- 2021-06-24 发布 |
- 37.5 KB |
- 14页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
【数学】2019届一轮复习北师大版(文科数学)第六章第2讲 等差数列及其前n项和学案
第2讲 等差数列及其前n项和 1.等差数列的有关概念 (1)定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数). (2)等差中项 数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项. 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1+(n-1)d. (2)前n项和公式:Sn=na1+d=. 3.等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和. (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an. (3)若{an}的公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. (4)若{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列. (5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列. 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( ) (2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( ) (3)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.( ) (4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (教材习题改编)等差数列11,8,5,…,中-49是它的第几项( ) A.第19项 B.第20项 C.第21项 D.第22项 解析:选C.a1=11,d=8-11=-3, 所以an=11+(n-1)×(-3)=-3n+14. 由-3n+14=-49,得n=21.故选C. (教材习题改编)已知p:数列{an}是等差数列,q:数列{an}的通项公式an=k1n+k2(k1,k2均为常数),则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C.若{an}是等差数列,不妨设公差为d. 所以an=a1+(n-1)d=dn+a1-d, 令k1=d,k2=a1-d,则an=k1n+k2, 若数列{an}的通项公式an=k1n+k2(k1,k2为常数,n∈N*), 则当n≥2且n∈N*时,an-1=k1(n-1)+k2, 所以an-an-1=k1(常数)(n≥2且n∈N*), 所以{an}为等差数列, 所以p是q的充要条件. 在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.6 解析:选B.由等差数列的性质,a2+a6=2a4,所以a6=2a4-a2=4-4=0. (教材习题改编)小于20的所有正奇数的和为( ) A.64 B.81 C.100 D.121 解析:选C.设小于20的正奇数构成的数列为{an},则{an}是以a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=2n-1.由an≤19,得n≤10,即共有10个数.所以S10==100,故选C. (教材习题改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S2=S6,a4=1,则a5=__________. 解析:由题意知 解得所以a5=a4+d=1+(-2)=-1. 答案:-1 等差数列基本量的运算 [典例引领] (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=( ) A.100 B.99 C.98 D.97 (3)(2018·合肥第二次质量检测)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,S6=3,则S10=( ) A. B.0 C.-10 D.-15 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d, 所以所以d=4,故选C. (2)设等差数列{an}的公差为d,因为{an}为等差数列,且S9=9a5=27,所以a5=3.又a10=8,解得5d=a10-a5=5,所以d=1,所以a100=a5+95d=98,选C. (3)由题意,得,解得,所以S10=10a1+45d=-15,故选D. 【答案】 (1)C (2)C (3)D 等差数列运算问题的通性通法 (1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. (2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题. [通关练习] 1.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=( ) A. B. C.10 D.12 解析:选B.因为公差为1, 所以S8=8a1+×1=8a1+28,S4=4a1+6. 因为 S8=4S4,所以8a1+28=4(4a1+6),解得a1=, 所以a10=a1+9d=+9=,故选B. 2.(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2+S3=4,a3+S5=12,则a4+S7的值是( ) A.20 B.36 C.24 D.72 解析:选C.由a2+S3=4及a3+S5=12 得,解得, 所以a4+S7=8a1+24d=24.故选C. 等差数列的判断与证明 [典例引领] (2018·贵州适应性考试)已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n. (1)求a2,a3; (2)证明数列{}是等差数列,并求{an}的通项公式. 【解】 (1)由已知,得a2-2a1=4, 则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6. 由2a3-3a2=12, 得2a3=12+3a2,所以a3=15. (2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1), 得=2,即-=2, 所以数列是首项=1,公差d=2的等差数列. 则=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n. 等差数列的四个判定方法 (1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数. (2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1= an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列. (3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列{an}为等差数列. (4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列{an}为等差数列. [通关练习] 已知数列{an }的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数. (1)证明:an+2-an=λ; (2)是否存在λ,使得{an }为等差数列?并说明理由. 解:(1)证明:由题设知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1, 由于an+1≠0, 所以an+2-an=λ. (2)由题设知a1=1,a1a2=λS1-1, 可得a2=λ-1. 由(1)知,a3=λ+1. 令2a2=a1+a3, 解得λ=4. 故an+2-an=4, 由此可得{a2n-1}是首项为1, 公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3; {a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1. 所以an=2n-1,an+1-an=2, 因此存在λ=4, 使得数列{an}为等差数列. 等差数列性质的应用(高频考点) 等差数列的性质是高考的重要内容,多与等差数列基本量的计算综合考查,既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中.主要命题角度有: (1)等差数列项的性质的应用; (2)等差数列前n项和性质的应用. [典例引领] 角度一 等差数列项的性质的应用 (1)(2018·湖南五市十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3, a4+a5=23,则S8=( ) A.72 B.88 C.92 D.98 (2)已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=________. 【解析】 (1)法一:由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,数列{an}是公差为3的等差数列,又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,所以a1=1,S8=8a1+d=92. 法二:由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,数列{an}是公差为3的等差数列,S8===92. (2)因为{an},{bn}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21. 【答案】 (1)C (2)21 角度二 等差数列前n项和性质的应用 (1)在等差数列{an}中,a1=-2 018,其前n项和为Sn,若-=2,则S2 018的值等于( ) A.-2 018 B.-2 016 C.-2 019 D.-2 017 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=-12,S9=45,则S12=________. 【解析】 (1)由题意知,数列为等差数列,其公差为1,所以=+(2 018-1)×1=-2 018+2 017=-1. 所以S2 018=-2 018. (2)因为{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),即2(S6+12)=-12+(45-S6),解得S6=3.又2(S9-S6)=(S6-S3)+(S12-S9),即2×(45-3)=(3+12)+(S12-45),解得S12=114. 【答案】 (1)A (2)114 等差数列的性质 (1)项的性质:在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d⇔=d(m≠n),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差. (2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则 ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1); ②S2n-1=(2n-1)an. [通关练习] 1.(2018·西安八校联考)等差数列{an}为递增数列,若a+a=101,a5+a6=11,则数列{an}的公差d等于( ) A.1 B.2 C.9 D.10 解析:选A.依题意得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a10=101,所以a1a10=10,又a1+a10=a5+a6=11,a1查看更多