【数学】2019届一轮复习北师大版(文科数学)第六章第2讲 等差数列及其前n项和学案

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

【数学】2019届一轮复习北师大版(文科数学)第六章第2讲 等差数列及其前n项和学案

第2讲 等差数列及其前n项和 ‎1.等差数列的有关概念 ‎(1)定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).‎ ‎(2)等差中项 数列a,A,b成等差数列的充要条件是A=,其中A叫做a,b的等差中项.‎ ‎2.等差数列的有关公式 ‎(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.‎ ‎(2)前n项和公式:Sn=na1+d=.‎ ‎3.等差数列的性质 已知数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和.‎ ‎(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).‎ ‎(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.‎ ‎(3)若{an}的公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d.‎ ‎(4)若{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.‎ ‎(5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…构成等差数列.‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(  )‎ ‎(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(  )‎ ‎(3)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.(  )‎ ‎(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(  )‎ 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)×‎ ‎ (教材习题改编)等差数列11,8,5,…,中-49是它的第几项(  )‎ A.第19项         B.第20项 C.第21项 D.第22项 解析:选C.a1=11,d=8-11=-3,‎ 所以an=11+(n-1)×(-3)=-3n+14.‎ 由-3n+14=-49,得n=21.故选C.‎ ‎ (教材习题改编)已知p:数列{an}是等差数列,q:数列{an}的通项公式an=k1n+k2(k1,k2均为常数),则p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C.若{an}是等差数列,不妨设公差为d.‎ 所以an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,‎ 令k1=d,k2=a1-d,则an=k1n+k2,‎ 若数列{an}的通项公式an=k1n+k2(k1,k2为常数,n∈N*),‎ 则当n≥2且n∈N*时,an-1=k1(n-1)+k2,‎ 所以an-an-1=k1(常数)(n≥2且n∈N*),‎ 所以{an}为等差数列,‎ 所以p是q的充要条件.‎ ‎ 在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于(  )‎ A.-1 B.0‎ C.1 D.6‎ 解析:选B.由等差数列的性质,a2+a6=2a4,所以a6=2a4-a2=4-4=0.‎ ‎ (教材习题改编)小于20的所有正奇数的和为(  )‎ A.64 B.81‎ C.100 D.121‎ 解析:选C.设小于20的正奇数构成的数列为{an},则{an}是以a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=2n-1.由an≤19,得n≤10,即共有10个数.所以S10==100,故选C.‎ ‎ (教材习题改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S2=S6,a4=1,则a5=__________. ‎ 解析:由题意知 解得所以a5=a4+d=1+(-2)=-1.‎ 答案:-1‎ 等差数列基本量的运算 ‎[典例引领]‎ ‎ (1)(2017·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(  )‎ A.1           B.2‎ C.4 D.8‎ ‎(2)(2016·高考全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(  )‎ A.100 B.99‎ C.98 D.97‎ ‎(3)(2018·合肥第二次质量检测)等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,S6=3,则S10=(  )‎ A. B.0‎ C.-10 D.-15‎ ‎【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d,‎ 所以所以d=4,故选C.‎ ‎(2)设等差数列{an}的公差为d,因为{an}为等差数列,且S9=9a5=27,所以a5=3.又a10=8,解得5d=a10-a5=5,所以d=1,所以a100=a5+95d=98,选C.‎ ‎(3)由题意,得,解得,所以S10=10a1+45d=-15,故选D.‎ ‎【答案】 (1)C (2)C (3)D 等差数列运算问题的通性通法 ‎(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.‎ ‎(2)等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=(  )‎ A.           B. C.10 D.12‎ 解析:选B.因为公差为1,‎ 所以S8=8a1+×1=8a1+28,S4=4a1+6.‎ 因为 S8=4S4,所以8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,‎ 所以a10=a1+9d=+9=,故选B.‎ ‎2.(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2+S3=4,a3+S5=12,则a4+S7的值是(  )‎ A.20 B.36‎ C.24 D.72‎ 解析:选C.由a2+S3=4及a3+S5=12‎ 得,解得,‎ 所以a4+S7=8a1+24d=24.故选C.‎ 等差数列的判断与证明 ‎[典例引领]‎ ‎ (2018·贵州适应性考试)已知数列{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.‎ ‎(1)求a2,a3;‎ ‎(2)证明数列{}是等差数列,并求{an}的通项公式.‎ ‎【解】 (1)由已知,得a2-2a1=4,‎ 则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.‎ 由2a3-3a2=12,‎ 得2a3=12+3a2,所以a3=15.‎ ‎(2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),‎ 得=2,即-=2,‎ 所以数列是首项=1,公差d=2的等差数列.‎ 则=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.‎ 等差数列的四个判定方法 ‎(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.‎ ‎(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2后,可递推得出an+2-an+1=‎ an+1-an=an-an-1=an-1-an-2=…=a2-a1,根据定义得出数列{an}为等差数列.‎ ‎(3)通项公式法:得出an=pn+q后,得an+1-an=p对任意正整数n恒成立,根据定义判定数列{an}为等差数列.‎ ‎(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,根据Sn,an的关系,得出an,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.  ‎ ‎[通关练习]‎ 已知数列{an }的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.‎ ‎(1)证明:an+2-an=λ;‎ ‎(2)是否存在λ,使得{an }为等差数列?并说明理由.‎ 解:(1)证明:由题设知anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1,‎ 由于an+1≠0,‎ 所以an+2-an=λ.‎ ‎(2)由题设知a1=1,a1a2=λS1-1,‎ 可得a2=λ-1.‎ 由(1)知,a3=λ+1.‎ 令2a2=a1+a3,‎ 解得λ=4.‎ 故an+2-an=4,‎ 由此可得{a2n-1}是首项为1,‎ 公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;‎ ‎{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.‎ 所以an=2n-1,an+1-an=2,‎ 因此存在λ=4,‎ 使得数列{an}为等差数列.‎ 等差数列性质的应用(高频考点)‎ 等差数列的性质是高考的重要内容,多与等差数列基本量的计算综合考查,既有选择题、填空题,也有解答题,难度适中.主要命题角度有:‎ ‎(1)等差数列项的性质的应用;‎ ‎(2)等差数列前n项和性质的应用.‎ ‎[典例引领]‎ ‎ 角度一 等差数列项的性质的应用 ‎ (1)(2018·湖南五市十校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,‎ a4+a5=23,则S8=(  )‎ A.72         B.88‎ C.92 D.98‎ ‎(2)已知{an},{bn}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=________.‎ ‎【解析】 (1)法一:由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,数列{an}是公差为3的等差数列,又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,所以a1=1,S8=8a1+d=92.‎ 法二:由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,数列{an}是公差为3的等差数列,S8===92.‎ ‎(2)因为{an},{bn}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即2×15=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.‎ ‎【答案】 (1)C (2)21‎ ‎ 角度二 等差数列前n项和性质的应用 ‎ (1)在等差数列{an}中,a1=-2 018,其前n项和为Sn,若-=2,则S2 018的值等于(  )‎ A.-2 018 B.-2 016‎ C.-2 019 D.-2 017‎ ‎(2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=-12,S9=45,则S12=________.‎ ‎【解析】 (1)由题意知,数列为等差数列,其公差为1,所以=+(2 018-1)×1=-2 018+2 017=-1.‎ 所以S2 018=-2 018.‎ ‎(2)因为{an}是等差数列,所以S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,所以2(S6-S3)=S3+(S9-S6),即2(S6+12)=-12+(45-S6),解得S6=3.又2(S9-S6)=(S6-S3)+(S12-S9),即2×(45-3)=(3+12)+(S12-45),解得S12=114.‎ ‎【答案】 (1)A (2)114‎ 等差数列的性质 ‎(1)项的性质:在等差数列{an}中,am-an=(m-n)d⇔=d(m≠n),其几何意义是点(n,an),(m,am)所在直线的斜率等于等差数列的公差.‎ ‎(2)和的性质:在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则 ‎①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);‎ ‎②S2n-1=(2n-1)an.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.(2018·西安八校联考)等差数列{an}为递增数列,若a+a=101,a5+a6=11,则数列{an}的公差d等于(  )‎ A.1 B.2‎ C.9 D.10‎ 解析:选A.依题意得(a1+a10)2-2a1a10=(a5+a6)2-2a1a10=121-2a1a10=101,所以a1a10=10,又a1+a10=a5+a6=11,a10,a8<0,故n=7时Sn最大.‎ 法二:由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时Sn最大.‎ 法三:根据a1=13,S3=S11,知这个数列的公差不等于零,且这个数列的和是先递增后递减.根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数,以及二次函数图象的对称性,可得只有当n==7时,Sn取得最大值.‎ ‎(2)由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0得n≥5,所以n≤5时,an≤0,当n>5时,an>0,所以|a1|+|a2|+…+|a15|=-(a1+a2‎ ‎+a3+a4)+(a5+a6+…+a15)=20+100=120.‎ ‎【答案】 (1)C (2)120‎ 求等差数列前n项和Sn及最值的2种方法 ‎(1)函数法:利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.‎ ‎(2)邻项变号法 ‎①当a1>0,d<0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;‎ ‎②当a1<0,d>0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a1>0且=,则当Sn取最大值时,n的值为(  )‎ A.9         B.10‎ C.11 D.12‎ 解析:选B.由=,得S11=S9,即a10+a11=0,根据首项a1>0可推知这个数列递减,从而a10>0,a11<0,故n=10时,Sn最大.‎ ‎2.在等差数列{an}中,S10=100,S100=10,则S110=________.‎ 解析:因为数列{an}为等差数列,‎ 所以S10=5(a1+a10)=100.‎ S100=50(a1+a100)=10.‎ 所以a100-a10=90d=-19.8,即d=-0.22.‎ 又a1+a110=a1+a100+10d=-2,‎ 所以S110=55(a1+a110)=-2×55=-110.‎ 答案:-110‎ ‎ 等差数列的判断方法 ‎(1)定义法;‎ ‎(2)等差中项法;‎ ‎(3)利用通项公式判断;‎ ‎(4)利用前n项和公式判断.‎ ‎ 等差数列基本量的计算 ‎(1)在解有关等差数列的基本量问题时,可通过列关于a1,d的方程组进行求解.‎ ‎(2)若奇数个数成等差数列,可设中间三项为a-d,a,a+d.‎ 若偶数个数成等差数列,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.‎ ‎(3)灵活使用等差数列的性质,可以大大减少运算量.‎ ‎ 解决等差数列应注意以下两点 ‎(1)用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”,如证明了an+1-an=d(n≥2)时,应注意验证a2-a1是否等于d,若a2-a1≠d,则数列{an}不为等差数列.‎ ‎(2)利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时,一定要注意自变量n是正整数.    ‎ ‎1.(2018·洛阳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a7+a12=24,则S13=(  )‎ A.52          B.78‎ C.104 D.208‎ 解析:选C.依题意得3a7=24,a7=8,S13==13a7=104,选C.‎ ‎2.若等差数列{an}的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=(  )‎ A.12 B.13‎ C.14 D.15‎ 解析:选B.设{an}的公差为d,由S5=⇒25=⇒a4=7,所以7=3+2d⇒d=2,所以a7=a4+3d=7+3×2=13.‎ ‎3.在单调递增的等差数列{an}中,若a3=1,a2a4=,则a1=(  )‎ A.-1 B.0‎ C. D. 解析:选B.由题知,a2+a4=2a3=2,又因为a2a4=,数列{an}单调递增,所以a2=,a4=.所以公差d==.所以a1=a2-d=0.‎ ‎4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,则“a6+a7>0”是“S9≥S3”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充要也不必要条件 解析:选A.法一:将它们等价转化为a1和d的关系式.a6+a7>0⇒a1+5d+a1+6d>0⇒2a1+11d>0;S9≥S3⇒9a1+≥3a1+⇒2a1+11d≥0.‎ 法二:a6+a7>0⇒a1+a12>0,‎ S9≥S3⇒a4+a5+…+a9≥0⇒3(a1+a12)≥0.‎ ‎5.在等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(  )‎ A.S15 B.S16‎ C.S15或S16 D.S17‎ 解析:选A.设{an}的公差为d,‎ 因为a1=29,S10=S20,‎ 所以10a1+d=20a1+d,解得d=-2,‎ 所以Sn=29n+×(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.‎ 所以当n=15时,Sn取得最大值.‎ ‎6.在等差数列{an}中,a3+a9=27-a6,Sn表示数列{an}的前n项和,则S11=________.‎ 解析:因为a3+a9=27-a6,2a6=a3+a9,所以3a6=27,所以a6=9,所以S11=(a1+a11)=11a6=99.‎ 答案:99‎ ‎7.在等差数列{an}中,公差d=,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=________.‎ 解析:因为S100=(a1+a100)=45,所以a1+a100=,a1+a99=a1+a100-d=,则a1+a3+a5+…+a99=(a1+a99)=×=10.‎ 答案:10‎ ‎8.设等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则正整数m的值为________.‎ 解析:因为等差数列{an}的前n项和为Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,‎ 所以am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,数列的公差d=1,am+am+1=Sm+1-Sm-1=5,即2a1+2m-1=5,‎ 所以a1=3-m.‎ 由Sm=(3-m)m+×1=0,‎ 解得正整数m的值为5.‎ 答案:5‎ ‎9.(2016·高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.‎ 解:(1)设数列{an}的公差为d,由题意有 ‎2a1+5d=4,a1+5d=3.‎ 解得a1=1,d=.‎ 所以{an}的通项公式为an=.‎ ‎(2)由(1)知,bn=[].‎ 当n=1,2,3时,1≤<2,bn=1;‎ 当n=4,5时,2<<3,bn=2;‎ 当n=6,7,8时,3≤<4,bn=3;‎ 当n=9,10时,4<<5,bn=4.‎ 所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.‎ ‎10.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=a+n-4(n∈N*).‎ ‎(1)求证:数列{an}为等差数列;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ 解:(1)证明:当n=1时,有2a1=a+1-4,‎ 即a-2a1-3=0,‎ 解得a1=3(a1=-1舍去).‎ 当n≥2时,有2Sn-1=a+n-5,‎ 又2Sn=a+n-4,‎ 两式相减得2an=a-a+1,‎ 即a-2an+1=a,‎ 也即(an-1)2=a,‎ 因此an-1=an-1或an-1=-an-1.‎ 若an-1=-an-1,则an+an-1=1.‎ 而a1=3,‎ 所以a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,所以an-1=an-1,‎ 即an-an-1=1,‎ 因此数列{an}是首项为3,公差为1的等差数列.‎ ‎(2)由(1)知a1=3,d=1,‎ 所以数列{an}的通项公式an=3+(n-1)×1=n+2,即an=n+2.‎ ‎1.(2018·张掖模拟)等差数列{an}中,是一个与n无关的常数,则该常数的可能值的集合为(  )‎ A.{1} B. C. D. 解析:选B.==,若a1=d,则=;若a1≠0,d=0,则=1.因为a1=d≠0,所以≠0,所以该常数的可能值的集合为.‎ ‎2.设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a4<0,a5>|a4|,则使Sn>0成立的最小正整数n为(  )‎ A.6 B.7‎ C.8 D.9‎ 解析:选C.在等差数列{an}中 ,因为a4<0,a5>|a4|,所以a5>0,a5+a4>0,S7===7a4<0,S8===4(a4+a5)>0.‎ 所以使Sn>0成立的最小正整数n为8,故选C.‎ ‎3.已知在等差数列{an}中,Sn=33,S2n=44,则这个数列的前3n项和S3n为________.‎ 解析:由题意知,,,三点在同一条直线上,从而有=,解得S3n=33.所以该数列的前3n项的和为33.‎ 答案:33‎ ‎4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S17=306,则a7-=________.‎ 解析:设等差数列{an}的公差为d,由前n项和公式可得S17=17a1+d=306,所以a1+8d=18.所以a7-=a1+6d-==(a1+8d)=×18=12.‎ 答案:12‎ ‎5.已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和Sn.‎ 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,‎ 则a2=a1+d,a3=a1+2d.‎ 由题意得 解得或 所以由等差数列通项公式可得an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.‎ 故an=-3n+5或an=3n-7.‎ ‎(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;‎ 当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.‎ 故|an|=|3n-7|= 记数列{|an|}的前n项和为Sn.‎ 当n=1时,S1=|a1|=4;‎ 当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;‎ 当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|‎ ‎=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)‎ ‎=5+=n2-n+10.‎ 当n=2时,满足此式,当n=1时,不满足此式.‎ 综上,Sn= ‎6.(2018·洛阳第一次统一考试)已知数列{an}的前n项和为Sn,an≠0,a1=1,且2anan+1=4Sn-3(n∈N*).‎ ‎(1)求a2的值并证明:an+2-an=2;‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式.‎ 解:(1)令n=1得2a1a2=4S1-3,又a1=1,所以a2=.‎ ‎2anan+1=4Sn-3,①‎ ‎2an+1an+2=4Sn+1-3②‎ ‎②-①得,2an+1(an+2-an)=4an+1.‎ 因为an+1≠0,所以an+2-an=2.‎ ‎(2)由(1)可知:‎ 数列a1,a3,a5,…,a2k-1,…为等差数列,公差为2,首项为1,所以a2k-1=1+2(k-1)=2k-1,即n为奇数时,an=n.‎ 数列a2,a4,a6,…,a2k,…为等差数列,公差为2,首项为,所以a2k=+2(k-1)=2k-,即n为偶数时,an=n-.综上所述,an=.‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档