【数学】2020届一轮复习（文）北师大版1-2命题及其关系、充分条件与必要条件学案
第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件
最新考纲 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
知 识 梳 理
1.命题
可以判断真题、用文字或符号表述的语句叫作命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且qp
p是q的必要不充分条件
pq且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
pq且qp
[微点提醒]
1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A B)两者的不同.
3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题.( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.( )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( )
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.( )
解析 (1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论.
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
2.(选修1－1P5练习引申)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A.若α≠，则tan α≠1 B.若α＝，则tan α≠1
C.若tan α≠1，则α≠ D.若tan α≠1，则α＝
解析 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”.
答案 C
3.(选修1－1P21B2改编)“若a，b都是偶数，则ab必是偶数”的逆否命题为________.
解析 “a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”.
答案 若ab不是偶数，则a，b不都是偶数
4.(2018·天津卷)设x∈R，则“<”是“x3<1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由<，得0
b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.
解析 a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，
则a＋b＝－61，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”
B.“若am24 x0成立
D.“若sin α≠，则α≠”是真命题
(2)(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
解析 (1)对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；
对于B项，若“am23x，C错；
对于D项，原命题的逆否命题为“若α＝，则sin α＝”是真命题，故原命题是真命题.
(2)根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0).
答案 (1)D (2)f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一 ，再如f(x)＝)
规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.
(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.
【训练1】 (1)(2018·肇庆一诊)命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是( )
A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”
B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”
C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”
D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”
(2)命题p：若x>0，则x>a；命题q：若m≤a－2，则ma，则x>0，故a≥0.因为命题q的逆否命题为真命题，所以命题q为真命题，则a－2<－1，解得a<1.则实数a的取值范围是[0，1).
答案 (1)D (2)[0，1)
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例2】 (1)(2018·北京卷)设a，b均为单位向量，则“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)设函数f(x)＝则“m>1是f[f(－1)]>4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
解析 (1)|a－3b|＝|3a＋b|⇔(a－3b)2＝(3a＋b)2⇔a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝0⇔a⊥b，因此|a－3b|＝|3a＋b|是“a⊥b”的充要条件.
(2)当m>1时，f [f(－1)]＝f ＝f(2)＝22m＋1>4，
当f[f(－1)]>4时，f [f(－1)]＝f ＝f(2)＝22m＋1>4＝22，
∴2m＋1>2，解得m>.
故“m>1”是“f[f(－1)]>4”的充分不必要条件.
答案 (1)C (2)A
规律方法 充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练2】 (1)(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足mα，nα，则“m∥n”是“m∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2019·汉中质检)已知函数f(x)＝3x－3－x，任意a，b∈R，则“a>b”是“f(a)>f(b)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 (1)若mα，nα，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，mα，nα，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
(2)因为f(x)＝3x－3－x，
所以f′(x)＝3xln 3－3－xln 3×(－1)＝3xln 3＋3－xln 3，
易知f′(x)>0，
所以函数f(x)＝3x－3－x为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a>b”可得“f(a)>f(b)”，由“f(a)>f(b)”可得“a>b”，即“a>b”是“f(a)>f(b)”的充要条件.
答案 (1)A (2)C
考点三 充分条件、必要条件的应用典例迁移
【例3】 (经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
∴解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，m的取值范围是[0，3].
【迁移探究1】 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴∴
这样的m不存在.
【迁移探究2】 设p：P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
p是q的充分不必要条件.
∴p⇒q且q p，即PS.
∴或
∴m≥9，又因为S为非空集合，
所以1－m≤1＋m，解得m≥0，
综上，实数m的取值范围是[9，＋∞).
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【训练3】 (2018·浏阳三校联考)设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
解 由p得(x－3a)(x－a)<0，当a<0时，3a0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，则x<－4或x≥－2.
设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，
又p是q的充分不必要条件.
可知AB，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－.
又∵a<0，∴a≤－4或－≤a<0，
即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪.
[思维升华]
1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，并注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”.
2.充分、必要条件与集合的关系，p，q成立的对象构成的集合分别为A和B.
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
(3)若A＝B，则p是q的充要条件.
[易错防范]
1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.
2.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言.
基础巩固题组
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1.(2019·河南八市联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是( )
A.若a≤b，则a＋c≤b＋c B.若a＋c≤b＋c，则a≤b
C.若a＋c>b＋c，则a>b D.若a>b，则a＋c≤b＋c
解析 将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.
答案 A
2.设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.
当x≤2时不一定有0≤x≤2，而当0≤x≤2时一定有x≤2，
∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件.
答案 B
3.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是( )
A.ac2>bc2 B.>1
C.a－c>b－c D.a2>b2
解析 对于选项A，a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a>b，若a>0，b<0，则<1，故B错；对于选项C，a>b，则a－c>b－c，故C正确；对于选项D，a>b，若a，b均小于0，则a2b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
解析 原命题：若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：设a，b，c∈R，若“ac2>bc2，则a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，
∴真命题共有2个.
答案 C
6.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是
綈p，则a的取值范围是( )
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
解析 由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
答案 A
7.(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇒cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈，当〈m，n〉∈时，m，n不共线.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.
答案 A
8.下列结论错误的是( )
A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.
若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命题.
答案 C
二、填空题
9.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件(填“充分”“必要”“充要”“既不充分也不必要”中的一个).
解析 “攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定是“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.
答案 必要
10.以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号).
①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；
②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；
③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；
④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价.
解析 ①不正确.由log2a>0，得a>1，∴f(x)＝logax在其定义域内是增函数.
②正确.由命题的否命题定义知，该说法正确.
③不正确，原命题的逆命题为：“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题，因此两命题等价.
答案 ②④
11.直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
解析 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于<，解之得－12S5等价d>0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.
答案 C
14.(一题多解)(2019·江西新课程教学质量监测)已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：>0，且綈q的一个必要不充分条件是綈p，则a的取值范围是( )
A.[－3，0] B.(－∞，－3]∪[0，＋∞)
C.(－3，0) D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)
解析 法一 由x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1.
则綈p对应的集合为A＝{x|－3≤x≤1}.
命题q：x>a＋1或x0}＝{x|x<－3或x>1}，
q对应的集合D＝＝{x|x>a＋1或x
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