- 2021-06-24 发布 |
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文档介绍
高中数学选修1-2公开课课件__2_2_2反证法课件
2.2.2 反证法 反证法 实验中学 祝夫蒙 2.2 直接证明与 间接证明 复习 1. 直接证明的两种基本证法: 综合法和分析法 2. 这两种基本证法的推证过程和特点: 由因导果 执果索因 3 、在实际解题时,两种方法如何运用? 通常用 分析法 寻求思路,再由 综合法 书写过程 综合法 已知条件 结论 分析法 结论 已知条件 本节重点:反证法概念的理解以及反证法的解题 步骤. 本节难点:应用反证法解决问题. 教 学 目 标 1 .知识与技能 结合实例的间接证明的一种基本方法 —— 反证法;了解反证法的思考过程与特点. 2 .过程与方法 了解反证法的特点、增强应用反证法证明的能力. 3 .情感、态度与价值观 培养学生的数学素养,发展学生的数学思维能力 . 前言:推理与证明是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后,证明方法中的一种(间接证明问题的)基本方法,它弥补了直接证明的不足,完善了证明方法,有利于培养逆向思维能力。 将 9 个球分别染成红色或白色。那么无论怎样染,至少有 5 个球是同色的。你能证明这个结论吗? 假设 有某种染法使红色球和 白色球的个数都不超过 4 , 则 球的总数不应超过 8 , 这与球的总数是 9 相 矛盾 假设不正确, 因此,无论怎样染 至少有 5 个球是同色的 思考 : 探究 : 思考 1 :掀起你的盖头来 —— 认识反证法 思考 2 : A 、 B 、 C 三个人, A 说 B 撒谎, B 说 C 撒谎, C 说 A 、 B 都撒谎。则 C 必定是在撒谎,为什么? 分析 : 假设 C 没有撒谎 , 则 C 真 . 那么 A 假且 B 假 ; 由 A 假 , 知 B 真 . 这与 B 假矛盾 . 那么 假设 C 没有撒谎不成立 ; 则 C 必定是在撒谎 . 1 .反证法的定义 一般地,假设原命题不成立,经过 ,最后得出 ,因此说明假设 ,从而证明了原命题 ,这样的证明方法叫做反证法. 反证法是 的一种基本方法. 2 .反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与 矛盾,或与 矛盾,或与定义、公理、 、 矛盾等. 正确的推理 矛盾 错误 成立 间接证明 已知条件 假设 定理 事实 反证法的思维方法: 正难则反 1 .反证法证明数学命题的四个步骤: 第一步:分清命题的条件和结论; 第二步:做出与命题结论相矛盾的假设; 第三步:由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果; 第四步:断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假设不真,于是原结论成立,从而间接地证明了命题为真. 2. 常见的主要矛盾有: (1) 与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾; (2) 与假设矛盾; (3) 与公认的简单事实矛盾. 探究 2 :深度挖掘 —— 了解反证法 3 .反证法适宜证明存在性、唯一性、带有 “ 至少有一个 ” 或 “ 至多有一个 ” 等字样的一些数学问题. 4 .用反证法证明不等式,常用的否定形式有: “ ≥ ” 的反面为 “ < ” ; “ ≤ ” 的反面为 “ > ” ; “ > ” 的反面为 “ ≤ ” ; “ < ” 的反面为 “ ≥ ” ; “ ≠ ” 的反面为 “ = ” ; “ = ” 的反面为 “ ≠ ” 或 “ > 及 < ” . 5 .反证法属于逻辑方法范畴,它的严谨体现在它的原理上,即 “ 否定之否定等于肯定 ” ,其中第一个否定是指 “ 否定结论 ( 假设 ) ” ;第二个否定是指 “ 逻辑推理结果否定了假设 ” . 反证法属于 “ 间接证明方法 ” ,书写格式易错之处是 “ 假设 ” 错写成 “ 设 ” . 常见的 “ 结论词 ” 与 “ 反设词 ” 如下: 原结论词 反设词 原结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 对所有 x 成立 存在某个 x 不成立 至多有一个 至少有两个 对任意 x 不成立 存在某个 x 成立 至少有 n 个 至多有 n - 1 个 p ∨ q ( ¬ p ) ∧ ( ¬ q ) 至多有 n 个 至少有 n + 1 个 p ∧ q ( ¬ p ) ∨ ( ¬ q ) 例 1 (课本例题 7 ) 已知 a≠0 , 证明 x 的方程 ax=b 有且只有一个根。 分析:要说明两个方面存在性和唯一性; 唯一性时可以用反证法 探究 3 常见典型题目类型总结: 证明; ( 存在性) a≠0 ,方程 ax=b 至少有一个根 x=b/a 。 (以下为唯一性) [ 补例 2] 求证:一个三角形中,至少有一个内角不小于 60°. [ 证明 ] 假设 △ ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 都小于 60° ,即 ∠ A <60° , ∠ B <60° , ∠ C <60°. 相加得 ∠ A + ∠ B + ∠ C <180°. 这与三角形内角和定理矛盾,所以 ∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C 都小于 60° 的假设不能成立,从而一个三角形中,至少有一个内角不小于 60°. [ 例 4] 求证:当 x 2 + bx + c 2 = 0 有两个不相等的非零实数根时, bc ≠ 0. [ 证明 ] 假设 bc = 0 ,则有三种情况出现: (1) 若 b = 0 , c = 0 ,方程变为 x 2 = 0 ; x 1 = x 2 = 0 是方程 x 2 + bx + c 2 = 0 的根,这与已知方程有两个不相等的实根矛盾. (2) 若 b = 0 , c ≠ 0 ,方程变为 x 2 + c 2 = 0 ,但当 c ≠ 0 时 x 2 + c 2 ≠ 0 与 x 2 + c 2 = 0 矛盾. (3) 若 b ≠ 0 , c = 0 ,方程变为 x 2 + bx = 0 ,方程的根为 x 1 = 0 , x 2 =- b ,这与已知条件:方程有两个非零实根矛盾. 综上所述, bc ≠ 0. [ 说明 ] (1) 反证法是利用原命题的否定不成立则原命题一定成立来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,反证法都是不完全的. (2) 对于否定性命题或结论中出现 “ 至多 ” 、 “ 至少 ” 、 “ 不可能 ” 等字样时,常用反证法. 练习 2 变形 练习题讲解: 练习 1 假设 B 不是锐角 练习 2 假设可以成等差数列 1 、直接证明困难,原因何在? 原因: ①情况很多,分类讨论 ②条件太少直接证明找不到突破口 反证法主要用于以下两种情形: 1 、要证的结论和条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰。 2 、如果从正面证明,需要分成多种情况进行分类讨论,而从反面进行证明,只要研究一种或很少的几种情形。对于“不可能,至少,唯一性”等题目常用 课堂小结: 我来告诉你 1. 存在性问题 2. 否定性问题 3. 唯一性问题 4. 至多、至少类问题 5. 一些基本命题、基本定理 哪些问题适宜用反证法 总之,直接证明比较困难的命题 大家议一议! [ 规律方法 ] 当结论中含有 “ 不 ” 、 “ 不是 ” 、 “ 不可能 ” 、 “ 不存在 ” 等词语的命题,此类问题的反面比较具体,适于应用反证法.例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已知条件推导出矛盾. 名家情系反证法 反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具。 牛顿说:“反证法是数学家最精当的武器之一”。 英国数学家哈代也曾这样称赞它:“反证法是数学家最有力的一件武器,比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法,它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子,数学家索性把全局拱手让给对方!” --- 德国数学家希尔伯特说, 禁止数学家使用 反证法 , 就象禁止拳击家使用拳头。 同学们,学了这节课,你们有何体会? 反思与收获 你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗? 拓展阅读 — 反证法典型例子 证明:素数有无穷多个。 这个古老的命题最初是由 古希腊 数学家 欧几里德 (Euclid of Alexandria ,生活在 亚历山大城 , 约前 330 ~约前 275, 是古希腊最享有盛名的数学家 ) 在他的不朽著作 《 几何原本 》 里给出的一个反证法: 假设命题不真,则只有有限多个素数,设所有的素数是 2=a1查看更多