云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考数学(理)试题

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云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考数学(理)试题

景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试 数 学 (理科)‎ 一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的.‎ ‎1.若集合,,则( )‎ ‎ ‎ ‎2.复数等于( )‎ 输入x 输出x,k 否 是 结束 开始 ‎ ‎ ‎3. 已知,,,则向量与的夹角是( )‎ ‎ ‎ ‎4. 已知函数,则函数在处的切 ‎ 线方程为( )‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.按右图所示的程序框图运算,若输入,则输出的值是( )‎ ‎(第5题)‎ ‎ ‎ ‎6.设随机变量服从正态分布,若,则等于( )‎ ‎ ‎ ‎7.在的展开式中,的系数等于( )‎ ‎ ‎ ‎8.的值为( )‎ ‎ ‎ ‎9.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1‎ 名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )‎ 种 种 种 种 ‎10.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数 的图象,以下关于函数的判断正确的是( )‎ 点为函数图象的一个对称中心 为函数图象的一条对称轴 函数在区间上单调递减 函数在区间上单调递减 ‎11.已知定义域为上的函数既是奇函数又是周期为3的周期函数,当时,则函数在区间上的零点个数是( )‎ ‎ ‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点,是半焦距,是双曲线上异于实轴端点的点,满足=,则双曲线的离心率的取值范围是( )‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎13.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是 .‎ ‎14.若一个底面是正方形的直四棱柱的正(主)视图和侧视图如右图 ‎ 所示,其顶点都在一个球面上,则该球的体积是 .‎ ‎15.角的顶点为坐标原点,始边与轴正半轴重合且终边过两直线与 的交点,则 .‎ ‎16.某中学为了了解学生数学课程的学习情况,在3000名学生中随机抽取200名,并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如下图).根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分10分) ‎ 成等差数列的三个正数的和等于,并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)数列的前n项和为,求证:数列是等比数列.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 在中,分别为内角的对边,且.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)若,,求.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知矩形,面,分别是的中点,设,.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 张先生家住小区,他在科技园区工作,从家开车到公司上班有,两条路线(如图), 路线上有,,三个路口,各路口遇到红灯的均为;上有,两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.‎ ‎(1)若走路线,求最多遇到1次红灯的概率;‎ ‎(2) 若走路线,求多遇到红灯的次数的数学期望.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知椭圆的右顶点,离心率为,为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)已知(异于点)为椭圆上一个动点,过作线段的垂线交椭圆于点,求的取值范围. ‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎(Ⅰ)若,求函数的极值和单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.‎ 数学参考答案及评分标准(理科)‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1 A 2 B 3 A 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C 9 D 10 C 11 D 12 B 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.4 14. 15. 16.600‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.解:(1)设成等差数列的三个数分别为,,依题意得: ………(1分)‎ 所以数列中的、、依次为,,,‎ 由 , …………………………………………………………………(2分)‎ 解得 或(舍), …………………………………………………………………(3分)‎ 故数列 公比为 ……………………………………………………………(4分)‎ 由 得, ………………………………………………………………………(5分)‎ 所以 . ……………………………………………………………………(6分)‎ ‎(2)由(1)知数列的前项和 ,‎ 即 , …………………………………………………………………………(7分)‎ 所以 . …………………………………………………………………………(8分)‎ 因为 , ……………………………………………………………………(9分)‎ 所以数列是以为首项,公比为的等比数列. …………………………………(10分)‎ ‎18.解:(1)因为, ……………………………………………‎ ‎(1分)‎ 所以 ,…………………………………………(2分)‎ 即 ,……………………………………………………………(3分)‎ 得 ,………………………………………………………………………(4分)‎ 因为 ,所以 ,…………………………………………………………(5分)‎ 所以 .…………………………………………………………………………………(6分)‎ ‎(2)由,所以,…………………………………………(8分)‎ 所以, ……………………………………………………………(10分)‎ 因为 , …………………………………………………………………………(11分)‎ 所以 .…………………………………………………………………………(12分)‎ ‎19.解法一:(1)如图连接,交于点,因为是矩形,所以是与的中点,再连,. …(2分)‎ 因为分别是的中点,‎ 所以 ,‎ 所以. ………………………………………(3分)‎ 又因为面,所以面,‎ ‎. …………………………………………(4分)‎ 又因为面,面,所以面,…………(5分)‎ 而面,所以. ………………(6分)‎ ‎(2) 因为面且是矩形,所以由三垂线定理知,‎ 所以就是二面角的平面角, ………………………………………………(9分)‎ 因为且所以, ……………………………………………‎ ‎(11分)‎ 故二面角的平面角为.…………(12分)‎ 解法二:(1)证明:如图,以为原点,分别以为轴建立平面直角坐标系, (1分)‎ 则,,,,‎ ‎,, , ……(3分)‎ ‎,,…………….(4分)‎ ‎.…………(6分)‎ ‎(2) 由(1)知,,,,……………(7分)‎ 可知平面的法向量为,…………………………………………………(8分)‎ 设平面的法向量为,‎ 则 ,解得.……………………………………(10分)‎ 设二面角的平面角为,‎ 则,……………………………………………………(11分)‎ 故二面角的平面角为.………………………………………………(12分)‎ ‎20.解:(Ⅰ)设走路线最多遇到1次红灯为事件,则 ‎.……………………………………………(5分)‎ ‎(Ⅱ)依题意,的可能取值为. ………………………………………………(6分)‎ ‎,,‎ ‎ . ………………………………………………………………(9分)‎ 随机变量的分布列为:‎ ‎…………………………………(10分)‎ ‎ . …………………………………………………………(12分)‎ ‎21.解:(Ⅰ)因为是椭圆的右顶点,所以.‎ 又 ,得 . 所以.‎ 所以椭圆的方程为 .………………………………………………………(5分)‎ ‎(Ⅱ)当直线的斜率为时,,为椭圆的短轴,则.‎ 所以 . …………………………………………………………………………(6分)‎ 当直线的斜率不为时,设直线的方程为,,‎ 则直线的方程为 .…………………………………………………(7分)‎ 由 得 ,即 ,‎ 所以 ,所以 . ……………………………………(8分)‎ 所以 ,‎ 即 .同理可得.‎ 所以 .………………………………………………(10分)‎ 设 ,则,.‎ ‎.‎ 令 ,所以是一个增函数,‎ 所以 .‎ 综上,的取值范围是.………………………………………………(12分)‎ ‎22.解:(1)因为 , ……………………………………(2分)‎ 当时,,令,得,…………………………… (3分)‎ 又的定义域为,‎ ‎,随的变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎0‎ 单调递减 极小值 单调递增 所以时,取得极小值为. ‎ 的单调递增区间为,单调递减区间为.……………………………………(5分)(2)因为,………………………………………(6分)‎ 且.令 ,得,‎ 若在区间上存在一点,使得成立,‎ 其充要条件是在区间上的最小值小于0即可. …………………………(7分) ‎ 当,即时,对成立, ‎ 所以,在区间上单调递减,‎ 故在区间上的最小值为,‎ 由,得,即.…………………………………………(9分)‎ 当,即时,‎ 若,则对成立,所以在区间上单调递减,‎ 所以,在区间上的最小值为,‎ 显然,在区间上的最小值小于不成立. ………………………………(10分)‎ 若,即时,则有 单调递减 极小值 单调递增 所以在区间上的最小值为.‎ 由,‎ 得 ,解得,即.…………………………………………(11分)‎ 综上,由可知符合题意.……………………………(12分)‎ 请注意:以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考,其他答案请参考评分标准酌情给分.‎
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