上海市金山中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题

上海市金山中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题

2019 年高一综合能力测试数学试卷 一、填空题 1.函数 定义域是______ 【答案】 【解析】 分析】 利用分母不为 0，列不等式求解。 【详解】解：由已知 ，即 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查函数的定义域，注意分母不为 0，是基础题。 2.不透明的布袋里有 2 个黄球、3 个红球、5 个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋 中任意摸出一个球恰好为红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】 直接利用概率公式求解，即可得到任意摸出一个球恰好为红球的概率． 【详解】∵在不透明的袋中装有 2 个黄球、3 个红球、5 个白球，它们除颜色外其它都相同， ∴从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为红球的概率是： ， 故答案为： ． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．解题时注意：概率＝所求情况数与总情况数之比． 3.如图， 是 直径，点 在 的延长线上， 与 相切于点 ，若 ， 则 的度数是______. 的 【 3 2y x = − { | 2}x R x∈ ≠ 2 0x − ≠ 2x ≠ { | 2}x R x∈ ≠ 3 10 3 3 2 3 5 10 =+ + 3 10 AB O C AB CD O D 25A∠ = ° C∠ 【答案】40 【解析】 【分析】 由 OA＝OD 可得∠ODA，根据三角形外角性质可得∠COD，由切线的性质可得∠CDO，即可求∠C 的度数． 【详解】连接 OD， ∵AO＝OD， ∴∠A＝∠ODA＝25°， ∵∠COD＝∠A＋∠ADO， ∴∠COD＝50°， ∵CD 与⊙O 相切于点 D， ∴∠ODC＝90°， ∵∠C＋∠COD＝90°， ∴∠C＝40°， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．若 出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 4.某班的中考英语口语考试成绩如表： 考试成绩/分 30 29 28 27 26 学生数/人 3 15 13 6 3 则该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多______分． 【答案】1 【解析】 【分析】 众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个；找中位数要把数据按从小 到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，找出众数和中位数 即可． 【详解】解：这组数出现次数最多的是 29； ∴这组数的众数是 29． ∵共 40 人， ∴中位数应是第 20 和第 21 人的平均数， 位于最中间的数是 28，28， ∴这组数的中位数是 28， ∴该班中考英语口语考试成绩的众数比中位数多 29−28＝1 分， 故答案为：1． 【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数．注意找中位数的时候一定 要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的 数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 5.若二次函数 的图象经过点 ，则代数式 的值等于 ______． 【答案】2018 【解析】 【分析】 首先根据二次函数 的图象经过点 得到 关系，再整体代值计算即 可． 2 1y ax bx= − − ( )2,1 2019 2a b− + 2 1y ax bx= − − ( )2,1 ,a b 【详解】解：∵二次函数 的图象经过点 ， ， ， ， 故答案为：2018． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是利用整体代值计算， 此题比较简单． 6.如图，在笔直的海岸线 上有两个观测点 和 ，点 在点 的正西方向， ．若 从点 测得船 在北偏东 60°的方向，从点 测得船 在北偏东 45°的方向，则船 离海 岸线 的距离为______ ．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 分析】 作 ， 设 ， 根 据 ， 知 ， ，由 列出关于 的方程，解之可得答案． 【详解】解：如图所示，过点 作 ，交 的延长线与点 ， 设 ， ， 设 ， 又 ， 【 2 1y ax bx= − − ( )2,1 4 2 1 1a b∴ − − = 2 1a b∴ − = 2019 2 2019 (2 ) 2019 1 2018a b a b− + = − − = − = l A B A B 2AB km= A C B C C l km 1 3+ CD AB⊥ CD x= 45CBD BCD∠ =∠ =  BD CD x= = 2AD AB BD x= + = + tan CDCAD AD ∠ = x C CD AB⊥ AB D CD x= 45CBD BCD∴∠ =∠ =  BD CD x= = 2AB = ， ， ， 解得： ， 所以船 离海岸线 距离为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是根据题意构建合适的 直角三角形及三角函数的定义及其应用来解题． 7.在实数范围内分解因式 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 首先提取公因式，然后利用公式进行分解因式。 【 详 解 】 解 ： ， 故答案为： 【点睛】本题考查实数范围内的分解因式，是基础题。 8.已知 、 是一元二次方程 的两个实数根，那么 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 将 变形为 ，然后利用韦达定理代入求解即可。 【详解】解： 、 是一元二次方程 的两个实数根， ， 的 2AD AB BD x∴ = + = + 30 ,tan CDCAD CAD AD °∠ = ∠ = 3 2 3 x x ∴ =+ 1 3x = + C l (1 3)km+ 1 3+ 54 16m m− = ( )( )( )24 2 2 2m m m m+ + − 5 4 2 2 24 16 4 ( 4) 4 ( 2)( 2) 4 ( 2)( 2)( 2)m m m m m m m m m m m− = − = − + = + + − ( )( )( )24 2 2 2m m m m+ + − 1x 2x 2 3 6 0x x− − = 2 2 1 2x x+ = 21 2 2 1 2x x+ 2 1 2 1 2( ) 2x x x x+ − 1x 2x 2 3 6 0x x− − = 1 2 1 2 3 6 x x x x + =∴ = − ， 故答案为： 【点睛】本题考查利用韦达定理求目标式子 值，是基础题。 9.对两个不相等的实数根 、 ，我们规定符号 表示 、 中较大的数，如： ，按照这个规定：方程 的解为______． 【答案】 或 【解析】 【分析】 根据题中的新定义分类讨论化简方程，求出解即可得到 x 的值． 【详解】解：解：当 ，即 时，方程变形为 ， 去分母得： ， 解得： ， 此时 ， 经检验 是分式方程的解； 当 ，即 ，方程变形为 ， 去分母得： ， 解得： ， 经检验 是分式方程的解， 综上： 的值为 或 ， 故答案为： 或 【点睛】此题考查了学生审题，分析问题的能力，注意针对分式方程的解要验根，是基础 题． 10.如图， 是半 的直径，且 ．点 是半 上的一个动点（不与点 、 重 的 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2 3 2 ( 6) 21x x x x x x∴ + = + − = − × − = 21 a b { }max ,a b a b { }max 2,4 4= { } 2 1max , xx x x +− = 1− 1 2+ x x> − 0x > 2 1xx x += 2 2 1 0x x− − = 2 2 2 1 22x ±= = ± 1 2x = + 1 2x = + x x< − 0x < 2 1xx x +− = 2 2 1 0x x+ + = 1 2 1x x= = − 1x = − x 1− 1 2+ 1− 1 2+ AB O 8AB = C O A B 合），过点 作 ，垂足为 ．设 ， ，则 的最大值等于 ______． 【答案】 【解析】 【分析】 证明 ，得 与 的关系式，进而得 关于 的函数关系式，再由函数性 质求得最大值． 【详解】解： 是直径， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ， ∴当 时， 有最大值为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题是圆的一个基本性质题，主要考查了圆的基本性质，圆周勾股定理，相似三角 形的性质与判定，二次函数的最值求法，建立 关于 的函数关系式是解题的关键． 二、选择题 C CD AB⊥ D AC x= AD y= ( )x y− 2 ACD ABC∆ ∆ x y x y− x AB CD AB⊥ 90ACB ADC °∴∠ = ∠ = A A∠ = ∠ ACD ABC∆ ∆ AC AD AB AC ⋅ = 2AC AB AD∴ = ⋅ 2 8x y= 21 8y x∴ = 2 21 1 ( 4) 2(0 8)8 8x y x x x x∴ − = − = − − + < < 4x = x y− 2 2 x y− x 11.关于 的叙述正确的是（ ） A. B. 在数轴上不存在表示 的点 C. D. 与 最接近的整数是 3 【答案】D 【解析】 【分析】 直接利用 的性质，分别分析得出答案． 【详解】解：A、 无法计算，故此选项错误； B、在数轴上存在表示 的点，故此选项错误； C、 ，故此选项错误； D、与 最接近的整数是： ，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确掌握实数的性质是解题关键． 12.已知平行四边形 ， 、 是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平 行四边形为菱形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据菱形的定义得出答案即可． 【详解】解：∵四边形 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， 8 8 3 5= + 8 8 2 2= ± 8 8 3 5+ 8 8 2 2= 8 9 3= ABCD AC BD BAC DCA∠ = ∠ BAC DAC∠ = ∠ BAC ABD∠ = ∠ BAC ADB∠ = ∠ ABCD ∵∠BAC＝∠DAC，（选项 B） ∴∠BAC＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∴四边形 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）， 其余选项 ACD 均不能推出四边形 是菱形， 故选：B． 【点睛】本题考查菱形的判定方法，有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；② 四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 13.下列四个函数图象中，当 时，函数值 随自变量 的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 函数值 随自变量 的增大而减小，说明图像从左到右看，图像在下降，观察选项即可得出结 果。 【详解】因为 ，所以只用观察 轴左边的图像，函数值 随自变量 的增大而减小，说 明图像从左到右看，图像一直在下降，观察选项，只有 D 符合， 故选：D 【点睛】本题考查识图能力，是基础题。 14.如图， 中， ， ， 点是 所在平面上的一个动点， 且 ，则 面积的最大值是（ ） ABCD ABCD 0x < y x y x 0x < y y x ABC△ 2AB AC= = 2 3BC = D ABC△ 60BDC∠ = ° DBC△ A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 因为 ， ，可得∠BAC＝120°，以 A 为圆心，AB 为半径作⊙A，与 HA 的延长线相交于点 D，因为∠BDC＝60°，所以点 D 在⊙O 上运动，当 D 运动到如图的位置时， △DBC 面积最大，根据三角形面积公式即可得出△DBC 面积的最大值． 【详解】解：如图，作 AH⊥BC 于 H， ∵AB＝AC＝2， ， ， ， ， ， 以 A 为圆心，AB 为半径作⊙A，延长 HA 交⊙A 于点 D， ∵∠BDC＝60°， 3 3 3 2 3 2AB AC= = 2 3BC = 2 3BC = 1 32BH BC∴ = = 2 22 ( 3) 1AH∴ = − = 1sin 2 AHABC AB ∴ ∠ = = 30 , 120ABC ACB BAC° °∴∠ = ∠ = ∠ = ∴点 D 在⊙O 上运动，当 D 运动到如图的位置时，以 BC 为底边时，高最大，则此时△DBC 面 积的最大值，最大值为： ． 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是要观察点 D 在⊙A 上运动时，△DBC 的高的大小变化情况． 三、解答题 15.已知 . （1）化简 ； （2）若 满足不等式组 ，且 为整数时，求 的值． 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 【分析】 （1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式即可； （2）先解不等式组求出其解集，再确定不等式组的整数解，继而根据分式有意义的 的条件 找到 的值，代入计算可得． 【详解】解：（1） ； （2） ， 解不等式 得， ， 1 2 3 3 3 32 × × = ( ) ( )( )2 2 2 6 9 3 14 x x x A x x + − + = − ÷ −− A x 2 3 6 4 5 3 3 x x x − ≤ − ≤ x A 1 3A x = − 1 3A = − 1 2A = − x x ( ) ( )( )2 2 2 6 9 3 14 x x x A x x + − + = − ÷ −− 2 ( 2)( 2)( 3) 1( 2)( 3) x xx x x + −= − ⋅ −+ − 2 3 3 3 x x x x − −= −− − 1 3x = − 2 3 6 4 5 3 3 x x x − ≤ − ≤ 2 3x x− ≤ 3x ≤ 解不等式 得， ， ∴不等式组的解集为 ，即整数解为 0、1、2、3， ∵要是分式 A 有意义， ， 只能取 0 或 1， 当 时， ， 当 时， ． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算与解一元一次不等式组，解题的关键是掌握分式混合 运算顺序和运算法则及解一元一次不等式的基本步骤、分式有意义的条件． 16.某商场购进一种每件价格为 90 元的新商品，在商场试销时发现：销售单价 （元/件）与 每天销售量 （件）之间满足如图所示的关系． （1）求出 与 之间的函数关系式； （2）写出每天的利润 与销售单价 之间的函数关系式，并求出售价定为多少时，每天获得 的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） ；（2）售价定为 130 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 1600 元． 【解析】 【分析】 （1）先利用待定系数法求一次函数解析式； 6 4 5 3 3 x− ≤ 2 5x ≥ − 2{ | 3}5x x− ≤ ≤ 2, 3x x∴ ≠ ≠ x 0x = 1 1 0 3 3A = = −− 1x = 1 1 1 3 2A = = −− x y y x W x 170y x= − + （2）用每件的利润乘以销售量得到每天的利润 ，即 ，然后根据二 次函数的性质解决问题． 【详解】（1）设 与 之间的函数关系式为 ， 根据题意得 ，解得 ， 与 之间的函数关系式为 ； （2） ， ， 当 时， 有最大值 1600． 答：售价定为 130 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 1600 元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，先利用利润＝每件的利 润乘以销售量构建二次函数关系式，然后根据二次函数的性质求二次函数的最值，一定要注 意自变量 的取值范围． 17.如图， 是 的直径， 是 延长线上一点， 与 相切于点 ， 于点 ． （1）求证： 平分 ； （2）若 ， ． ①求 的长； ②求出图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）①3；② . 【解析】 【分析】 W ( )( )90 170W x x= − − + y x y kx b= + 120 50 140 30 k b k b + =  + = 1 170 k b = −  = ∴ y x 170y x= − + ( )( )90 170W x x= − − + 2 260 15300x x= − + −  ( )22 260 15300 130 1600W x x x= − + − = − − + ∴ 130x = W x AB O C AB CD O E AD CD⊥ D AE DAG∠ 4AB = 60ABE∠ = ° AD 4 33 π − （1）连接 ，可证得 ，则 ，可得结论； （2）①先根据 求出 的度数，根据锐角三角函数的定义求出 及 的 长，在 中利用锐角三角函数的定义即可得出 的长； ②由三角形内角和定理求出 的度数，由阴影部分的面积 ，即可得出 结论． 【详解】（1）证明：连接 ，如图， 与 相切于点 ， ， ， ， ， ， ， ， 平分 ； （2）解：① 是直径， ， ． ， 在 中， ， ， 在 中， ， ， ； OE OE AD DAE AEO OAE∠ = ∠ = ∠ 60ABE∠ = ° EAB∠ AE BE Rt ADE AD AOE∠ AOEAOES S= − △扇形 OE  CD O E ∴ OE CD⊥  AD CD⊥ ∴ OE AD ∴ DAE AEO∠ = ∠  AO OE= ∴ AEO OAE∠ = ∠ ∴ OAE DAE∠ = ∠ ∴ AE DAC∠  AB ∴ 90AEB = °∠ 60ABE∠ = ° ∴ 30EAB∠ = ° Rt ABE△ 1 1 4 22 2BE AB= = × = 3 2 3AE BE= = Rt ADE 30DAE BAE∠ = ∠ = ° ∴ 1 32DE AE= = ∴ 3 3 3 3AD DE= = × = ② ， ， ， 阴影部分的面积 . 【点睛】本题考查的是切线的性质及扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出直角三 角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键． 18.如图，已知二次函数 的图像与 轴相交于点 、 （点 在点 的左侧），与 轴相交于点 ，连接 、 ． （1）求线段 的长； （2）若 平分 ，求 的值； （3）该函数图象的对称轴上是否存在点 ，使得 为等边三角形？若存在，求出 的 值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）2；（2） ；（3）存在， . 【解析】 【分析】 （1）令 ，建立方程 ，求出点 坐标，即可得出结论； （2）先表示出 ，进而表示出 ，利用勾股定理建立方程求解即可得出结论；  OA OB= ∴ 30AEO OAE∠ = ∠ = ° ∴ 120AOE∠ = ° ∴ AOEAOES S= − △扇形 1 2 ABEAOES S= − △扇形 2120 2 1 1 2 3 2360 2 2 π⋅ ⋅= − ⋅ ⋅ ⋅ 4 33 π= − ( ) ( )2 22 1 2 0y x m x m m m= − + + + > x A B A B y C AC BC AB AC OCB∠ m P PAC∆ m 3m = 3 3 0y = ( )2 22 1 2 0x m x m m− + + + = ,A B OD AD （3）先判断出点 是 的外接圆的圆心，进而得出 ，最后用 三角函数建立方程求解即可． 【详解】（1）∵ 二次函数 的图象与 轴相交于点 、 ， ∴令 ，则 ， 或 ， ， ， ， 故答案为 2； （2）如图， 由（1）知， ， ， ， ， 令 ， ， ， ， 过点 作 ， ， ， ， P ABC△ 1 302ABC APC∠ = ∠ = ° ( ) ( )2 22 1 2 0y x m x m m m= − + + + > x A B 0y = ( )2 22 1 2 0x m x m m− + + + = ( )( 2) 0x m x m∴ − − − = x m∴ = 2x m= + ( ), 0A m∴ = ( )2,0B m= + 2 2AB m m∴ = + − = ( ),0A m= ( )2,0B m= + O A m∴ = 2OB m= + 0x = 2 2y m m= + ( )20, 2C m m∴ + 2 2OC m m∴ = + A AD BC∥ OD OA OC OB ∴ = 2 2 2 OD m m m m ∴ =+ + 2OD m∴ = 是 的平分线， ， ， ， ， ， 在 中，根据勾股定理得， ， ， （舍）或 （舍）或 ； （3）存在， 理由：假设存在，如图， 二次函数 ， 抛物线对称轴为 ， 点 是 的垂直平分线上， 是等边三角形， ， ， 点 是 的垂直平分线上， 点 是 的外接圆的圆心， ， ， 2CD OC OD m∴ = − = AC OCB∠ OCA BCA∴ ∠ = ∠ AD BC∴  CAD BCA∴ ∠ = ∠ OCA CAD∴∠ = ∠ 2AD CD m∴ = = Rt OAD∆ 2 2 2AD OD OA− = ( ) ( )22 2 22m m m∴ − = 0m∴ = 3m = − 3m =  ( )2 22 1 2y x m x m m= − + + + ∴ 1x m= + ∴ P AB ∴ PAC∆ ∴ 60APC∠ = ° PC PA= ∴ P AC ∴ P ABC△  60APC∠ = ° ∴ 1 302ABC APC∠ = ∠ = ° ， ， ， ， ， 函数图象的对称轴上存在点 ，使得 为等边三角形． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的坐标特征，角平分线的定义，等 腰三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．  ( )2,0B m= + ( )20, 2C m m+ ∴ 2OB m= + 2 2OC m m= + ∴ 2 2 3tan30 2 3 OC m m OB m +° = = =+ ∴ 3 3m = ∴ P PAC∆