2018-2019学年江苏省海安高级中学高一（创新班）上学期第一次月考数学试题（解析版）

2018-2019学年江苏省海安高级中学高一（创新班）上学期第一次月考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年江苏省海安高级中学高一（创新班）上学期第一次月考数学试题 一、填空题 ‎1．已知集合，则＝______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，填．‎ ‎2．已知数列的一个通项公式为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 将化为，然后探究分母、分子的规律，然后还有正负的交替出现 ‎【详解】‎ 由已知可以得到，则有故通项公式为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了通过观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，属于基础题。‎ ‎3．在中，，，，则此三角形的最大边长为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：首先根据最大角分析出最大边，然后根据内角和定理求出另外一个角，最后用正弦定理求出最大边．‎ 因为B=135°为最大角，所以最大边为b，根据三角形内角和定理：A=180°-（B+C）=30°，在△ABC中有正弦定理有：‎ ‎【考点】正弦定理 ‎4．已知角的终边经过点，则的值等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎，所以，，故，填．‎ ‎5．已知向量，，，则的值为______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎，所以，所以，故，填．‎ ‎6．已知函数 则的值为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 先求出的值，然后代入求解 ‎【详解】‎ 由函数的表达式可知：当时，‎ 当时，‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了求函数的值，只需代入分段函数中即可得到结果，较为简单。‎ ‎7．《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长（弧长）为20米，径长（两段半径的和）为24米，则该扇形田的面积为______平方米．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】‎ 扇形的半径为，故面积为（平方米），填．‎ ‎8．若关于的不等式的解集，则的值为______．‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】试题分析：显然t<0，且是方程的两根，由韦达定理得，解得．‎ ‎【考点】不等式的解法．‎ ‎9．已知函数在区间上的最大值等于8，则函数的值域为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 二次函数的对称轴为，故，所以且，对称轴为，故所求值域为，填．‎ ‎10．已知函数是定义在R上的偶函数，则实数的值等于____．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ 因为为偶函数，故，所以，整理得到，即，又当时，有，，故，为偶函数，故填．‎ ‎11．如图，在梯形ABCD中，，P为线段CD上一点，且，E为BC的中点，若，则的值为______．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎，整理得到，又，所以，也就是，，填．‎ ‎12．在锐角△ABC中，若，则边长的取值范围是_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：要使的三角形是一个锐角三角形，只要使得可以作为最大边的边长的平方小于另外两边的平方和，解出不等式组，根据边长是一个正值求出结果．‎ 详解：‎ ‎∵a=2，b=3‎ 要使△ABC是一个锐角三角形 ‎∴要满足32+22＞c2，22+c2＞32，‎ ‎∴5＜c2＜13‎ ‎∴c的范围是 故答案为：.‎ 点睛：本题主要考查了余弦定理的运用．余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题．‎ ‎13．将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间 上有且仅有一个零点，则的取值范围为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据函数图像平移变换，写出函数的解析式，再由函数 在区间上有且仅有一个零点，列出不等式组求出的取值范围即可 ‎【详解】‎ 将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象 再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），‎ 得到函数的图象，‎ 函数在区间上有且仅有一个零点，‎ ‎，‎ 解得 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的图像变换，考查了计算能力，而且还涉及了零点问题，有一定综合性，属于中档题。‎ ‎14．已知为非零实数，，且同时满足：①，② ，则的值等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题设有，，所以，解得或者．而，故，所以，所以 ，填．‎ 点睛：题设中有3个变量，两个等式，注意到两个方程都与相关，故把看成一个整体，把代入另一个方程就能构建关于的方程，解出就能得到的值，注意只有一个解．‎ 二、解答题 ‎15．已知函数的图象过点．‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）为偶函数，理由见解析；（2）。‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为的图像过，代入后得到，这样可化简为，依据奇函数的定义可判断其为奇函数．（2）不等式可化简为，从而不等式的解为．‎ 解析：（1）因为的图象过点，所以，解得，所以 的定义域为．因为，所以是奇函数． ‎ ‎（2）因为， 所以，所以， 所以 ‎，所以， 解得． ‎ ‎16．（题文）如图，在四边形中，．‎ ‎（1）若△为等边三角形，且，是的中点，求；‎ ‎（2）若，，，求．‎ ‎【答案】（1）11；（2）。‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题设可以得到，故就是一组基底，通过线性运算可以得到，而，故可以转化基底向量之间的数量积计算．另一方面，因为有等边三角形，图形较为规则，故可以建立直角坐标系来计算数量积．（2）要计算，关键在于计算，可把已知条件变形为，再利用可得，最后利用计算．‎ 解析：（1）法一：因为△为等边三角形，且所以． 又所以，因为是中点，所以 ‎ ‎ ．又，所以 ‎ ‎ ．‎ 法二：‎ 如图，以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，因为△为等边△，且所以． ‎ 又所以，所以因为是中点，所以 所以, 所以 ． ‎ ‎（2）因为所以,因为所以 所以 又所以．所以 ．所以． ‎ ‎17．如图，在海岸A处，发现南偏东45°方向距A为(2－2)海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A为海里的C处的缉私船立即奉命以10海里/时的速度追截走私船．‎ ‎（1）刚发现走私船时，求两船的距离；‎ ‎（2）若走私船正以10海里/时的速度从B处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：≈1.4，≈2.5)． ‎ ‎【答案】（1）4海里；（2）缉私船沿南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船．‎ ‎【解析】‎ ‎⑴在中，利用已知条件根据余弦定理求出 ‎⑵根据正弦定理，求得，再运用正弦定理求出结果 ‎【详解】‎ ‎（1）在中，‎ ‎∵(2－2)海里，海里，，‎ 由余弦定理，得(海里)．‎ ‎（2）根据正弦定理，可得 ‎，易知，‎ 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，‎ 则有海里)，(海里)．而，‎ 在中，根据正弦定理，可得 根据正弦定理，得，解得小时分钟 故缉私船沿南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解三角形的实际应用，考查了运用三角函数的基础知识来解决实际的问题，考查了正弦定理和余弦定理，属于中档题。‎ ‎18．已知sinα+cosβ=，cosα+sinβ=，求：‎ ‎（1）sin(α+β)的值；‎ ‎（2）cosα sinβ的值．‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎⑴对已知条件两边同时平方，然后运用两角和的正弦公式求出结果 ‎⑵由⑴中相减得到，然后运用公式进行化简 ‎【详解】‎ ‎⑴，‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎①②可得：‎ ‎⑵①②可得：‎ 即 则 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了运用两角和与差的正弦、余弦公式进行求出，角度之间的转换、配凑是核心，在解题过程中要熟练运用公式求解。‎ ‎19．已知，函数．‎ ‎（1）求在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若，，求的值；‎ ‎（3）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）。‎ ‎【解析】‎ ‎⑴由题意先表示出的表达式，然后运用辅助角公式化简，求出在区间上的最值 ‎⑵由题意得，结合求解出答案 ‎⑶表示出函数的单调增区间，结合题意讨论得到的取值范围 ‎【详解】‎ ‎（1） ， ‎ 因为，所以，所以，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，所以，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以， ‎ 所以 ‎． ‎ ‎（3）令 ‎ 得，‎ ‎ 因为函数在上是单调递增函数，所以存在，使得 ‎ 所以有 即 ‎ ‎ 因为所以又因为， 所以, 所以 ‎ ‎ 从而有，所以，‎ 所以 ‎ ‎ （另解：由，得.‎ 因为，所以，所以或，解得或.又，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的综合运用，利用辅助角公式化简求出最值，并结合三角函数图像的单调性求的取值范围，属于中档题。‎ ‎20．设为实数，设函数，设 ‎．‎ ‎（1）求的取值范围，并把表示为的函数；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若存在使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）取值范围是，；（2）；‎ ‎（3） 。‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）根据解析式，得出函数的定义域，将式子两边平方，结合二次函数的值域，可得的范围，进而得到；‎ ‎（2）由恒成立，即有，注意到直线是抛物线的对称轴，分类讨论，得到函数的单调性，即可求得最小值，进而得到实数的取值范围.‎ ‎（3）存在使得成立，即，即有且在成立，运用函数的单调性求得右边函数的最值，再由存在性问题的解法即可得到的范围.‎ 详解：（1），‎ 要使有意义，必须且，即，‎ ‎∴，①‎ ‎∴的取值范围是 由①得，‎ ‎∴，；‎ ‎（2）由恒成立，即有，‎ 注意到直线是抛物线的对称轴，‎ 分以下几种情况讨论：‎ ‎①当即时，在上为递增函数，‎ 即有时，取得最小值，且为；‎ ‎②当即时，的最小值为；‎ ‎③当即时，在上为递减函数，‎ 即有时，取得最小值，且为．‎ 则或或，‎ 解得：或或，‎ 则有；‎ ‎（3）存在使得成立，即为 ‎，‎ 即有且在成立，‎ 令，‎ 可以得到在递减，在递增，‎ 即有的最小值为，最大值为 即有且 则实数的取值范围是．‎ 点睛：本题全面考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值，以及换元的应用，‎ 其中熟记二次函数的图象与性质，以及转化思想是解答的关键，着重考查了分类讨论的思想方法，以及不等式的恒成立问题的解法，试题综合性强，属于中等试题.‎