人教版高三数学总复习课时作业40
课时作业40 基本不等式
一、选择题
1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a＋b≥2 B.＋>
C.＋≥2 D．a2＋b2>2ab
解析：因为ab>0，即>0，>0，所以＋≥2＝2.
答案：C
2．设0
0，b>0.若a＋b＝1，则＋的最小值是( )
A．2 B.
C．4 D．8
解析：由题意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号，所以最小值为4.
答案：C
4．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.
答案：B
5．已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b＝( )
A．－3 B．2
C．3 D．8
解析：y＝x－4＋＝x＋1＋－5，由x>－1，得x＋1>0，>0，所以由基本不等式得y＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即(x＋1)2＝9，所以x＋1＝3，即x＝2时取等号，所以a＝2，b＝1，a＋b＝3.
答案：C
6．已知直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是( )
A．9 B．8
C．4 D．2
解析：由圆的一般方程x2＋y2－2y－5＝0知D＝0，E＝－2，所以，圆心的坐标为(0,1)．又因为直线ax＋by＋c－1＝0(bc>0)经过该圆心，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1，所以，＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋＋≥5＋2＝9.
答案：A
二、填空题
7．若正实数a，b满足ab＝2，则(1＋2a)·(1＋b)的最小值为________．
解析：(1＋2a)(1＋b)＝5＋2a＋b≥5＋2＝9.当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号．
答案：9
8．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．
解析：(am＋bn)(bm＋an)＝ab(m2＋n2)＋mn(a2＋b2)≥2abmn＋2(a2＋b2)＝2(a＋b)2＝2.当且仅当m＝n＝时取等号．
答案：2
9．已知不等式·ln≥0对任意正整数n恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：当≥1，即m≥n时，ln>0，所以－m≥0，得m≤，即n≤m≤，所以n2≤20.
又因为n∈N*，所以n≤4，故≥5.
所以4≤m≤5；
当0<<1，即0m≥，故n2>20.
又因为n∈N*，所以n≥5，所以4≤m<5.
综上，实数m的取值范围是[4,5]．
答案：[4,5]
三、解答题
10．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
(1)＋＋≥8；
(2)(1＋)(1＋)≥9.
证明：(1)∵a＋b＝1，a>0，b>0，
∴＋＋＝＋＋
＝2(＋)＝2(＋)
＝2(＋)＋4≥4 ＋4＝8
(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，
∴＋＋≥8.
(2)∵(1＋)(1＋)＝＋＋＋1，
由(1)知＋＋≥8.
∴(1＋)(1＋)≥9.
11．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米(50≤x≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时14元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．
解：(1)由题意得，行驶时间为小时．
y＝××2＋14×
＝＋.x∈[50,100]
(2)由题意得，>0，>0
由基本不等式可得，y＝＋≥2
＝26
当且仅当＝即x＝18∈[50,100]时等号成立．
所以当x为18
千米/小时，这次行车的总费用最低，最低费用为26元．
1．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值为( )
A．1 B．6
C．9 D．16
解析：方法1：因为＋＝1，所以a＋b＝ab⇒(a－1)(b－1)＝1，所以＋≥2＝2×3＝6.
方法2：因为＋＝1，所以a＋b＝ab，＋＝＝b＋9a－10＝(b＋9a)－10≥16－10＝6.
方法3：因为＋＝1，所以a－1＝，
所以＋＝(b－1)＋≥2＝2×3＝6.
答案：B
2．若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝8，则a＋b＋c的最大值为( )
A．9 B．2
C．3 D．2
解析：(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝8＋2ab＋2ac＋2bc.
∵a2＋b2≥2ab，a2＋c2≥2ac，b2＋c2≥2bc，
∴8＋2ab＋2ac＋2bc≤2(a2＋b2＋c2)＋8＝24，当且仅当a＝b＝c时取等号，
∴a＋b＋c≤2.
答案：D
3．若实数a，b，c满足2a＋2b＝2a＋b,2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c，则c的最大值是________．
解析：由基本不等式得2a＋2b≥2＝2×2，即2a＋b≥2×2，所以2a＋b≥4.令t＝2a＋b，由2a＋2b＋2c＝2a＋b＋c可得2a＋b＋2c＝2a＋b·2c，所以2c＝＝1＋，由t≥4，得1<≤，即1<2c≤，所以0
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