2020高中数学 第一章简单的逻辑联结词 1

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2020高中数学 第一章简单的逻辑联结词 1

‎1.3 简单的逻辑联结词 ‎1.3.1 ‎且(and)‎ ‎1.3.2 ‎或(or)‎ ‎1.3.3 ‎非(not)‎ 学习目标:1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义.(重点)2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假.(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题,会判断命题的真假.(易错点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1.“且”‎ ‎(1)定义 一般地,用联结词“且”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∧q.读作“p且q”.‎ ‎(2)真假判断 当p,q都是真命题时,p∧q是真命题;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时,p∧q是假命题.‎ ‎2.“或”‎ ‎(1)定义 一般地,用联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作p∨q.读作“p或q”.‎ ‎(2)真假判断 当p,q两个命题有一个命题是真命题时,p∨q是真命题;当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是假命题.‎ 思考1:(1)p∨q是真命题,则p∧q是真命题吗?‎ ‎(2)若p∨q与p∧q一个是真命题,一个是假命题,那么谁是真命题?‎ ‎[提示] (1)不一定,p∨q是真命题,p与q可能一真一假,此时p∧q是假命题.‎ ‎(2)p∨q是真命题,p∧q是假命题.‎ ‎3.“非”‎ ‎(1)定义 一般地,对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题,记作p,读作“非p”或“p的否定”.‎ ‎(2)真假判断 若p是真命题,则p必是假命题;若p是假命题,则p必是真命题.‎ 思考2:命题的否定与否命题的区别是什么?‎ ‎[提示]‎ 7‎ ‎ (1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定,而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定.‎ ‎(2)命题的否定(非p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的,即一真一假,而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系.‎ ‎4.复合命题:‎ 用逻辑联结词“且”;“或”;“非”把命题p和命题q联结来的命题称为复合命题.‎ 复合命题的真假判断 p q p∨q p∧q p 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 ‎[基础自测]‎ ‎1.思考辨析 ‎(1)若p∧q为真,则p,q中有一个为真即可. (  )‎ ‎(2)若命题p为假,则p∧q一定为假. (  )‎ ‎(3)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件. (  )‎ ‎(4)“梯形的对角线相等且互相平分”是“p∨q”形式的命题. (  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×‎ ‎2.“xy≠‎0”‎是指(  )‎ A.x≠0且y≠0‎ B.x≠0或y≠0‎ C.x,y至少一个不为0‎ D.x,y不都是0‎ A [xy≠0⇔x≠0且y≠0,故选A.]‎ ‎3.已知p,q是两个命题,若“(p)∨q”是假命题,则(  ) ‎ ‎【导学号:97792023】‎ A.p,q都是假命题 B.p,q都是真命题 C.p是假命题,q是真命题 D.p是真命题,q是假命题 D [若(p)∨q为假命题,则p,q都是假命题,即p真q假,故选D.]‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 7‎ 含有逻辑联结词的命题结构 ‎ 指出下列命题的形式及构成它的简单命题.‎ ‎(1)方程x2-3=0没有有理根;‎ ‎(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形;‎ ‎(3)±1是方程x3+x2-x-1=0的根.‎ ‎[解] (1)这个命题是“非p”形式的命题,其中 p:方程x2-3=0有有理根.‎ ‎(2)这个命题是“p且q”形式的命题,其中p:有两个内角是45°的三角形是等腰三角形,q:有两个内角是45°的三角形是直角三角形.‎ ‎(3)这个命题是“p或q”形式的命题,其中p:1是方程 x3+x2-x-1=0的根,q:-1是方程x3+x2-x-1=0的根.‎ ‎[规律方法] 1.判断一个命题的结构,不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词,而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题.‎ ‎2.用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时,关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词,选择合适的联结词,有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎1.分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“p”形式的命题.‎ ‎(1)p:梯形有一组对边平行,q:梯形有一组对边相等;‎ ‎(2)p:-1是方程x2+4x+3=0的解,q:-3是方程x2+4x+3=0的解. ‎ ‎【导学号:97792024】‎ ‎[解] (1)p∧q:梯形有一组对边平行且有一组对边相等.‎ p∨q:梯形有一组对边平行或有一组对边相等.‎ p:梯形没有一组对边平行.‎ ‎(2)p∧q:-1与-3是方程x2+4x+3=0的解.‎ p∨q:-1或-3是方程x2+4x+3=0的解.‎ p:-1不是方程x2+4x+3=0的解.‎ 含逻辑联结词命题的真假判断 ‎ 已知命题p:方程x2-2ax-1=0有两个实数根;命题q:函数f(x)=x+的最小值为4.给出下列命题:‎ ‎①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨(q).‎ 则其中真命题的个数为(  )‎ 7‎ A.1  B.‎2 ‎  C.3  D.4‎ ‎[思路探究] → ‎→ ‎[解析] 由于Δ=(-‎2a)2-4×1×(-1)=‎4a2+4>0,所以方程x2-2ax-1=0有两个实数根,所以命题p是真命题;当x<0时,f(x)=x+<0,所以命题q为假命题,所以p∨q,p∧(q),(p)∨(q)是真命题,故选C.‎ ‎[答案] C ‎[规律方法] 含逻辑联结词命题真假的 判断方法及步骤 ‎(1)我们可以用口诀记忆法来记忆:‎ ‎“p且q”全真才真,一假必假;“p或q”全假才假,一真必真;“非p”与p真假相对.‎ ‎(2)判断复合命题真假的步骤:‎ ‎①确定复合命题的构成形式是“p且q”“p或q”还是“p”;‎ ‎②判断其中的简单命题p,q的真假;‎ ‎③根据真值表判断复合命题的真假.‎ ‎[跟踪训练]‎ ‎2.(1)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧(q);④(p)∨q中,真命题是(  )‎ A.①③ B.①④ ‎ C.②③ D.②④‎ C [由不等式的性质可知,命题p为真命题,命题q为假命题,故①p∧q为假命题,②p∨q为真命题,③q为真命题,则p∧(q)为真命题,④p为假命题,则(p)∨q为假命题.]‎ ‎(2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“ p”形式的命题的真假. ‎ ‎【导学号:97792025】‎ ‎①p:1∈{2,3},q:2∈{2,3};‎ ‎②p:2是奇数,q:2是合数;‎ ‎③p:4≥4,q:23不是偶数;‎ ‎④p:不等式x2-3x-10<0的解集是{x|-25或x<-2}.‎ ‎[解] ①∵p是假命题,q是真命题,‎ ‎∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,p是真命题.‎ 7‎ ‎②∵p是假命题,q是假命题,‎ ‎∴p∨q是假命题,p∧q是假命题,p是真命题.‎ ‎③∵p是真命题,q是真命题,‎ ‎∴p∨q是真命题,p∧q是真命题,p是假命题.‎ ‎④∵p是真命题,q是假命题,‎ ‎∴p∨q是真命题,p∧q是假命题,p是假命题.‎ 由复合命题的真假求参数的取值范围 ‎[探究问题]‎ ‎1.设集合A是p为真命题时参数的取值范围,则p为假命题时,参数的取值范围是什么?‎ 提示:p为假命题时,参数的取值范围是∁RA.‎ ‎2.设集合M、N分别是p,q分别为真命题时参数的取值范围,则p∨q与p∧q分别为真命题时参数的取值范围分别是什么?‎ 提示:当p∨q为真命题时,参数的取值范围是A∪B.‎ 当p∧q为真命题时,参数的取值范围是A∩B.‎ ‎ 已知p:关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负根,q:关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求m的取值范围.‎ ‎[思路探究] ‎ ‎[解] 当x2+mx+1=0有两个不相等的负根为真时,解之得m>2,‎ 当4x2+4(m-2)x+1=0无实根为真时,16(m-2)2-16<0,解之得12,当q为真时11,‎ 当p∧q为真命题时,21(a>0,且a≠1)的解集是{x|x<0},命题q改为“函数y=lg(ax2-x+a)的定义域为R”.其他不变,试求a的取值范围.‎ 7‎ ‎[解] 根据关于x的不等式ax>1(a>0,且a≠1)的解集为{x|x<0}知00的解集为R,则解得a>.‎ 因为p∨q为真命题,p∧q为假命题.‎ 所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”.‎ 故或 解得01.‎ 所以,a的取值范围是∪(1,+∞).‎ ‎[规律方法] 根据命题的真假求参数范围的步骤 (1)求出p、q均为真时参数的取值范围;‎ (2)根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假;‎ (3)根据p、q的真假求出参数的取值范围.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1.若命题“p∧q”为假,且p为假,则(  )‎ A.p∨q为假      B.q假 C.q真 D.p假 B [由p为假知,p为真,又p∧q为假,则q假,故选B.]‎ ‎2.给出下列命题:‎ ‎①2>1或1>3;‎ ‎②方程x2-2x-4=0的判别式大于或等于0;‎ ‎③25是6或5的倍数;‎ ‎④集合A∩B是A的子集,且是A∪B的子集.‎ 其中真命题的个数为(  )‎ A.1  B.‎2 ‎  C.3  D.4‎ D [对于①,是“或”命题,且2>1是真命题,故①是真命题.对于②,是“或”命题,且Δ=(-2)2+16=20>0,故②是真命题.对于③,是“或”命题,且25是5的倍数,故③是真命题.对于④,是“且”命题,且集合A∩B是A的子集,也是A∪B的子集.故④是真命题,故选D.]‎ ‎3.已知命题:‎ p:对任意x∈R,总有2x>0;‎ q:“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的充分不必要条件.‎ 则下列命题为真命题的是(  )‎ 7‎ A.p∧q        B.p∧q C.p∧q D.p∧q D [因为指数函数的值域为(0,+∞),所以对任意x∈R,y=2x>0恒成立,故p为真命题;因为当x>1时,x>2不一定成立,反之当x>2时,一定有x>1成立,故“x>‎1”‎是“x>‎2”‎的必要不充分条件,故q为假命题,则p∧q、p为假命题,q为真命题,p∧q、p∧q为假命题,p∧q为真命题,故选D.]‎ ‎4.已知命题p:函数f(x)=(‎2a-1)x+b在R上是减函数;命题q:函数g(x)=x2+ax在[1,2]上是增函数,若p∧q为真,则实数a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号:97792026】‎  [p为真时,‎2a-1<0,即a<,‎ q为真时,-≤1,即a≥-2,‎ 则p∧q为真时,-2≤a<.]‎ ‎5.分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“ p”形式的命题的真假:‎ ‎(1)p:点P(1,1)在直线2x+y-1=0上,q:直线y=x过圆x2+y2=4的圆心;‎ ‎(2)p:4∈{2,3,4},q:不等式x2-x-2>0的解集为{x|-2<x<1};‎ ‎(3)p:若a>b,则‎2a>2b,q:若a>b,则a3>b3.‎ ‎[解] (1)∵p是假命题,q是真命题,‎ ‎∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为真命题.‎ ‎(2)∵p是真命题,q是假命题,‎ ‎∴p∧q为假命题,p∨q为真命题,p为假命题.‎ ‎(3)∵p是真命题,q是真命题,‎ ‎∴p∧q为真命题,p∨q为真命题,p为假命题.‎ 7‎
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