2013年高考数学（文科）真题分类汇编K单元 概率

2013年高考数学（文科）真题分类汇编K单元 概率

‎　　　　　　　　　　　　　　　　　K单元 概率 K1　随事件的概率　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎16．I2，K1，K2[2013·北京卷] 图1－4是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择‎3月1日至‎3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．‎ 图1－4‎ ‎(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；‎ ‎(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；‎ ‎(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)‎ ‎16．解：(1)在‎3 月1‎日至‎3 月13‎日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.‎ ‎(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气 重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．‎ 所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.‎ ‎(3)从‎3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．‎ ‎19．K1，I4[2013·福建卷] 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分别加以统计，得到如图1－4所示的频率分布直方图．‎ 图1－4‎ ‎(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；‎ ‎(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？‎ 附：χ2＝ P(χ2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19．解：(1)由已知得，样本中有“25周岁以上组”工人60名，“25周岁以下组”工人40名．‎ 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，“25周岁以上组”工人有60×0.05＝3(人)，记为A1，A2，A3；“25周岁以下组”工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.‎ 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是：(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．‎ 其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)．故所求的概率P＝.‎ ‎(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上组 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ ‎25周岁以下组 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 所以得K2＝＝＝≈1.79.‎ 因为1.79<2.706.‎ 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．‎ K2　古典概型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎5．K2，K5[2013·安徽卷] 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎5．D　[解析] 五人中选用三人，列举可得基本事件个数是10个，“甲或乙被录用”的对应事件是“甲乙都没有被录用”，即录用的是其余三人，只含有一个基本事件，故所求概率是1－＝.‎ ‎16．I2，K1，K2[2013·北京卷] 图1－4是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择‎3月1日至‎3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．‎ 图1－4‎ ‎(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；‎ ‎(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；‎ ‎(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)‎ ‎16．解：(1)在‎3 月1‎日至‎3 月13‎日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是.‎ ‎(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气 重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日”．‎ 所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.‎ ‎(3)从‎3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．‎ ‎7．K2[2013·江苏卷] 现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．‎ ‎7.　[解析] 基本事件共有7×9＝63种，m可以取1，3，5，7，n可以取1，3，5，7，9.所以m，n都取到奇数共有20种，故所求概率为.‎ ‎18．K2[2013·江西卷] 小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图1－6)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．‎ ‎(1)写出数量积X的所有可能取值；‎ ‎(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．‎ 图1－6‎ ‎18．解：(1)X的所有可能取值为－2，－1，0，1.‎ ‎(2)数量积为－2的有·，共1种；‎ 数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；‎ 数量积为0的有·，·，·，·，共4种；‎ 数量积为1的有·，·，·，·，共4种．‎ 故所有可能的情况共有15种．‎ 所以小波去下棋的概率为P1＝；‎ 因为去唱歌的概率为P2＝，所以小波不去唱歌的概率P＝1－P2＝1－＝.‎ ‎4．K2[2013·江西卷] 集合A＝{2，3}，B＝{1，2，3}, 从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎4．C　[解析] 从A，B中任取一个数，共有6种取法，其中两数之和为4的是(2，2)，(3，1)，故P＝＝，故选C.‎ ‎13．K2[2013·新课标全国卷Ⅱ] 从1，2，3，4，5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．‎ ‎13．0.2　[解析] 任取两个数有10种取法，和为5的取法有2种，故概率为＝0.2.‎ ‎17．K2[2013·山东卷] 某小组共有A，B，C，D，E五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表所示：‎ A B C D E 身高 ‎1.69‎ ‎1.73‎ ‎1.75‎ ‎1.79‎ ‎1.82‎ 体重指标 ‎19.2‎ ‎25.1‎ ‎18.5‎ ‎23.3‎ ‎20.9‎ ‎(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；‎ ‎(2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率．‎ ‎17．解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：‎ ‎(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个．‎ 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人身高都在1.78以下的事件有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3个．‎ 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10个．‎ 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3个．‎ 因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9)中的概率为P1＝.‎ ‎19．K2[2013·陕西卷] 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次．根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ ‎(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组抽取了6人，请将其余各组抽取的人数填入下表；‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎6‎ ‎(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．‎ ‎19．解： (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：‎ 组别 A B C D E 人数 ‎50‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎150‎ ‎50‎ 抽取人数 ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎3‎ ‎(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从和中各抽取1人的所有结果为：‎ 图1－6‎ 由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.‎ ‎5．I2，K2[2013·陕西卷] 对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，图1－1为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[15，20)和[25，30)上为二等品，在区间[10，15)和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是(　　)‎ 图1－1‎ A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45‎ ‎5．D　[解析] 利用统计图表可知在区间[25，30)上的频率为：1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)×5＝0.25，在区间[15，20)上的频率为：0.04×5＝0.2，故所抽产品为二等品的概率为0.25＋0.2＝0.45.‎ ‎15．I2，K2[2013·天津卷] 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级，若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ 质量指标 ‎(x，y，z)‎ ‎(1，1，2)‎ ‎(2，1，1)‎ ‎(2，2，2)‎ ‎(1，1，1)‎ ‎(1，2，1)‎ 产品编号 A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ 质量指标 ‎(x，y，z)‎ ‎(1，2，2)‎ ‎(2，1，1)‎ ‎(2，2，1)‎ ‎(1，1，1)‎ ‎(2，1，2)‎ ‎(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；‎ ‎(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，‎ ‎(i)用产品编号列出所有可能的结果；‎ ‎(ii)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”．求事件B发生的概率．‎ ‎15．解：(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：‎ 产品编号 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ A7‎ A8‎ A9‎ A10‎ S ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎5‎ 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6.‎ 从而可估计该批产品的一等品率为0.6.‎ ‎(2)(i)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．‎ ‎(ii)在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}, 共6种．‎ 所以P(B)＝＝.‎ ‎3．K2[2013·新课标全国卷Ⅰ] 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎3．B　[解析] 基本事件是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个，其中两数之差的绝对值为2的基本事件是(1，3)，(2，4)，共2个，根据古典概型公式得所求的概率是＝.‎ ‎12．K2[2013·浙江卷] 从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．‎ ‎12.　[解析] 设选2名都是女同学的事件为A，从6名同学中选2名，共有15种情况，而从3名女生中选2名，有3种情况，所以P(A)＝＝.‎ ‎13．K2[2013·重庆卷] 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．‎ ‎13.　[解析] 三人站成一排的情况包括甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，共6种，其中甲、乙相邻的排法有4种，所以甲、乙相邻而站的概率为＝.‎ K3　几何概型　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎14．K3[2013·福建卷] 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1<0”发生的概率为________．‎ ‎14.　[解析] 00，当0s，故答案为2.‎ K8　离散型随机变量的数学特征与正态分布　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎20．K4、K5、K7[2013·全国卷] 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．‎ ‎(1)求第4局甲当裁判的概率；‎ ‎(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．‎ ‎20．解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，‎ A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，‎ A表示事件“第4局甲当裁判”．‎ 则A＝A1·A2，‎ P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.‎ ‎(2)记B1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，‎ B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，‎ B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，‎ B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．‎ 则B＝B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2，‎ P(B)＝P(B1·B3＋B1·B2·B3＋B1·B2)‎ ‎＝P(B1·B3)＋P(B1·B2·B3)＋P(B1·B2)‎ ‎＝P(B1)P(B3)＋P(B1)P(B2)P(B3)＋P(B1)P(B2)‎ ‎＝＋＋ ‎＝.‎