2020届合肥一模理数—答案

2020届合肥一模理数—答案

合肥市2020届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)‎ 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A B C D D B A B A C C B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.-2 14.或 15.72 16.，(第一空2分，第二空3分)‎ 三、解答题：大题共6小题，满分70分.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 解：(1)在中，，且，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵，∴.‎ ‎∵是三角形的内角， ∴. ………………………………5分 ‎(2)在中，，‎ 由余弦定理得，∴，‎ ‎∵，∴.‎ 在中，，，，‎ ‎∴的面积. ………………………………12分 ‎18.(本小题满分12分)‎ ‎(1)依题意，学校选择“科技体验游”的概率为，选择“自然风光游”的概率为，‎ ‎∴若这3所学校选择研学游类型为“科技体验游”和“自然风光游”，则这两种类型都有学校选择的概率为：. ………………………………5分 ‎(2)可能取值为0，1，2，3.‎ 则，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴. ……………………………12分 或解：∵随机变量服从，∴. ……………………………12分 ‎ ‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎(1)连结.‎ ‎∵，四边形为菱形，∴.‎ ‎∵平面平面，平面平面，‎ 平面，，‎ ‎∴平面.‎ 又∵，∴平面，∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，而平面，‎ ‎∴. …………………………5分 ‎(2)取的中点为，连结.‎ ‎∵，四边形为菱形，，∴，.‎ 又∵，以为原点，为正方向建立空间直角坐标系，如图.‎ 设，，，，‎ ‎∴(0，0，0)，(1，0，)，(2，0，0)，(0，1，0)，(-1，1，).‎ 由(1)知，平面的一个法向量为.‎ 设平面的法向量为，则，∴.‎ ‎∵，，∴.‎ 令，得，即 .‎ ‎∴，‎ ‎∴二面角的余弦值为. ……………………………12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ ‎(1)设椭圆的半焦距为.由椭圆的离心率为知，.‎ 设圆的半径为，则，‎ ‎∴，解得，∴，‎ ‎∴椭圆的方程为. ……………………………5分 ‎(2)∵关于原点对称，，∴.‎ 设，.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为.‎ 由直线和椭圆方程联立得，即，‎ ‎∴.‎ ‎∵，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∴，，‎ ‎∴圆的圆心O到直线的距离为，∴直线与圆相切.‎ 当直线的斜率不存在时，依题意得，.‎ 由得，∴，结合得，‎ ‎∴直线到原点O的距离都是，‎ ‎∴直线与圆也相切.‎ 同理可得，直线与圆也相切.‎ ‎∴直线、与圆相切. …………………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ ‎(1)由，得，∴函数的零点.‎ ‎，，.‎ 曲线在处的切线方程为.‎ ‎，，‎ ‎∴曲线在处的切线方程为.………………………5分 ‎(2).‎ 当时，；当时，.‎ ‎∴的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ 由(1)知，当或时，；当时，.‎ 下面证明：当时，.‎ 当时，‎ ‎.‎ 易知，在上单调递增，‎ 而，‎ ‎∴对恒成立，‎ ‎∴当时，.‎ 由得.记.‎ 不妨设，则，‎ ‎∴.‎ 要证，只要证，即证.‎ 又∵，∴只要证，即.‎ ‎∵，即证.‎ 令.‎ 当时，，为单调递减函数；‎ 当时，，为单调递增函数.‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴. …………………………12分 ‎22.(本小题满分10分)‎ ‎(1)曲线的方程，∴，∴，‎ 即曲线的直角坐标方程为：. …………………………5分 ‎(2)把直线代入曲线得，‎ 整理得，.‎ ‎∵，设为方程的两个实数根，则 ‎，，∴为异号，‎ 又∵点(3，1)在直线上，‎ ‎∴.‎ ‎…………………………10分 ‎23.(本小题满分10分)‎ 解：(1)∵，∴的解集为，‎ ‎∴，解得，即. …………………………5分 ‎(2)∵，∴.‎ 又∵，，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 当且仅当，结合解得，，时，等号成立，‎ ‎∴的最大值为32. …………………………10分