2020版高中数学 第1章 解三角形第2课时 角度问题

2020版高中数学 第1章 解三角形第2课时 角度问题

第2课时　角度问题 ‎1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解角度问题.(重点)‎ ‎2.会将实际问题转化为解三角形问题.(难点)‎ ‎3.能根据题意画出几何图形.(易错点)‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理　方位角与方向角 阅读教材P14问题4，完成下列问题.‎ ‎1.方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的水平角.如点B的方位角为α(如图1217所示).‎ 图1217‎ 方位角的取值范围：0°～360°.‎ ‎2.方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.‎ ‎1.下列说法中正确的个数为(　　)‎ ‎(1)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向；‎ ‎(2)如图1218所示，该角可以说成北偏东110°；‎ 图1218‎ 10‎ ‎(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是；‎ ‎(4)若点A在点C的北偏东30°方向，点B在点C的南偏东60°方向，且AC＝BC，则点A在点B北偏西15°方向.‎ A.1　　　　B‎.2　‎　　　C.3　　　　D.4‎ ‎【解析】　(1)错误.因若P在Q的北偏东44°，则Q应在P的南偏西44°.‎ ‎(2)错误.因本图所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°.‎ ‎(3)错误.因为方向角的范围为0°～90°，而方位角的范围为0°～360°.‎ ‎(4)正确.‎ ‎【答案】　A ‎2.某次测量中，A在B的南偏东34°27′，B在A的(　　)‎ A.北偏西34°27′　 B.北偏东55°33′‎ C.北偏西55°33′ D.南偏西55°33′‎ ‎【解析】　如图所示.‎ ‎【答案】　A ‎3.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为(　　)‎ A.a km B.a km C.a km D‎.2a km ‎【解析】　如图，可知∠ACB＝120°，AC＝BC＝a.在△ABC中，过点C作CD⊥AB，则AB＝2AD＝2asin 60°＝a.‎ ‎【答案】　B ‎4.某人从A处出发，沿北偏东60°行走‎3 km到B处，再沿正东方向行走‎2 km到C处，则A，C两地的距离为________km.‎ ‎【解析】　如图所示，由题意可知 AB＝3，BC＝2，∠ABC＝150°.‎ 由余弦定理得AC2＝27＋4－2×3×2×cos 150°＝49，AC＝7.所以A，C两地的距离为‎7 km.‎ 10‎ ‎【答案】　7‎ ‎[小组合作型]‎ 角度问题 ‎　(1)如图1219，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ 图1219‎ A.北偏东10°‎ B.北偏西10°‎ C.南偏东80°‎ D.南偏西80°‎ ‎(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为‎6 m，下底长为‎10 m，高为‎2‎m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是(　　)‎ A.，60° B.，60°‎ C.，30° D.，30°‎ ‎【精彩点拨】　(1)两座灯塔A、B与观察站C的距离相等，说明∠A与∠B有何大小关系？灯塔B在观察站南偏东60°，说明∠CBD是多少度？‎ ‎(2)本小题关键是理解坡比与坡角的意义.‎ ‎【自主解答】　(1)由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.‎ ‎(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝‎10 m，CD＝‎6 m，高DE＝‎2 m，则AE＝＝‎2 m，‎ ‎∴tan ∠DAE＝＝＝，‎ ‎∴∠DAE＝60°.‎ 10‎ ‎【答案】　(1)D　(2)B 测量角度问题画示意图的基本步骤：‎ ‎[再练一题]‎ ‎1.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是‎20 km/h；水的流向是正东，流速是‎20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h. ‎ ‎【导学号：18082009】‎ ‎【解析】　∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，‎ 故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.‎ ‎【答案】　60°　20 求航向的角度 ‎　某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.‎ ‎【精彩点拨】　本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形.‎ ‎【自主解答】　如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cos 120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t 10‎ ‎－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.‎ 此时AB＝14，BC＝6.‎ 在△ABC中，根据正弦定理得＝，‎ 所以sin∠CAB＝＝，‎ 即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去).‎ 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.‎ 所以舰艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近渔轮.‎ ‎1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.‎ ‎2.在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角.因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是一一对应，一个正弦值可以对应两个角.但角在上时，用正、余弦定理皆可.‎ ‎[再练一题]‎ ‎2.某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1) n mile的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile，正以每小时10 n mile的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1 h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.‎ ‎【解】　如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B、C、D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.‎ 由题意AB＝20(＋1)，DC＝20，‎ BC＝(＋1)·10.‎ 在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，‎ 10‎ ‎∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.‎ 在△ABC中，由余弦定理得 cos∠BAC＝＝.‎ ‎∴∠BAC＝30°，又∵B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向，又∵∠ADC＝45°，‎ ‎∴台风移动的方向为向量的方向.即北偏西45°方向.‎ 答：台风向北偏西45°方向移动.‎ ‎[探究共研型]‎ 求解速度问题 探究1　某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50°，距离是‎4 km，从B到C，方位角是80°，距离是‎8 km，从C到D，方位角是150°，距离是‎6 km，试画出示意图.‎ ‎【提示】　如图所示：‎ 探究2　在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？‎ ‎【提示】　如探究1图，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC＝＝4，则此人的最小速度为v＝＝8(km/h).‎ 探究3　在探究1中若投递员以‎24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以‎16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？‎ ‎【提示】　投递员到达C点的时间为t1＝＝(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知 t2＝＝(小时)＝15分钟；由于30>15＋10，所以此人在C点能与投递员相遇.‎ ‎　如图1220所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M 10‎ 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机.问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？‎ 图1220‎ ‎【精彩点拨】　根据已知图形构造三角形.利用余弦定理建立速度与时间的函数求解.‎ ‎【自主解答】　作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝.‎ 设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，‎ 由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×，‎ 即v2＝－＋2 500＝252＋900≥900，‎ ‎∴当t＝时，v取得最小值为30，‎ ‎∴其行驶距离为vt＝＝公里.‎ 故骑摩托车的人至少以‎30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里.‎ 解决实际问题应注意的问题：‎ (1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.‎ (2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题 ‎[再练一题]‎ ‎3.如图1221，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？ ‎ ‎【导学号：18082010】‎ 10‎ 图1221‎ ‎【解】　设缉私船用t h在D处追上走私船，‎ 则有CD＝10t，BD＝10t，‎ 在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，‎ ‎∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos 120°＝6，‎ ‎∴BC＝，‎ 且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝· ＝.‎ ‎∴∠ABC＝45°.‎ ‎∴BC与正北方向垂直.‎ ‎∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，‎ 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝，‎ ‎∴∠BCD＝30°.‎ 即缉私船沿东偏北60°方向能最快追上走私船.‎ 10‎ ‎1.已知两座灯塔A，B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)‎ A.北偏东10° B.北偏西10°‎ C.南偏东10° D.南偏西10°‎ ‎【解析】　如图，因△ABC为等腰三角形，‎ 所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，‎ ‎60°－50°＝10°，故答案为B.‎ ‎ ‎ ‎【答案】　B ‎2.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进‎100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是(　　)‎ A‎.50 m B‎.100 m C‎.120 m D‎.150 m ‎【解析】　设水柱高度是h m，水柱底端为C(图略)，则在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是‎50 m.‎ ‎【答案】　A ‎3.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________km. ‎ ‎【导学号：18082011】‎ ‎【解析】　∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理，‎ 得AB2＝a2＋a2－‎2a×a×cos 120°＝‎3a2，AB＝a.‎ ‎【答案】　a 10‎ ‎4.一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.‎ ‎【解析】　在△ABC中，∠ABC＝110°＋10°＝120°.‎ 又AB＝BC，故∠CAB＝∠ACB＝30°，‎ AC＝＝10.‎ 故此船沿着北偏东70°－30°＝40°方向行驶了‎10海里到达海岛C.‎ ‎【答案】　北偏东40°　10 ‎5.如图1222，某海轮以60海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离.‎ 图1222‎ ‎【解】　因为AB＝40，∠A＝120°，∠ABP＝30°，‎ 所以∠APB＝30°，所以AP＝40，‎ 所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°‎ ‎＝402＋402－2×40×40×＝402×3，‎ 所以BP＝40.‎ 又∠PBC＝90°，BC＝80，‎ 所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200，‎ 所以PC＝‎40海里.‎ 10‎