数， 所以f>f()，即q>p.又r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b)＝ln＝p.‎ ‎3．(2015·高考湖南卷)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A. B．2‎ C．2 D．4‎ 解析：选C.由＋＝知a>0，b>0，所以 ＝＋≥2 ，‎ 即ab≥2，‎ 当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.‎ ‎4．(2015·高考重庆卷)设a，b>0，a＋b＝5，则 ＋的最大值为__________．‎ 解析：令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，‎ 当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.‎ ‎∴tmax＝＝3.‎ 答案：3 课时规范训练 A组　基础演练 ‎1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)‎ A．a＋b≥2　　　　　　　　 B.＋> C.＋≥2 D．a2＋b2>2ab 解析：选C.因为ab>0，所以>0，>0，即＋≥‎ ‎2＝2(当且仅当a＝b时等号成立)，所以选C.‎ ‎2．已知0＜x＜1，则x(3－3x)取得最大值时x的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B.∵0＜x＜1，∴1－x＞0.‎ ‎∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.‎ 当且仅当x＝1－x，即x＝时取等号．‎ ‎3．若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　)‎ A．1＋ B．1＋ C．3 D．4‎ 解析：选C.f(x)＝x＋＝x－2＋＋2.‎ ‎∵x＞2，∴x－2＞0.‎ ‎∴f(x)＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，‎ 当且仅当x－2＝，即x＝3时，“＝”成立．‎ 又f(x)在x＝a处取最小值．∴a＝3.‎ ‎4．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　)‎ A. B. C．2 D. 解析：选C.由x＞0，y＞0知4x2＋9y2＋3xy≥2×(2x)×(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，故选C.‎ ‎5．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)‎ A. B．4‎ C. D．5‎ 解析：选C.y＝＋＝(a＋b)＝＋≥＋×2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时，不等式取等号，故选C.‎ ‎6．已知＋＝1，(x＞0，y＞0)，则x＋y的最小值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：选D.∵x＞0，y＞0，∴x＋y＝(x＋y)·＝4＋2≥4＋4＝8.‎ 当且仅当＝，即x＝y＝4时取等号．‎ ‎7．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)‎ A．[0,2] B．[－2,0]‎ C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]‎ 解析：选D.∵2x＋2y≥2，2x＋2y＝1，‎ ‎∴2≤1，∴2x＋y≤＝2－2，‎ ‎∴x＋y≤－2.‎ 即(x＋y)∈(－∞，－2]．‎ ‎8．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则(　　)‎ A．a＜v＜ B．v＝ C.＜v＜ D．v＝ 解析：选A.设甲、乙两地相距s，则小王往返两地用时为＋，从而v＝＝.‎ ‎∵0＜a＜b，∴＜，＞＝a，‎ ‎∴＜，即＜，∴a＜v＜.‎ ‎9．下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．lg＞lg x(x＞0)‎ B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)‎ C．x2＋1≥2|x|(x∈R)‎ D.＞1(x∈R)‎ 解析：选C.应用基本不等式：x，y∈R＋，≥(当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．‎ 当x＞0时，x2＋≥2·x·＝x，‎ 所以lg≥lg x(x＞0)，故选项A不正确；‎ 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，‎ 而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定，故选项B不正确；由基本不等式可知，选项C正确；‎ 当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．‎ ‎10．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ 解析：选B.(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，∴当1＋a＋2≥9时不等式恒成立，故＋1≥3，a≥4.‎ B组　能力突破 ‎1. 函数y＝(x＞1)的最小值是(　　)‎ A．2＋2 B．2－2‎ C．2 D．2‎ 解析：选A.∵x＞1，∴x－1＞0.‎ ‎∴y＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝x－1＋＋2≥2＋2‎ ‎＝2＋2.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．‎ ‎2．设x，y均为正实数，且＋＝1，则xy的最小值为(　　)‎ A．4 B．4 C．9 D．16‎ 解析：选D.由＋＝1得xy＝8＋x＋y.‎ ‎∵x，y均为正实数，∴xy＝8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x＝y时等号成立)，即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.‎ ‎3．已知x＞1，则x＋的最小值为________．‎ 解析：∵x＞1，∴x－1＞0，‎ ‎∴x＋＝(x－1)＋＋1≥4＋1＝5，‎ 当且仅当x－1＝即x＝3时等号成立．‎ 答案：5‎ ‎4．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．‎ 解析：依题意得，a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20.‎ 答案：20‎ ‎5．若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为__________．‎ 解析：由已知得m＋n＝2，所以＋＝(m＋n)·＝≥＝2，当且仅当m＝n＝1时取等号．‎ 答案：2‎ 第4课时　合情推理与演绎推理 ‎1．合情推理 ‎(1)归纳推理 ‎①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．‎ ‎②特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．‎ ‎(2)类比推理 ‎①定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．‎ ‎②特点：是由特殊到特殊的推理．‎ ‎2．演绎推理 ‎(1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 ‎①大前提——已知的一般原理．‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况．‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．‎ ‎3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)‎ ‎(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)‎ ‎(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)‎ ‎(4)演绎推理的结论一定是正确的．(×)‎ ‎(5)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．(×)‎ ‎(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)‎ ‎(7)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)‎ ‎(8)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)．(×)‎ ‎(9)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(×)‎ ‎(10)由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．(√)‎ 考点一　归纳推理 命题点 ‎1.数的规律的归纳推理 ‎2.式子的规律的归纳推理 ‎3.图形规律的归纳推理 ‎[例1]　(1)已知数列：，，，，，，，，，，…，依它的前10项的规律推测这个数列的第2 019项是________．‎ 解析：这个数列的前10项按如下规则分组．第一组：；第二组：，；第三组：，，；第四组：，，，；…；第n组：，，，…，，…，.由不等式＜2 019，即n(n＋1)＜4 038，得n≤63(n∈N*)，且当n＝63时，＝2 016,2 019－2 016＝3，即这个数列的第2 019项是上述分组中的第64组中的第三个数，即第2 019项是.‎ 答案： ‎(2)(2016·高考山东卷)观察下列等式：‎ －2＋－2＝×1×2；‎ －2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；‎ ‎…‎ 照此规律，‎ －2＋－2＋－2＋…＋－2＝______________.‎ 解析：根据已给出的等式归纳推理求解．‎ 通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．‎ 答案：n(n＋1)‎ ‎(3)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2.过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A‎1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2，A‎1A2＝a3，…，A‎5A6＝a7，则a7＝________.‎ 解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，A‎1A2＝a3＝1，…，A‎5A6＝a7＝a1×6＝.‎ 法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝.‎ 答案： ‎[方法引航]　解决归纳推理问题的关键是仔细研究给出的部分对象，通过观察出的规律，把问题转化为其他数学知识的问题进行解决.如解决含有递推关系式的归纳推理的问题，一般是先根据题中的递推关系式求出一些特殊对象，然后再根据这些特殊对象与序号之间的一一对应关系，观察出规律，最后根据规律即可得出一般性结论.归纳推理的一般步骤：‎ (1)通过观察个别情况发现某些相同的性质；‎ (2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).‎ ‎1．对于数25，规定第1次操作为23＋53＝133，第2次操作为13＋33＋33＝55，如此反复操作，则第2 017次操作后得到的数是(　　)‎ A．25　　　　　　　　　 B．250‎ C．55 D．133‎ 解析：选D.由题意知，第3次操作为53＋53＝250，第4次操作为23＋53＋03＝133，第5次操作为55，….因此每次操作后的得数呈周期排列，且周期为3，‎ 又2 017＝672×3＋1，故第2 017次操作后得到的数是133.‎ ‎2．观察下列不等式：‎ ‎(1)＜1；(2)＋＜；(3)＋＋＜.则第5个不等式为________．‎ 解析：(1)＜；(2)＋＜；‎ ‎(3)＋＋＜…；‎ 根据以上规律，由归纳推理可得第5个不等式为＋＋＋＋＜.‎ 答案：＋＋＋＋＜ ‎3．仔细观察下面○和●的排列规律：○ ● ○○ ● ○○○ ●○○○○ ● ○○○○○ ● ○○○○○○ ●……若依此规律继续下去，得到一系列的○和●，那么在前120个○和●中，●的个数是________．‎ 解析：进行分组○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|…，则前n组两种圈的总数是f(n)＝2＋3＋4…＋(n＋1)＝.‎ 易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.‎ 答案：14‎ 考点二　类比推理 命题点 ‎1.代数结论的类比推理 ‎2.几何结论的类比推理 ‎3.运算方法的类比推理 ‎[例2]　(1)已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*‎ ‎)，则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn＞0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝________.‎ 解析：设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.‎ 因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝，‎ 所以类比得bm＋n＝.‎ 答案： ‎ (2)如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝bcos C＋ccos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对　边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．‎ 解：如图所示，四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小，类比得：S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ.‎ ‎(3)在计算“1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k(k＋1)＝[k(k＋1)(k＋2)－(k－1)k(k＋1)]，由此得 ‎1×2＝(1×2×3－0×1×2)，‎ ‎2×3＝(2×3×4－1×2×3)，‎ ‎…，‎ n(n＋1)＝[n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)]．‎ 累加，得1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝n(n＋1)·(n＋2)．‎ 类比上述方法，请你计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)·(n＋2)”‎ ‎，其结果为_____________________________________________________．‎ 解析：类比已知条件得k(k＋1)(k＋2)＝[k(k＋1)(k＋2)(k＋3)－(k－1)k(k＋1)(k＋2)]，‎ 由此得1×2×3＝(1×2×3×4－0×1×2×3)，‎ ‎2×3×4＝(2×3×4×5－1×2×3×4)，‎ ‎3×4×5＝(3×4×5×6－2×3×4×5)，‎ ‎…，‎ n(n＋1)(n＋2)＝[n(n＋1)(n＋2)(n＋3)－(n－1)n(n＋1)(n＋2)]．‎ 以上几个式子相加得：1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝n(n＋1)(n＋2)(n＋3)．‎ 答案：n(n＋1)(n＋2)(n＋3)‎ ‎[方法引航]　1.类比推理的一般步骤 ‎(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；‎ ‎(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．‎ ‎2．熟悉常见的类比对象 ‎(1)平面与空间的类比 平面 空间 点 线 线 面 圆 球 三角形 三棱锥 角 二面角 面积 体积 周长 表面积 ‎…‎ ‎…‎ ‎(2)等差数列与等比数列的类比 等差数列 等比数列 两项之和 两项之积 两项之差 两项之比 前n项之和 前n项之积 ‎…‎ ‎…‎ ‎1．(2017·陕西西安模拟)若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为＝a1＋(n－1)·.类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则数列__________为等比数列，通项为________．‎ 解析：因为在等差数列{an}中前n项的和为Sn的通项，且写成了＝a1＋(n－1)·，所以在等比数列{bn}中应研究前n项的积为Tn的开n次方的形式，等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，类比可得：数列{}为等比数列，通项为＝b1·()n－1.‎ 答案：　＝b1·()n－1‎ ‎2．在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为＝，把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图所示)，平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于点E，则类比得到的结论是________．‎ 解析：易知点E到平面BCD与平面ACD的距离相等，‎ 故＝＝.‎ 答案：＝ ‎3．(2017·山西四校联考)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N*)，则a＝__________.‎ 解析：第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.‎ 答案：nn 考点三　演绎推理 命题点 利用三段论进行推理 ‎[例3]　(1)(2017·安徽合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)‎ A．结论正确　　　　　　　 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．全不正确 解析：因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．‎ 答案：C ‎(2)已知函数y＝f(x)满足：对任意a，b∈R，a≠b都有af(a)＋bf(b)＞af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调增函数．‎ 证明：设任意x1，x2∈R，取x1＜x2，‎ 则由题意得x‎1f(x1)＋x‎2f(x2)＞x1·f(x2)＋x‎2f(x1)，‎ ‎∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]＞0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＞0，‎ ‎∵x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．‎ ‎∴y＝f(x)为R上的单调增函数．‎ ‎[方法引航]　若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.或者b⇒c，而a⇒b，∴a⇒c.‎ ‎1．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：a＜b.‎ 证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A＜∠B.‎ ‎∴a＜b，其中，画线部分是演绎推理的(　　)‎ A．大前提 B．小前提 C．结论 D．三段论 解析：选B.由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提．‎ ‎2．设a＞b＞c，求证：＋＋＞0.‎ 证明：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，c－a＜0，b－c＞0‎ ‎∴＋＝＝＞0‎ 又∵＞0，∴＋＋＞0.‎ ‎[数学微博]‎ 用演绎推理揭开“新定义、新信息”的面纱 演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明或推导数学问题，对于新定义、新信息问题，常用演绎推理来解决，即把新定义、新信息作为大前提，结合题目中隐含的小前提来推出结论．‎ ‎[典例]　对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是函数f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若三次函数f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，求：‎ ‎(1)函数f(x)＝x3－x2＋3x－对称中心为__________；‎ ‎(2)f＋f＋f＋f＋…＋f＝__________.‎ ‎[分析]‎ ‎　依据拐点或对称中心的意义，求导，求对称中心，依据对称中心的几何意义，写出一般关系式，并据此对所给式子进行组合，观察组合的组数，从而求值．‎ ‎[解析]　(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，令f″(x)＝0，则x＝，f＝1，所以函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为.‎ ‎(2)由(1)知，计算f＋f＝2⇒f(x)＋f(1－x)＝2⇒f＋f＝2，f＋f＝2，…，所以f＋f＋f＋f＋…＋f＝2 018.‎ ‎[答案]　(1)　(2)2 018‎ ‎[高考真题体验]‎ ‎1．(2016·高考北京卷)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.‎ 学生序号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 立定跳远(单位：米)‎ ‎1.96‎ ‎1.92‎ ‎1.82‎ ‎1.80‎ ‎1.78‎ ‎1.76‎ ‎1.74‎ ‎1.72‎ ‎1.68‎ ‎1.60‎ ‎30秒跳绳(单位：次)‎ ‎63‎ a ‎75‎ ‎60‎ ‎63‎ ‎72‎ ‎70‎ a－1‎ b ‎65‎ 在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则(　　)‎ A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛 C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛 解析：选B.由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a－1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛．故选B.‎ ‎2．(2016·高考北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)‎ A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 解析：选B.若袋中有两个球，则红球、黑球各一个，若红球放在甲盒，则黑球放在乙盒，丙盒中没有球，此时乙盒中黑球多于丙盒中黑球，乙盒中黑球比丙盒中红球多，故可排除A、D；若袋中有四个球，则红球、黑球各两个，若取出两个红球，则红球一个放在甲盒，余下一个放在乙盒，再取出余下的两个黑球，一个放在甲盒，则余下一个放在丙盒，所以甲盒中一红一黑，乙盒中一个红球，丙盒中一个黑球，此时乙盒中红球比丙盒中红球多，排除C；故选B.‎ ‎3．(2016·高考全国甲卷)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，丙说：“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎，则甲的卡片上的数字是________．‎ 解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A，B，C.从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ‎，此时丙所拿的卡片为A.‎ 答案：1和3‎ ‎4．(2015·高考山东卷)观察下列各式：‎ C＝40；‎ C＋C＝41；‎ C＋C＋C＝42；‎ C＋C＋C＋C＝43；‎ ‎…‎ 照此规律，当n∈N*时，‎ C＋C＋C＋…＋C＝________.‎ 解析：第一个等式，n＝1，而右边式子为40＝41－1；‎ 第二个等式，n＝2，而右边式子为41＝42－1；‎ 第三个等式，n＝3，而右边式子为42＝43－1；‎ 第四个等式，n＝4，而右边式子为43＝44－1；‎ ‎……‎ 归纳可知，第n个等式的右边为4n－1.‎ 答案：4n－1‎ 课时规范训练 A组　基础演练 ‎1．数列2,5,11,20，x,47，…中的x等于(　　)‎ A．28　　　　　　　　　 B．32‎ C．33 D．27‎ 解析：选B.5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，……‎ 推出x－20＝12，所以x＝32.‎ ‎2．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于(　　)‎ A．28 B．76‎ C．123 D．199‎ 解析：选C.从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.‎ ‎3．下列推理是归纳推理的是(　　)‎ A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝‎2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析：选B.从S1，S2，S3猜想出数列的前n项和Sn，是从特殊到一般的推理，所以B是归纳推理，故应选B.‎ ‎4．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式：S＝，可推知扇形面积公式S扇等于(　　)‎ A. B. C. D．不可类比 答案：C ‎5．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D.正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故＝.‎ ‎6．老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“‎ 我没考好”．结果，四名学生中有两个说对了，则四名学生中说对了的两人是(　　)‎ A．甲　丙 B．乙　丁 C．丙　丁 D．乙　丙 解析：选D.如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D.‎ ‎7．将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为(　　)‎ ‎1‎ ‎3　　5　　7‎ ‎ 9　　11　13　15　17‎ ‎19　　21　23　25　27　29　31‎ ‎…　　　…　　…‎ A．809 B．852‎ C．786 D．893‎ 解析：选A.前20行共有正奇数1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(个)，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405－1＝809.‎ ‎8．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：‎ ‎(1)1](　　)‎ A．n B．n＋1‎ C．n－1 D．n2‎ 解析：选A.由(n＋1)*1＝n*1＋1，‎ 得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1]‎ ‎9．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是(　　)‎ A．－nf(a2k＋1)>f(1)＝a2，即1>c>a2k＋2>a2，‎ 再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)

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