2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十一）

2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十一）

‎2019年高考理科数学考前30天--计算题专训（十一）‎ ‎17．已知向量，，设函数．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），‎ 令，（），‎ 所以所求递增区间为（）．‎ ‎（2）在的值域为，‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎18．已知公比为的等比数列的前6项和，且成等差数列．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设是首项为2，公差为的等差数列，记前项和为，求 的最大值．‎ ‎【答案】（1）成等差数列，‎ ‎∴，即，∴，‎ ‎∴，解得，所以．‎ ‎（2）由（1）可知是首项为2，公差为的等差数列，∴，‎ 于是，则的最大值为7，此时或7．‎ ‎19．已知的内角所对的边分别为，满足．‎ ‎（1）若，求角；‎ ‎（2）若，试判断的形状．‎ ‎【答案】（1）由余弦定理知：，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴．‎ ‎（2），‎ 由正弦定理有：，‎ 而，∴，‎ 即，而，‎ ‎∴，∴，∵，∴，‎ 又由（1）知，从而，‎ 因此为正三角形．‎ ‎20．已知点是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，，，的面积为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与椭圆相交于两点，点，记直线的斜率分别为，当最大时，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）易知，由，‎ ‎，‎ 由余弦定理及椭圆定义有：‎ ‎，又，∴，从而．‎ ‎（2）①当直线的斜率为0时，则；‎ ‎②当直线的斜率不为0时，设，，直线的方程为，‎ 将代入，整理得，‎ 则，，又，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 令，则，‎ 当即时，；‎ 当时，，‎ ‎∴或．‎ 当且仅当，即时，取得最大值．‎ 由①②得直线的方程为．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（1）若有三个极值点，求的取值范围；‎ ‎（2）若对任意都恒成立的的最大值为，证明：．‎ ‎【答案】（1），定义域为，‎ ‎，∵，‎ 只需应有两个既不等于0也不等于的根，，‎ ‎①当时，，∴单增，最多只有一个实根，不满足；‎ ‎②当时，，‎ 当时，，单减；当时，，单增；‎ ‎∴是的极小值，‎ 而时，，时，，‎ 要有两根，只需，由 ‎，‎ 又由，‎ 反之，若且时，则，的两根中，一个大于，另一个小于．‎ 在定义域中，连同，共有三个相异实根，且在三根的左右，正负异号，它们是的三个极值点．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎（2）对恒成立，‎ ‎①当或1时，均满足；‎ ‎②对恒成立对恒成立，‎ 记，，，，‎ 欲证，‎ 而，‎ 只需证明，显然成立．‎ 下证：，，，，‎ 先证：，，，．‎ 令，，‎ ‎，，，∴在上单增，‎ ‎∴，∴在上单增，∴，∴在上单增，‎ ‎∴，即证．‎ 要证：，．‎ 只需证，，‎ ‎，，‎ 而，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立．‎