高考数学专题复习（精选精讲）练习6-直线习题精选精讲

高考数学专题复习（精选精讲）练习6-直线习题精选精讲

直线方程 例1　求经过两点A(2，1)，B(m，2)(mR)的直线的斜率，并求出其倾斜角及其取值范围．‎ 分析：斜率公式成立的条件是，所以应先就m的值是否等于2进行讨论．‎ 解：当m=2时，‎ ‎∴直线垂直于轴，故其斜率不存在，此时，倾斜角=．‎ 当m2时，k＝‎ 当m＞2时，＞0 此时＝arctan（０，）．‎ 当m＜2时，＜0 此时＝+arctan（，）．‎ 说明：通过讨论确定直线的斜率存在与不存在是解决直线斜率问题常用的方法．‎ 例2　已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点．‎ ‎ 　（1）求直线l的斜率的取值范围．（2）求直线l的倾斜角的取值范围．‎ 图1‎ 分析：如图1，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90°时，有；当l的倾斜角大于90°时，则有．‎ 解：如图1，有分析知 ‎ ＝－1，‎ ‎ ＝3．‎ ‎ ∴ （1）或．‎ ‎ （2）arctan3．‎ 说明：学生常错误地写成－1k3，原因是与倾斜角分不清或误以为正切函数在上单调递增．‎ 例3　判断下列命题是否正确：‎ ‎①一条直线l一定是某个一次函数的图像；‎ ‎②一次函数的图像一定是一条不过原点的直线；‎ ‎③如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；‎ ‎④如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线．‎ 解：①不正确．直线，不是一次函数；‎ ‎②不正确．当时，直线过原点．‎ ‎③不正确．第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程的解，但此方程不是第一、三象限角平分线的方程 ‎④不正确．以方程 ()的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但 此直线不是方程 ()的图像．‎ 说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件．‎ 例4　设直线的斜率为k，且，指出直线倾斜角的范围．‎ 分析：倾斜角与斜率有关，根据公式和正切函数的单调性，由斜率的范围可以得到倾斜角的范围，可以画图，利用数形结合来帮助解决问题．‎ 解： ，由已知得 ．‎ ‎ 　　，．‎ ‎ 　　∴ 直线的倾斜角的范围是．‎ ‎ 说明：注意正切函数在范围的单调性，最好结合图形，不容易出错．‎ 例5　已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，求直线l的斜率．‎ 解1：设直线l的倾斜角为，则直线的倾斜角为2‎ tan2＝＝，‎ ‎∴＝．‎ 化简得 3tan2+8tan－3＝0，‎ 解得 tan＝ 或 tan＝－3．‎ ‎ tan2＝＞0，‎ ‎∴ 0°<2<90°， 0°<<45°，‎ ‎∴ tan＞0，故直线的斜率是．‎ 解2：(思路要点)根据tan2＝＝，且2为锐角，‎ 易得sin2＝和cos2＝，‎ 进一步有：tan＝=．‎ 说明：这里应考虑角的取值范围及函数值的取舍，解２计算更容易．‎ 例6　已知a、b、m都是正数，且，试用解析法证明：>‎ 图2‎ 证明：如图2，‎ 在坐标平面上取点A(m，m)，B(a，b)，‎ 则AB的中点为C(，)．‎ ‎ 显然OA、OB、OC的斜率满足 ‎ ，‎ ‎ 又 ，，1．‎ ‎ 所以 >．‎ 说明：本题与前边不等式的证明联系紧密，此处提供了一种新颖的证明，有助于学生对解析法的理解．同时本题为构造性证明，不易想到．事实上，把分式看成斜率是常用的方法．‎ 例7 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线的倾斜角为（　　）．‎ A．　　 B．　　 C．‎ D．当时为，当时为 分析：倾斜角的范围是，因此，只有当，即时，的倾斜角才是．而，所以必须讨论的情况，结合图形和倾斜角的概念，即可得到时的倾斜角为．故应选D．‎ 答案：D 说明：在求直线的倾斜角时，应该重视的是：(1)注意角的取值范围；(2)数形结合是一种常用而有效的方法．‎ 例8 若三点，，共线，求的值．‎ 分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在．‎ 解答：由、、三点共线，则．‎ ‎∴，解得．‎ 说明：由三点共线求其中参数的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等，但用斜率公式求的方法最简便．‎ 例9　 (1)直线过点和点，求的斜率和倾斜角；‎ ‎(2)若直线过，两点，且，求此直线的倾斜角．‎ ‎(3)已知直线过点和，求的倾斜角和斜率．‎ 分析：(1)中直线上两点与均为已知点，故是确定的，其斜率和倾斜角自然也是确定的，直接利用斜率公式求解即可；(2)中的直线上的点是已知的，点的横纵坐标与角有关，应注意条件中地取值范围；(3)中的直线上的点是已知的，而点的横坐标不确定，它的取值将影响直线的斜率及倾斜角，应对类讨论，以直线的斜率是否存在为分类的标准．根据倾斜角和斜率的概念进行求解．‎ 解：设直线的斜率为，倾斜角为．‎ ‎(1)∵直线过点和点，‎ ‎∴它的斜率．‎ 于是．‎ ‎∵，，‎ ‎∴的倾斜角，‎ 即：．‎ ‎(2)因为，所以．所以斜率：‎ ‎．‎ 因为，所以．‎ 所以，直线的倾斜角为．‎ ‎(3)当时，直线与轴垂直．所以，倾斜角，没有斜率．‎ 当时，斜率．‎ 若，则；‎ 若，则．‎ 因此，当时，，直线没有斜率．‎ 当时，，．‎ 当时，，．‎ 说明：由斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的取值范围是．当倾斜角不是特殊角而必须用反正切表示时，应注意．‎ ‎(1)当直线的倾斜角是时，斜率是．但反过来，当直线的斜率是时，直线的倾斜角不一定是．‎ ‎(2)在用公式时，要注意两点：‎ ‎①斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时颠倒．‎ ‎②当，（即直线和轴垂直）时，不能用此公式，此时倾斜角是，直线没有斜率．‎ ‎(3)解答本题易出错的地方是对参数未进行讨论或讨论不完整．‎ 解题方法指导 直接写出直线方程利用公式求直线方程通过直线系求直线方程结合向量知识求直线方程借助相关点求直线方程——轨迹法 利用参数求直线方程通过分析结构求直线方程 三、范例剖析 ‎1、直接法 例1. 直线在轴上的截距为3，且倾斜角的正弦值为，求直线的方程。‎ 解： ，∴直线的斜率故所求直线的方程为 即或 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法。同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在内，从而有两个解。‎ ‎2、公式法 例2. 过点P（2，1）作直线交轴、轴正方向于A、B，求使的面积最小时的直线的方程。‎ 解：设所求直线方程为，则由直线过点P（2，1），得 即，由，得所以 当且仅当，即时，取得最小值为4‎ 此时所求直线方程为，即 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法。这里选择了截距式方程。‎ ‎3、直线系法 直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程 例3. 求过与的交点且与直线平行的直线方程。‎ 解：设与交点的直线方程为 即因为所求直线与平行所以，解得 将代入(*)，得所求直线方程为 ‎4、向量法 例4. 求与直线夹角相等，且过点（4，5）的直线的方程。‎ 解：设所求直线l的方程为即其方向向量为 又直线与的方向向量分别为与 由已知条件及向量内积公式，得即解得或 故所求直线方程为或评注：利用 ‎5、相关点法 利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法。‎ 例5. 求直线关于直线的对称直线方程。‎ 解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x，y）关于直线的对称点为，则 解得因为在直线上所以 即 ‎6、参数法 例6. 过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线和之间的线段AB恰被P点平分，求此直线方程。‎ 解：设所求直线分别与交于A、B因为A在直线上故可设又P（3，0）为AB的中点 由中点坐标公式，得由B在上，得解得，即 由两点式得所求直线方程为 ‎7、结构分析法 例7.若两条直线相交于点P（1，2），试求经过点与的直线方程。‎ 解：将与的交点P（1，2）代入与的方程，得，‎ 根据以上两式的结构特点易知：点与的坐标都适合方程 故经过点A、B的直线的方程为 对称问题 我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。‎ 一． 点关于点对称 如P（a，b）关于点M（x0，y0）的对称点为P1,求P1？‎ ‎ 分析：设P1（x,y）则由中点公式 x0=; y0=可知 x=2x0－a; y=2y0－b ∴P1（2x0－a , 2y0－b ）‎ 例1 已知点A（1，2），点B(2,3) 求点A关于点B的对称点。‎ 解：（方法：利用中点公式）设点A关于点B的对称点为A1（x0，y0）则 ＝2 ∴x0＝3 ＝3 ∴y0＝4 ‎ ‎ ∴ 点A关于点B的对称点为A1（3，4）。‎ 特例：点（a，b）关于原点的对称点为（－a，－b）‎ 一． 点关于直线对称的点 例1 求点P(2,0)关于直线2 x＋4 y＋1＝0对称点Q的坐标 解：（法一利用交点） ∵过点P(2,0)垂直于2 x＋4 y＋1＝0的直线L为4（x－2）－2（y－0）＝0即4x－2y－8＝0即2x－y－4＝0而直线L 与直线2x＋4y＋1＝0的交点为M， ‎ ‎ ∴∴即M（，－1）由例1可以求出Q的坐标为（1，－2）‎ 解：（法二利用斜率）设Q（a，b），则由PQ直线的斜率与直线L的斜率之积为1及P、Q的中点在直线L上可以列出方程组 ‎∴∴Q（1，－2）‎ 特例：点（a，b）关于直线x＝c的对称点为（2c－a，b）, 点（a，b）关于直线y=x的对称点为（b，a）‎ ‎ 点（a，b）关于直线y=－x的对称点为（－b，－a） 点（a，b）关于直线y=x+c的对称点为（b－c，a ＋c）‎ 点（a，b）关于直线y=－x+c的对称点为（－b＋c，－a＋c）‎ 二． 直线关于点对称的直线 例3 求直线4 x＋ y－1＝0关于点M（2，3）对称的直线方程 解：（法一利用设元）设直线4 x＋ y－1＝0上的点P（x0，y0），则点P（x0，y0）关于点M（2，3）的对称点为Q（x，y）， ‎ 则由例 1可知x0＝4－x ，y0＝6－y 代入直线4 x＋ y－1＝0可得16－4 x＋6－y －1＝0即4 x＋ y－21＝0‎ 解：（法二利用距离）设所求的直线为4 x＋ y＋m＝0,则点M（2，3）到两条直线的距离相等，∴＝‎ 由于点M（2，3）在两直线的中间∴10＝－11－m∴m＝－21，即所求的直线为4 x＋ y－21＝0‎ 解：（法三利用两点式）在直线4 x＋ y－1＝0上任找两点A（0，1），B（1，－3）关于点M（2，3）的对称点为A1（4，5），B1（3，9）由两点式可得即所求的直线为4 x＋ y－21＝0‎ ‎ 四．直线关于直线对称的直线 例4 求直线2 x＋ y－4＝0关于直线 x－y＋1＝0的对称直线方程 解：（法一利用设元）设直线4 x＋ y－4＝0上的点P（x0，y0），‎ 则点P（x0，y0）关于直线x－y＋1＝0对称的点Q（x，y）‎ 则x＝y0－1，y＝x0＋1∴代入直线2 x＋ y－4＝0可得2（y－1）＋x＋1－4＝0即x＋2 y－5＝0‎ 解：（法二利用夹角）由两直线的交点可得交点为∴所求直线过点（1，2），设其斜率为K（若求不出则说明直线垂直于X轴），又∵直线2 x＋ y－4＝0到直线 x－y＋1＝0的角与直线 x－y＋1＝0到所求直线的角相等即 ‎∴K＝－∴所求直线为y －2＝－（x －1）即x＋2 y－5＝0‎ 解：（法三利用距离）∵三直线交于一点，∴设直线系方程为（2x＋y－4）＋λ（x－y＋1）＝0即（2＋λ）x＋（1－λ）y＋（λ－4）＝0不妨在对称轴直线 x－y＋1＝0上任取一点（0，1）则 ∴λ＝－1或λ＝0（舍去）∴所求直线为x＋2 y－5＝0‎ 轴对称 轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。‎ 例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。‎ 分析：本题的常规方法是：（1）设点（2）列出相应的函数关系式（3）求解。‎ 但本题若这样做，则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。‎ 解：如图，设点C(x,y)是点B关于直线L的对称点，则由，得：，‎ ‎∴直线BC的方程为：，将其与直线y=3x-1联立，解得：D,其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）。‎ 显然：|PA|-|PB|＝|PA|-|PC|≤|AC|,当且仅当A、C、P三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线AC方程为：，与L方程联立解得P的坐标为（2,5）。‎ 例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。‎ 解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知识易知：点B在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。‎ 由例1知点C关于L的对称点为B（0,4），‎ 故直线AB的方程易求得为：。它即为反射光线方程。‎ 例3、已知ΔABC的顶点A的坐标为(1,4)，∠B、∠C的平分线的分别方程为和，求BC所在的直线方程。‎ 分析：本题的常规思路是利用L1到L2的角的有关知识解决问题，但较繁，若能注意到角平分线的有关性质，则可简捷求解。‎ 解：设∠B、∠C的平分线分别为L1、L2,则由角平分线的知识可知：AB与CB关于L1对称，AC与BC关于L2对称，故点A关于L1、L2的对称点A1、A2都应该在直线BC上，故BC所在的直线方程即为A1A2所在的直线方程。‎ 利用对称性可求得：（过程略）‎ 于是BC方程可求得为：‎ 两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点 ‎ 例1. ‎ ‎ 分析：‎ ‎ 法一：求出直线的斜率，再用直线的点斜式方程求解。‎ ‎ 法二：设所求直线的方程为2x＋3y＋b＝0，求出b即可。‎ ‎ 解：‎ ‎ 法一：‎ ‎ ‎ ‎ 法二：设所求直线的方程为2x＋3y＋b＝0，直线过点A（1，-4）‎ ‎ ‎ ‎ 故所求直线的方程是2x＋3y＋10＝0。‎ ‎ 例2. 讨论下列各对直线是否平行或垂直：‎ ‎ ‎ ‎ 分析：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （2）当B＝0时，则A≠0，当A＝0时，则B≠0‎ ‎ 此时，l1、l2中必有一条垂直于x轴，另一条垂直于y轴 ‎ 所以l1⊥l2‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以总有l1⊥l2‎ ‎ 小结：本题的结论很重要，应熟记。在利用位置关系求直线方程时，有时用本题的结论设所求直线的方程来求解。一般地可证明下列结论：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例3. 求过点P（x0，y0）且和直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线的方程。‎ ‎ 解：‎ ‎ ∵所求直线与直线Ax＋By＋C＝0垂直 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当B＝0时，直线Ax＋By＋C＝0的方程为Ax＋C＝0，过点P与它垂直的方程为y＝y0，适合上面所求方程Bx－Ay＋Ay0－Bx0＝0。‎ ‎ 同理，当A＝0时，过点P与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为x＝x0，也适合上面所求方程。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 小结：由所求直线方程和已知直线方程比较知：一个方程中含x项的系数与另一个方程中含y项的系数绝对值相同，而联结符号相反。一般地，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线的方程可设为Bx－Ay＋C1＝0。‎ ‎ 例4. ‎ 值。‎ ‎ 解法一：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解法二：‎ ‎ ‎ ‎ 小结：‎ 条直线中一条的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直。本例利用A‎1A2＋B1B2＝0求a的值更为快捷。‎ 直线的参数方程 问题1：（直线由点和方向确定）‎ ‎ 求经过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程.‎ ‎ 设点P()是直线上任意一点，（规定向上的 方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过 P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点. ‎ ‎1)当与直线同方向或P0和P重合时，‎ yh ‎0h P()‎ P0h Q P0P＝|P0P| 则P0Q＝P0Pcos Q P＝P0Psin ‎2)当与直线反方向时，P0P、P0Q、Q P同时改变符号 P0P＝－|P0P| P0Q＝P0Pcos Q P＝P0Psin 仍成立 设P0P＝t，t为参数，‎ 又∵P0Q＝， ＝tcos ‎ Q P＝ ∴ =t sin ‎ 即是所求的直线的参数方程 ‎ ‎ ‎ ∵P0P＝t，t为参数，t的几何意义是：有向直线上从已知点P0()到点 ‎ P()的有向线段的数量，且|P0P|＝|t|‎ ① 当t>0时，点P在点P0的上方；‎ ② 当t＝0时，点P与点P0重合；‎ ③ 当t<0时，点P在点P0的下方；‎ yh ‎0h P0h P()‎ 特别地，若直线的倾斜角＝0时，直线的参数方程为 ④ 当t>0时，点P在点P0的右侧；‎ ⑤ 当t＝0时，点P与点P0重合；‎ yh ‎0h P P0h ⑥ 当t<0时，点P在点P0的左侧；‎ 问题2：直线上的点与对应的参数t是不是一 ‎ 对应关系？‎ ‎ 我们把直线看作是实数轴，‎ ‎ 以直线向上的方向为正方向，以定点P0‎ ‎ 为原点，以原坐标系的单位长为单位长，‎ ‎ 这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了 ‎ 一一对应关系.‎ 问题3：P1、P2为直线上两点所对应的参数分别为t1、t2 ，‎ ‎ 则P1P2＝？，∣P1P2∣=？ ‎ ‎ P1P2＝P1P0＋P0P2＝－t1＋t2＝t2－t1，∣P1P2∣=∣ t2－t1∣‎ 问题 yh ‎0h P1‎ P0h P2‎ 4：若P0为直线上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的 ‎ 参数分别为t1、t2 ，则t1、t2之间有何关系？‎ ‎ 根据直线参数方程t的几何意义，‎ ‎ P1P＝t1，P2P＝t2，∵P0为直线 ‎ 上两点P1、P2的中点，∴|P1P|＝|P2P|‎ ‎ P1P＝－P2P，即t1＝－t2, t1t2<0‎ ‎ 一般地，若P1、P2、P3是直线上的点，‎ ‎ 所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点 ‎ 则t3＝ （∵P1P3＝－P2P3, 根据直线参数方程t的几何意义，‎ ‎ ∴P1P3= t3－t1, P2P3= t3－t2, ∴t3－t1=－(t3－t2,) ）‎ ‎ 1、参数方程与普通方程的互化 例1：化直线的普通方程＝0为参数方程，并说明参数的几何意 ‎ 义,说明∣t∣的几何意义.‎ ‎ 解：令y=0,得＝1，∴直线过定点(1,0). k＝－=－‎ ‎ 设倾斜角为，tg=－,= , cos =－, sin=‎ ‎ 的参数方程为 （t为参数）‎ ‎ t是直线上定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的数量.由 (1)、(2)两式平方相加,得 ‎ ∣t∣＝∣t∣是定点M0（1，0）到t对应的点M()的有向线段的长. ‎ 点拨：求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.‎ 例2：化直线的参数方程（t为参数）为普通方程，并求倾斜角， ‎ ‎ 说明∣t∣的几何意义.‎ ‎ 解：原方程组变形为 (1)代入(2)消去参数t，‎ ‎ 得 (点斜式) 可见k=, tg=,倾斜角=‎ ‎ 普通方程为 ‎ ‎ (1)、(2)两式平方相加,得∴∣t∣=‎ ‎ ∣t∣是定点M0（3，1）到t对应的点M()的有向线段的长的一半.‎ 点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线的参数方程 为即是直线方程的标准形式，(-)2+()2=1, t的几何意义是有向线段的数量.直线的参数方程为是非标准的形式，12＋()2=4≠1，此时t的几何意义是有向线段的数量的一半.‎ 你会区分直线参数方程的标准形式？‎ 例3：已知直线过点M0（1，3），倾斜角为，判断方程（t为参数）和方程（t为参数）是否为直线的参数方程？如果是直线的参数方程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.‎ 解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线的的普通方程 ‎ ，所以，以上两个方程都是直线的参数方程，其中 ‎ cos =, sin=，是标准形式，参数t是有向线段的数量.，而方程是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.‎ 点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.‎ 问题5：直线的参数方程能否化为标准形式？‎ ‎ 是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化)‎ ‎ 令t¢=‎ ‎ 得到直线参数方程的标准形式 t¢的几何意义是有向线段 的数量.‎ ‎2、直线非标准参数方程的标准化 一般地，对于倾斜角为、过点M0()直线参数方程的一般式为，. （t为参数）， 斜率为 (1) 当＝1时，则t的几何意义是有向线段的数量. ‎ (2) 当≠1时，则t不具有上述的几何意义. ‎ 可化为 令t¢=‎ 则可得到标准式 t¢的几何意义是有向线段的数量.‎ 例4：写出经过点M0（－2，3），倾斜角为的直线的标准参数方程，并且 ‎ 求出直线上与点M0相距为2的点的坐标.‎ ‎ 解：直线的标准参数方程为 即（t为参数）（1）‎ ‎ 设直线上与已知点M0相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t,‎ ‎ 则| M0M|＝|t| =2, ∴t=±2 将t的值代入(1)式 ‎ 当t=2时，M点在 M0点的上方，其坐标为（－2－，3＋）；‎ ‎ 当t=-2时，M点在 M0点的下方，其坐标为（－2＋，3－）.‎ 点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦， ‎ ‎ 而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较 ‎ 容易.‎ 例5：直线（t为参数）的倾斜角 .‎ ‎ 解法1：消参数t,的＝－ctg20°=tg110°‎ ‎ 解法2：化为标准形式： （－t为参数）‎ ‎ ∴此直线的倾斜角为110°‎ 直线参数方程的应用 A B M P (2,0)‎ y ‎0‎ 例6：已知直线过点P（2，0），斜率为，直线 ‎ 和抛物线相交于A、B两点，‎ ‎ 设线段AB的中点为M,求：‎ ‎ (1)P、M两点间的距离|PM|； ‎ ‎ (2)M点的坐标； ‎ ‎ (3)线段AB的长|AB|‎ 解：(1)∵直线过点P（2，0），斜率为,设直线的倾斜角为，tg=‎ ‎ cos =, sin=∴直线的标准参数方程为（t为参数）*‎ ‎ ∵直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程中，‎ ‎ 整理得 8t2－15t－50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个根为t1、t2,由韦达定理得 t1＋t2＝, t1t2＝ ，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得| PM|＝ ＝ ‎ ‎ ∵中点M所对应的参数为t M=,将此值代入直线的标准参数方程*，‎ M点的坐标为 即 M（，）‎ (1) ‎|AB|＝∣t 2－t 1∣＝ ＝‎ 点拨：利用直线的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线上两点间的距离、直线上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.‎ 例7：已知直线经过点P（1,－3）,倾斜角为，‎ ‎ (1)求直线与直线：的交点Q与P点的距离| PQ|；‎ ‎ (2)求直线和圆＝16的两个交点A，B与P点的距离之积.‎ ‎ 解：(1)∵直线经过点P（1,－3）,倾斜角为,∴直线的标准参数方 ‎ 程为，即（t为参数）代入直线：‎ ‎ 得 整理，解得t=4+2‎ ‎ t=4+2即为直线与直线的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几 ‎ 何意义可知：|t|=| PQ|,∴| PQ|=4+2.‎ ‎(2) 把直线的标准参数方程为（t为参数）代入圆的方程 ‎＝16，得,整理得：t2－8t+12=0，‎ ‎ Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t1、t2 则t1t2=12‎ ‎ 根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆＝16的两个交点 A, B所对应的参数值，则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|,‎ 所以| PA|·| PB|=|t1 t2|=12‎ ‎● 通法 特法 妙法 ‎（1）斜率法——两直线位置关系的角度定位 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即 k=tanα （α≠90°）；倾斜角为90°的直线没有斜率.‎ 用斜率法判断两直线的位置关系：‎ ‎① 平行直线系：‎ 当斜率k存在时，与l：y=kx+b平行的直线系方程为 l＇：y=kx+b＇（b≠b＇）,b＇为参变量.‎ ‎② 垂直直线系：‎ 当斜率k存在且不为0时，与l：y=kx+b垂直的直线系方程为 l＇：为参变量.‎ ‎③斜率分别为k1、k2的两条直线，若k1≠k2，则两线必然相交，它们的交角α可用k1、k2的解析式表示为：tanα=‎ ‎【例6】 已知直线l1：（m+2）x+（m+3）y-5=0和l2：6x+（‎2m-1）y=5.‎ 问m为何值时，有：‎ ‎（1）l1与l2相交？（2）l1∥l2？（3）l1与l2重合？（4）l1⊥ l2？‎ ‎【解析】 （1）当m≠-3且m≠时，，因为l1与l2相交，所以 又当m=-3时，直线l1:-x-5=0,l2:6x-7y=5,两直线相交；‎ 当两直线相交.‎ ‎∴当m≠4或时，l1与l2相交.‎ ‎（2）由（1）可知，当m=4或m=－时，l1与l2有可能平行.‎ 当m=4时，l1：6x+7y-5=0，l2：6x+7y=5,即l1与l2重合；‎ 当时，即l1∥l2.‎ ‎∴当时，l1∥l2.‎ ‎（3）当m=4时，l1、l2重合.‎ ‎（4）当，‎ 解得 m=-1或m=-.‎ 又由（1）知m=-3或m=时，l1、l2不垂直，‎ ‎∴当m=-1或m=-时，l1⊥ l2.‎ ‎（2）公式法——点线距到线线距 点与直线的位置关系，两平行线间的位置关系用距离确定（与角度无关）.‎ ‎① 点到直线的距离公式：‎ 点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离 ‎② 两条平行直线间的距离公式：‎ ‎ 设两条平行直线为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0 （C1≠C2），它们之间的距离为.‎ ‎【例7】 直线l过点A（2，3），且被两平行线l1：3x+4y-7=0和l2：3x+4y+8=0截得的线段长为3，求直线l的方程.‎ ‎【解析】 设直线l的方程为y-3=k（x-2）,即kx-y+3-2k=0.‎ 设l与l1交于点M，作MN⊥l2于点N（如右图），‎ 则两平行线l1，l2间距离 ‎|MN|=‎ 在直角△MNQ中，|MQ|=3，sin∠MQN=‎ ‎∴∠MQN=45°，即直线l与l2的夹角是45°，于是 ‎ 解之得k=或k=-7.‎ ‎∴所求直线方程为x-7y+19=0或7x+y-17=0.‎ ‎【点评】 本题构造一个直角三角形MNQ，利用平行线间的距离求得l2、l间的夹角，进而求出所求直线的斜率，从而得到直线l的方程.如果采用解方程组的方法求交点M、Q，再利用|MQ|=3来解出k,运算量会很大，不信你可以试一试.‎ ‎（3）轨迹法——常见直线的性质种种 直线可看作（具有某属性的）动点的轨迹. 如中垂线轨迹：到两定点距离相等的点的轨迹是连接两点线段的中垂线；平行线轨迹：到定直线距离相等的点的轨迹是一对平行线；到两定点距离的平方差为定值的点的轨迹：是这两点的“定差幂性”；到两相交直线等距离的点的轨迹：是两线交角的两条角平分线等等.‎ ‎【例8】如图，在中，BC边上的高所在的 直线l1的方程为x-2y+1=0,∠A的平分线所在直线l2‎ 的方程为y=0,若点B的坐标为（1，2），求点A、‎ C的坐标.‎ ‎【解析】 设C（x0，y0）,由题意有 ‎ 即A(-1,0).‎ 又∵ l1⊥BC,∴kBC·=-1.‎ ‎∴kBC=-2.‎ ‎∴由点斜式可得BC的直线方程为y-2=-2(x-1),即2x+y-4=0.‎ 又∵l2:y=0(x轴)是∠A的平分线，‎ ‎∴B关于l2的对称点D在直线AC上，易得D点的坐标为（1，-2）.‎ 由两点式可得直线AC的方程为x+y+1=0.‎ 由C（x0，y0）在直线AC和BC上得 ‎ 解得 故所求点A、C的坐标分别为（-1，0）与（5，-6）.‎ ‎【点评】 本题对角线的平分线的应用，体现了对称思想的应用，即角的两边所在直线关于角的平分线所在直线对称.‎ ‎（4）解析法——直线方程与平面几何 通过建立直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，并应用代数的方法来证明几何问题的方法叫做解析法.‎ 用解析法证明几何问题的一般步骤为：‎ ‎（1）根据题设条件，建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量；‎ ‎（2）依题设条件和相关的几何性质进行相关计算；‎ ‎（3）把计算出来的代数结果“翻译”成几何语言，即得出相关的结论.‎ ‎【例9】 过等腰三角形ABC底边BC的中点D，作AC的垂线DE交AC于E，设DE的中点为F，求证：AF⊥BE.‎ ‎【证明】 如图建立平面直角坐标系.‎ 设|AD|=1，|BC|=‎2a，则A、B、C三点坐标分别为 A（0，1），B（-a，0），C（a，0）.‎ 于是可得 从而直线AC的方程为，‎ 直线DE的方程为y=ax.‎ 由 即点E 由中点坐标公式得点F ‎∴‎ ‎∵kBE·kAF =-1,∴AF⊥BE.‎ ‎【点评】 本例采用平面几何方法证明比较困难，这里采用解析法，运用斜率来处理简洁直观，充分体现了解析法的优越性.‎