函数模型及其应用学案
§3.2 函数模型及其应用
1.几类不同增长的函数模型及其增长差异
分别作出函数y=2x,y=log2x,y=x2在第一象限的图象如图.函数y=log2x刚开始增长得最快,随后增长的速度越来越慢;函数y=2x刚开始增长得较慢,随后增长的速度越来越快;函数y=x2增长的速度也是越来越快,但越来越不如y=2x增长得快.函数y=2x和y=x2的图象有两个交点(2,4)和(4,16).在x∈(2,4)时,log2x<2x
4时,log2x1),y=logax (a>1)和y=xn (n>0)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上.
随着x的增大,y=ax (a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn (n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.
因此,总会存在一个x0,使当x>x0时,就有logax2,因而y=ex增长速度最快.
答案 D
2.几类常见的函数模型
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b (k、b为常数,k≠0);
(2)反比例函数模型:f(x)=+b (k、b为常数,k≠0);
(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c (a、b、c为常数,a≠0);
注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.
(4)指数函数模型:f(x)=abx+c (a、b、c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数函数模型:f(x)=mlogax+n (m、n、a为常数,a>0,a≠1);
说明:随着新课标的实施,指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用,在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色.
(6)幂函数模型:f(x)=axn+b(a、b、n为常数,a≠0,n≠1);
(7)分段函数模型:这个模型实际是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.
3.通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下:
(1)收集数据;
(2)根据收集到的数据在平面直角坐标系内描点;
(3)根据点的分布特征,选择一个能刻画其特征的函数模型;
(4)选择其中的几组数据求出函数模型;
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(5)将已知数据代入所求出的函数模型进行检验,看其是否符合实际,若不符合实际,则重复步骤(3)(4)(5);若符合实际,则进入下一步;
(6)用求得的函数模型去解决实际问题.
题型一 一次函数模型的应用
一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元,卖出的价格是每份0.30元,卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,但每天从报社买进报纸的份数都相同,问应该从报社买进多少份才能使每月所获得的利润最大?并计算每月最多能获得的利润.
解 本题所给条件较多,数量关系比较复杂,可以列表分析.
设每天从报社买进x (250≤x≤400,x∈N)份报纸.
数量(份)
价格(元)
金额(元)
买进
30x
0.20
6x
卖出
20x+10×250
0.30
6x+750
退回
10(x-250)
0.08
0.8x-200
设每天从报社买进x份报纸时,每月所获利润为y元,则
y=[(6x+750)+(0.8x-200)]-6x
=0.8x+550 (250≤x≤400,x∈N).
∵y=0.8x+550在[250,400]上是增函数,
∴当x=400时,y取得最大值870.
即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为870元.
点评 一次函数模型层次性不高,求解也较为容易,一般我们可以用“问什么,设什么,列什么”这一方法来处理.
题型二 二次函数模型的应用
渔场中鱼群的最大养殖量为m (m>0),为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为k (k>0).
(1)写出y关于x的函数关系式,并指出该函数的定义域;
(2)求鱼群年增长量的最大值;
(3)当鱼群年增长量达到最大时,求k的取值范围.
解 (1)根据题意知空闲率是,
得y=kx· (00,∴0120,∴第15天日交易额最大,最大值为125万元.
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点评 分段函数及其应用问题是当前最热的函数类型,这是由分段函数的特点决定的.由于分段函数兼具多种初等函数的性质,因此可以将多种函数的性质考查到,这在要求能力的高考命题中无疑是重要的命题素材.
题型四 函数建模
个体经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获利润列成下表:
投资A种商品金额
(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.40
投资B种商品金额
(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品,但不知投入A、B两种商品各多少才最合算.请你帮助制定一个资金投入方案,使得该经营者能获得最大利润,并按你的方案求出该经营者下个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).
解 以投资额为横坐标,纯利润为纵坐标,在直角坐标系中描点如图.据此,可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.
y=-a(x-4)2+2 (a>0)①
y=bx②
把x=1,y=0.65代入①式,得
0.65=-a(1-4)2+2,解得a=0.15.
故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系式可近似地用y=-0.15(x-4)2+2表示;
把x=4,y=1代入②式,得b=0.25,
故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系式可近似地用y=0.25x表示.
设下个月投入A、B两种商品的资金分别是xA万元、xB万元,总利润为W万元,
得,
即W=-2+×2+2.6.
∴当xA=≈3.2时,W取得最大值,
约为4.1万元,此时,xB=≈8.8.
点评 本题设计新颖,要求能对数据进行处理,在此基础上选用恰当的模型进行拟合,并对所得到的模型进行比较,数据分析处理是在信息社会中所必须具备的一项重要的能力.
某公司在甲,乙两地销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为L1=5.06x-0.15x2,
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L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( )
A.45.606 B.45.6
C.46.8 D.46.806
错解 设甲地销售x辆,则乙地销售15-x辆.
总利润L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)
=-0.15x2+3.06x+30
=-0.152+45.606
∴当x=10.2时,获得最大利润45.606万元.
错因分析 上面解答中x=10.2不为整数,在实际问题中是不可能的,因此x应根据抛物线取与x=10.2接近的整数才符合题意.
正解 设甲地销售x辆,则乙地销售(15-x)辆,
则总利润L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)
=-0.15x2+3.06x+30
=-0.15(x-10.2)2+45.606.
根据二次函数图象和x∈N*,
∴当x=10时,获得最大利润
L=-0.15×102+3.06×10+30=45.6万元.
正确答案 B
本节考查的重点是用函数来解决实际问题,解答这类问题的关键是学会阅读、理清线索、仔细观察图表,并熟悉各种函数模型,能结合所学数学知识、思想方法解决问题.
(2007·湖北)
为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=()(a为常数)如图所示.根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 ;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到教室.
解析 (1)设y=kt (k≠0),由图象知y=kt过点(0.1,1),则1=k×0.1,k=10,∴y=10t (0≤t≤0.1);
由y=过点(0.1,1)得1=,a=0.1,
∴y= (t>0.1).
(2)由≤0.25=,得t≥0.6,
故至少需经过0.6小时.
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答案 (1) y= (2)0.6
1.某人骑自行车沿直线匀速行驶,先前进了a千米,休息了一段时间,又沿原路返回b千米(b1 000,得x>,
故至少要售出234张门票,能使游乐场每天的盈利额超过1 000元.
7.
自2007年以来,猪肉价格起伏不定,为了抑制猪肉价格上涨的势头,促进生猪市场的稳定,某地方政府决定对生猪养殖户在修建猪舍时给予补助.某养殖户拟建一座平面图(如图所示)是矩形且面积为200平方米的猪舍,由于地形限制,猪舍的宽x不少于5米,不多于a米,如果该养殖户修建猪舍的地基平均每平方米可得到补助5元,房顶(房顶与地面形状相同)每平方米可得到补助8元,猪舍外面的四周墙壁每米可得到补助10元,中间四条隔墙每米可得到补助5元.
问:当猪舍的宽x定为多少时,该养殖户能从政府得到最多的补助,最多补助是多少?
解 设该养殖户能从政府手中得到的补助为y元,猪舍的长为米,
∴y=200×5+200×8+×10+4x×5
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=40+2 600(5≤x≤a).
易得函数f(x)=x+在[5,10)上单调递减,在[10,+∞)上单调递增,
∴当5≤a<10时,ymax=3 600,此时x=5;
当a≥10时,ymax=40+2 600,此时x=a.
又∵当10≤a≤20时,a+≤5+=25,
∴若5≤a≤20,猪舍的宽定为5米,该养殖户能从政府得到最多的补助是3 600元;
若a>20,猪舍的宽定为a米,该养殖户能从政府得到最多的补助是元.
3.2.1 几类不同增长的函数模型
学习目标
1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异性.
2.能够借助信息技术,利用函数图象及数据表格,对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较,初步体会它们的增长差异性;收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等),了解函数模型的广泛应用.
自学导引
1.三种函数模型的性质
y=ax(a>1)
y=logax(a>1)
y=xn(n>0)
在(0,+∞)上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随n值而不同
2.指数函数y=ax(a>1),对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)增长速度的比较
(1)对于指数函数y=ax和幂函数y=xn(n>0)在区间(0,+∞)上,无论n比a大多少,尽管在x的一定范围内,ax会小于xn,但由于y=ax的增长快于y=xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有ax>xn.
(2)对于对数函数y=logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0),
在区间(0,+∞)上,尽管在x的一定范围内,logax可能会大于xn,但由于y=logax的增长慢于y=xn的增长,因此总存在一个x0,当x>x0时,就会有logaxy2,即如意卡便宜;
当x>96时,y134时,y1>y2,优惠办法(2)省钱.
二、指数函数模型
例2 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质含量减少,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?(已知:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)
分析 每次过滤杂质含量降为原来的,过滤n次后杂质含量为·n,结合按市场要求杂质含量不能超过0.1%,即可建立数学模型.
解 依题意,得·n≤,即n≤.
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则n(lg2-lg3)≤-(1+lg2),故n≥≈7.4,考虑到n∈N,即至少要过滤8次才能达到市场要求.
点评 一般地,形如y=ax (a>0且a≠1)的函数叫做指数函数,而在生产、生活实际中,以函数y=b·ax+k作为模型的应用问题很常见,称这类函数为指数函数模型.
以指数函数、对数函数为模型的实际应用问题通常与增长率、衰减率有关,在现实生活和科学技术领域,诸如人口普查中的人口增长、细胞分裂次数的推算、考古中根据碳-14的衰减推算年代以及药物在人体内残留时间的推算等问题都属于这一模型.
变式迁移2 2004年全国人口普查时,我国人口数为13亿,如果从2004年开始按1%的人口年增长率来控制人口增长,那么,大约经过多少年我国人口数达到18亿?
解 设大约经过n年,我国人口由2004年的13亿增加到18亿,
则13×(1+1%)n=18.∴1.01n=,
即n=log1.01=
=≈
=32.883 7≈33(年)
即从2004年开始,大约经过33年,我国人口总数可达18亿.
三、对数函数模型的应用
例3 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬,研究燕子的科学家发现,两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v=5log2,单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量.
(1)计算:燕子静止时的耗氧量是多少个单位?
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时,它的飞行速度是多少?
分析 由题目可获取以下主要信息:
①已知飞行速度是耗氧量的函数;
②第(1)问知v,求Q;第(2)问知Q,求v.
解答本题的关键是给变量赋值.
解 (1)由题知,当燕子静止时,它的速度v=0,代入题给公式可得:0=5log2,解得Q=10.
即燕子静止时的耗氧量是10个单位.
(2)将耗氧量Q=80代入题给公式得:
v=5log2=5log28=15 (m/s).
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时,
它的飞行速度为15 m/s.
点评 直接以对数函数为模型的应用问题不是很多.此类问题一般是先给出对数函数模型,利用对数运算性质求解.
变式迁移3 在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v (m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m (kg)的关系v=2 000ln.当燃料质量是火箭质量的多少倍时,火箭的最大速度可达12 km/s?
解 由12 000=2 000ln,即6=ln,
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1+=e6,利用计算器算得≈402.
即当燃料质量约是火箭质量的402倍时,火箭的最大速度可达12 km/s.
1.根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型.同时,要注意利用函数图象的直观性,来确定适合题意的函数模型.
2.常见的函数模型及增长特点
(1)直线y=kx+b (k>0)模型,其增长特点是直线上升;
(2)对数y=logax (a>1)模型,其增长缓慢;
(3)指数y=ax (a>1)模型,其增长迅速.
一、选择题
1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为( )
答案 D
2.能使不等式log2 x400时,f(x)=60 000-100x是减函数,
f(x)<60 000-100×400<25 000.
∴当x=300时,f(x)的最大值为25 000.
∴每月生产300台仪器时,利润最大,最大利润为25 000元.
点评 在函数应用题中,已知的等量关系是解题的依据,像此题中的利润=总收益-总成本,又如“销售额=销售价格×销售数量”等.像几何中的面积、体积公式,物理学中的一些公式等,也常用来构造函数关系.
变式迁移1 通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间.讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大,表示接受的能力越强), x表示提出和讲授概念的时间(单位:min),可有以下的公式:
f(x)=
(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间?
(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较,学生的接受能力何时强一些?
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解 (1)当00.
当00,g(x)-h(x)>0;
g(x)>h(x);
当87≤x<216时,432-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)
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