2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海春季卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（上海春季卷）

‎2013年上海市普通高等学校春季招生考试 ‎ ‎ 数 学 试 卷 一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。‎ ‎1．函数的定义域是 ‎ ‎2．方程的解是 ‎ ‎3．抛物线的准线方程是 ‎ ‎4．函数的最小正周期是 ‎ ‎5．已知向量，。若，则实数 ‎ ‎6．函数的最大值是 ‎ ‎7．复数（是虚数单位）的模是 ‎ ‎8．在中，角所对边长分别为，若，则 ‎ ‎9．在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为 ‎ D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ D C A B ‎10．从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为 （结果用数值表示）。‎ ‎11．若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前项和 。‎ ‎12．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 ‎ 二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，选对得3分，否则一律得0分。‎ 10‎ ‎13．展开式为的行列式是（ ）‎ ‎ （A） (B) (C) (D) ‎ ‎14．设为函数的反函数，下列结论正确的是（ ）‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎15．直线的一个方向向量是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎16．函数的大致图像是（ ）‎ ‎0‎ x y ‎0‎ x y B A ‎0‎ x y C ‎0‎ x y D ‎17．如果，那么下列不等式成立的是（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎18．若复数满足，则在复数平面上对应的点（ ） ‎ ‎(A) 关于轴对称 (B)关于轴对称 ‎(C) 关于原点对称 (D)关于直线对称 ‎19． 的二项展开式中的一项是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎20．既是偶函数又在区间上单调递减的函数是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎21．若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎22．设全集，下列集合运算结果为的是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 10‎ ‎23．已知，“”是“函数的图像恒在轴上方”的（ ）‎ ‎（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件 ‎ ‎（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 ‎24．已知为平面内两定点，过该平面内动点作直线的垂线，垂足为.若，其中为常数，则动点的轨迹不可能是（ ）‎ ‎（A）圆 （B） 椭圆 （C） 抛物线 （D）双曲线 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。‎ ‎25．（本题满分7分）‎ 如图，在正三棱锥中，，异面直线与所成角的大小为，求该三棱柱的体积。‎ B1‎ A1‎ C1‎ A C B ‎26．（本题满分7分）‎ 如图，某校有一块形如直角三角形的空地，其中为直角，长米，长米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积。‎ A B C ‎27．（本题满分8分）‎ 已知数列的前项和为，数列满足，求。 ‎ 10‎ ‎28．（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分9分。‎ ‎ 已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的两个端点分别为 ‎（1）若为等边三角形，求椭圆的方程;‎ ‎（2）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程。‎ ‎[解]（1）‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ ‎29．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分。‎ 已知抛物线 的焦点为。‎ ‎（1）点满足。当点在抛物线上运动时，求动点的轨迹方程；‎ ‎（2）在轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上？如果存在，求所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由。‎ ‎[解]（1）‎ ‎ ‎ ‎ （2）‎ 10‎ ‎30．（本题满分13分）本题共有2个小题，第一小题满分4分，第二小题满分9分。‎ ‎ 在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且 是首项为1、公比为2的等比数列，记，。‎ ‎（1）若，求点的坐标；‎ ‎（2）若点的坐标为，求的最大值及相应的值。‎ P2‎ ‎0‎ x y A P1‎ P3‎ P4‎ ‎[解]（1）‎ ‎ （2）‎ ‎31．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分。‎ 已知真命题：“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”。‎ ‎（1）将函数的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标；‎ ‎（2）求函数 图像对称中心的坐标；‎ ‎（3）已知命题：“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数 是偶函数”。判断该命题的真假。如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）。‎ 10‎ ‎ 2013年上海市普通高等学校春季招生考试 ‎ 数 学 试 卷 ‎ 参考答案 一．（第1至12题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。‎ ‎1． 2．3 3． 4． 5． 6． 5‎ ‎7． 8． 7 9． 10． 11． 12． 4836 ‎ 二．（第13至24题）每一题正确的给3分，否则一律得0分。‎ ‎13．B ‎14．B ‎15．D ‎16．A ‎17．D ‎18．A ‎19．C ‎20．B ‎21．C ‎22．A ‎23．D ‎24．C 三．（第25至31题）‎ ‎25．[解]因为 .‎ 所以为异面直线与.所成的角，即=。‎ 在Rt中，,‎ 从而,‎ 因此该三棱柱的体积为.‎ ‎26．[解]如图，设矩形为, 长为米，其中，‎ A B C F P E 10‎ 健身房占地面积为平方米。因为∽，‎ 以，,求得，‎ 从而，‎ 当且仅当时，等号成立。‎ 答：该健身房的最大占地面积为500平方米。‎ ‎27．[解]当时，。‎ 且，所以。‎ 因为，所以数列是首项为1、公比为的无穷等比数列。‎ 故。‎ ‎28．[解]（1）设椭圆的方程为。‎ 根据题意知， 解得，‎ 故椭圆的方程为。‎ ‎（2）容易求得椭圆的方程为。‎ 当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为。‎ 由 得。‎ 设，则 因为，所以,即 10‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 解得，即。‎ 故直线的方程为或。‎ ‎29．（1）设动点的坐标为，点的坐标为,则,‎ 因为的坐标为，所以，‎ 由得。‎ 即 解得 代入，得到动点的轨迹方程为。‎ ‎（2）设点的坐标为.点关于直线的对称点为，‎ 则 解得 若在上，将的坐标代入，得，即或。‎ 所以存在满足题意的点，其坐标为和。‎ ‎30．[解]（1）设，根据题意，。由，知，‎ 而，‎ 所以，解得或。‎ 故点的坐标为或。‎ 10‎ ‎（2）由题意，点的坐标为，。‎ ‎。‎ 因为，所以，‎ 当且仅当，即时等号成立。‎ 易知在上为增函数，‎ 因此，当时，最大，其最大值为。‎ ‎31．（1）平移后图像对应的函数解析式为，‎ 整理得，‎ 由于函数是奇函数，‎ 由题设真命题知，函数图像对称中心的坐标是。‎ ‎（2）设的对称中心为，由题设知函数是奇函数。‎ 设则，即。‎ 由不等式的解集关于原点对称，得。‎ 此时。‎ 任取，由，得，‎ 所以函数图像对称中心的坐标是。‎ ‎（3）此命题是假命题。‎ 举反例说明：函数的图像关于直线成轴对称图像，但是对任意实数和，函数，即总不是偶函数。‎ 10‎ 修改后的真命题：‎ ‎“函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数” 。 ‎ 10‎