安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

安徽省六安市舒城中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 舒城中学2019-2020学年度第一学期期末考试高二理数 一.选择题 ‎1.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称量词命题的否定是特称量词命题，即得答案.‎ ‎【详解】根据全称量词命题的否定是特称量词命题，所以命题的否定是.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎2.抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. （0,1） B. （，0） C. （1,0） D. （0，）‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线焦点的定义直接求解即可.‎ ‎【详解】抛物线开口向上，焦点为（0，），‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了抛物线焦点坐标的求解，解题的关键是将抛物线的方程写出标准方程，注意开口，属于基础题.‎ ‎3.已知，则“且”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分非必要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】C - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 若且，则显然成立，所以是充分条件.举反例判断必要条件不成立，即得答案.‎ ‎【详解】若且，则显然成立，所以是充分条件.‎ 令，满足，但不满足且，所以不是必要条件.‎ 所以“且”是“”的充分非必要条件.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查充分必要条件，属于基础题.‎ ‎4.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）‎ A. “至少有1个白球”和“都是红球”‎ B. “至少有2个白球”和“至多有1个红球”‎ C. “恰有1个白球” 和“恰有2个白球”‎ D. “至多有1个白球”和“都是红球”‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.‎ ‎【详解】对于选项A, “至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;‎ 对于选项B, “至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;‎ 对于选项C, “恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球, 与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;‎ 对于选项D, “至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.‎ - 18 -‎ ‎5.掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B．‎ 考点：概率问题 ‎6.方程表示的曲线为（ ）‎ A. 一个圆 B. 半个圆 C. 两个半圆 D. 两个圆 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分与两种情况讨论，分别整理曲线方程，即可得出结果.‎ ‎【详解】由题知，故或.‎ 当时，方程可化为；‎ 当时，方程可化为.‎ 故该方程表示两个半圆.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查圆的方程，根据题意，分类讨论，整理曲线方程即可，属于常考题型.‎ ‎7.椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的坐标，，根据椭圆的定义求出，在 - 18 -‎ 中，由勾股定理，即求.‎ ‎【详解】椭圆中，，‎ ‎.‎ ‎.‎ 中，，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义和勾股定理，属于基础题.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（ ）‎ A. 21 B. 22 C. 23 D. 24‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运行第一次，；运行第二次，；运行第三次；类推，直到不再符合为止，输出z即可．‎ ‎【详解】运行第一次，；运行第二次，；运行第三次；运行第四次，，运行第五次，，不符合,跳出循环停止运行，所以输出的z的值是21，故选A．‎ ‎【点睛】本题考查程序框图的的有关内容，利用循环结构求程序框图的输出结果是常见题型.‎ ‎9.2019年是新中国成立七十周年，新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2013 年到 2018 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014‎ - 18 -‎ ‎ 年编号为 2，…，2018年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线，其相关指数，给出下列结论，其中正确的个数是( )‎ ‎①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ‎ ‎②公共图书馆业机构数平均每年增加13.743个 ‎ ‎③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为3192个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据和确定是正相关还是负相关以及相关性的强弱；根据的值判断平均每年增加量；根据回归直线方程预测年公共图书馆业机构数.‎ ‎【详解】由图知点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，‎ 又趋近于1，所以相关性较强，故①正确；由回归方程知②正确；‎ 由回归方程，当时，得估计值为3191.9≈3192，故③正确.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】回归直线方程中的的大小和正负分别决定了单位增加量以及相关型的正负；相关系数决定了相关性的强弱，越接近相关性越强.‎ ‎10.“纹样”是中国艺术宝库瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是 - 18 -‎ A. 2 B. 3 C. 10 D. 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果.‎ ‎【详解】设阴影部分的面积是s，由题意得，选C.‎ ‎【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ ‎11.已知空间三点坐标分别为A（4,1,3），B(2,3,1），C（3,7，-5），又点P（x,-1,3) 在平面ABC内，则x的值 （ ） ‎ A. -4 B. 1 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的共面定理即可求出答案 ‎【详解】在平面内 使得等式成立 ‎，消去解得 故选D - 18 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间向量的坐标运算，共面向量定理的应用，熟练掌握平面向量的共面定理是解决本题的关键，属于基础题。‎ ‎12.已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求，令，再求，‎ 判断的单调性，求的最小值即得.‎ ‎【详解】，.‎ 令，.‎ 令，得，当时，；当时，.‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 即.‎ 所以直线的斜率的最小值为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查导数的应用，考查学生的逻辑推理能力，属于较难的题目.‎ 二.填空题 ‎ ‎13.总体由编号为01，02，…，49，50的50个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列开始由左向右读取，则选出来的第5个个体的编号为__________；‎ ‎78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74‎ - 18 -‎ ‎32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01‎ ‎【答案】43‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按照随机数表的读取的方法进行选择出两位的编号即可.‎ ‎【详解】从随机数表第1行的第9列开始由左向右读取，依次得到：，所以第5个个体的编号为43.‎ 故答案为：43‎ ‎【点睛】本题考查了随机数表的应用，属于基础题.‎ ‎14.上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆相交”发生的概率为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由直线y=kx与圆相交得 ‎ 所以概率为 .‎ ‎15.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 18 -‎ 试题分析：在△MF1F2中，因为∠MF1F2=300，,F1F2=2c，所以MF1=，MF2=，由双曲线的定义得：,所以．‎ 考点：本题考查双曲线的定义和离心率．‎ 点评：本题直接考查了双曲线的简单性质及定义，属基础题．‎ ‎16.已知函数，若，且，则的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，可得出，利用表示、，然后利用导数可求出的取值范围.‎ ‎【详解】令，如下图所示：‎ 由图象可知，，由，.‎ 设，则，‎ 令，得，当时，，当时，.‎ 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎，‎ ‎，，所以．‎ - 18 -‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查函数零点代数式取值范围的求解，将代数式转化为以某变量为自变量的函数值域问题是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ 三.解答题 ‎17.已知命题甲：关于的不等式的解集为全体实数R,命题乙：方程有两个不相等的实根.‎ ‎（1）若甲、乙都是真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若甲、乙中至少有一个是真命题，求实数的取值范围 ‎【答案】(2) (2)a>1或a<-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简命题甲和乙，（1）求命题甲和命题乙为真的a的取值范围的交集；（2）用补集法求甲、乙中至少有一个是真命题时实数的取值范围.‎ ‎【详解】命题甲：由题得 命题乙：由题得或.‎ ‎（1）若甲、乙都是真命题，所以；‎ ‎（2）假设甲、乙两个命题都是假命题，甲是假命题，则或，乙是假命题，则,所以.‎ 如果甲、乙中至少有一个是真命题，则a>1或a<4.‎ ‎【点睛】本题主要考查二次方程和二次不等式恒成立问题，考查命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.已知动圆过定点，且与直线相切.‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的斜率分别为，且，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标 ‎【答案】（1）；（2）证明见解析,过定点.‎ ‎【解析】‎ - 18 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义可求动圆圆心的轨迹的方程；‎ ‎（2）设，则.由题意知直线的斜率存在，从而设方程为，将与联立消去，得，由韦达定理得，代入得，代入直线方程即得.‎ ‎【详解】（1）设为动圆圆心，记为，过点作直线的垂线，垂足为，‎ 由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，‎ 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，‎ 所以轨迹方程为；‎ ‎（2）如图，设，由题意得，‎ 由题意知直线的斜率存在，从而设AB方程为，显然，‎ 将与联立消去，得 由韦达定理知 由，即 将①式代入上式整理化简可得：，‎ 所以AB方程为过定点.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义和与抛物线有关的定点问题，考查学生的运算能力，属于较难的题目.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是矩形，是的中点，平面，且，．‎ - 18 -‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，即证；‎ ‎（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的余弦值．‎ ‎【详解】（1）平面，平面，.‎ 底面是矩形，，又，‎ 平面，平面，‎ ‎.‎ ‎（2）以原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示 - 18 -‎ 则，‎ ‎，‎ 设平面的法向量，则 ‎，即，令，则，.‎ 设直线与平面所成的角为，则 ‎.‎ 所以与平面所成角的正弦值为.‎ ‎（3）.‎ 设平面的法向量，则 ‎，即，令，则..‎ 又平面的法向量.‎ 设二面角的大小为，则为锐角，‎ ‎，‎ 所以二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直，考查用向量的方法求线面角和面面角，考查学生的运算能力，属于较难的题目.‎ ‎20.某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．‎ - 18 -‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求月平均用电量的众数和中位数；‎ ‎（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数 试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：‎ x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分 ‎(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分 因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，‎ 设中位数为a，‎ 由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5‎ 得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分 ‎(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，‎ 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，‎ 月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，‎ 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分 - 18 -‎ 抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分 考点：频率分布直方图及分层抽样 ‎21.已知函数，．‎ ‎（1）求函数图像在点处的切线方程；‎ ‎（2）若不等式对于任意的均成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求，求函数在点处的切线的斜率，点斜式写出切线方程；‎ ‎（2）对于任意的，，由不等式，得，求的取值范围.令，求导，判断的单调性，即可求得.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，，‎ 函数图像在点处切线方程为.‎ ‎（2）对于任意的，，由不等式，得.‎ 令，‎ ‎，在上单调递减，，‎ 即，，‎ ‎.‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查参变量分离求参数的取值范围，属于较难的题目.‎ - 18 -‎ ‎22.如图，椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程；‎ ‎(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题意得到离心率，再结合距离公式即可得：，所求椭圆的方程为：.（2）易得直线的方程：，用点差法得到，设直线的方程为：，与椭圆方程联立得，由得到的取值范围；由弦长公式，点到直线的距离表示出面积，即可求出直线的方程．‎ 试题解析：（1）由题：； ‎ 左焦点到点的距离为：.‚‎ 由‚可解得：.‎ 所求椭圆的方程为：.‎ ‎（2）易得直线的方程：，设.其中.‎ ‎、在椭圆上，‎ - 18 -‎ ‎.‎ 设直线的方程为：，‎ 代入椭圆：.‎ 显然.‎ 且.‎ 由上又有：.‎ ‎.‎ 点到直线的距离为：.‎ ‎，‎ 当且仅当时，三角形的面积最大，此时直线的方程.‎ 考点：1、椭圆的性质；2、中点弦问题；3、最值问题．‎ ‎【技巧点晴】本题考查是椭圆的定义和性质、直线与圆锥曲线的位置关系、最值等综合知识，属于难题；圆锥曲线中有关三角形面积问题，解决方法一般有两种：第一种是利用公式求出弦长，表示出点到弦长所在直线的距离，用求面积；第二种是以轴（或者轴）为界，把三角形分成两部分，利用（或者），其中为三角形被轴（或者轴）解得的线段长度．‎ - 18 -‎ ‎ ‎ - 18 -‎