湖南省永州市2020届高三上学期第二次模拟考试数学（理）答案

湖南省永州市2020届高三上学期第二次模拟考试数学（理）答案

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷 数学（理科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B A B D C C B D B A C C ‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．‎ ‎13． 14． 15． ‎ ‎16．(1)（2分）; (2) （3分）‎ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分12分）解：（1） ‎ ‎ …………………………………………………………………3分 ‎ 在中，由余弦定理可得 ‎ ‎ ‎ ………………………………………………………………6分 ‎（2）‎ ‎ ……8分 ‎ ‎ ，，‎ ‎ ，，‎ ‎ ………………………………………………………10分 ‎ 在中，由正弦定理可得，‎ ‎ ． ………………………………………………12分 ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ A B C F E D ‎（第18题图）‎ x y 解：（1）证明：因为，，‎ 所以，因为，所以．‎ 又因为，，‎ 所以，而，‎ 所以，又，‎ 所以． ………………6分 ‎ ‎（2）解：设直线与平面所成交的余弦值为．‎ 连接，在中，，，‎ ‎，所以，且，，‎ 又因为，，，‎ 所以，．在中，，，所以．‎ ‎ 如图，以点为坐标原点，分别以 为x,y,z轴建立空间直角坐标系，各点 坐标为，，，，‎ 因为，为的中点，所以为的中点，即，‎ ‎ 设平面的法向量，‎ ‎，， ‎ 由，即，‎ 整理得， 令，得，，则．……10分 因为 ，所以，‎ 故直线与平面所成交的正弦值为． ……………12分 ‎19．（本小题满分12分）解：（1）椭圆过点，∴，① ………2分 又因为直线的斜率之积为，可求得，②‎ 联立①②得．‎ ‎∴所求的椭圆方程为． ……………………………………………6分 ‎（2）方法1：由（1）知，． 由题意可设，‎ 令x=m,得．又设 由整理得：．…………………6分 ‎∵，∴，，‎ 所以， ……………………………………………………8分 ‎∴ ，…10分 要使与k无关，只须，此时恒等于4.‎ ‎∴ ……………………………………………………………………………12分 方法2：:设，则，令x=m,得，‎ ‎∴ ‎ 由有，‎ 所以，‎ 要使与无关，只须，此时.‎ ‎∴ …………………………………………………………………………12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：（1）如果，采用逐份检验方式，设检测结果恰有两份次品的概率为 ‎ 检测结果恰有两份次品的概率． ………………………3分 ‎（2）记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为，由已知得，的所有可能取值为 ‎, ‎ ‎= …………………5分 要减少检验次数，则，则 ‎ ‎ ∴，，即， ………………………7分 ‎（3）①两组采用混合检验的检验次数分别为，，则由（2）知，‎ ‎， ，‎ ‎ ………………10分 ②设这组采用混合检验的检验次数分别为，，， ，，，且检验总次数，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以检验总次数的数学期望． …………………12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 证明：(1)当x∈（0,1）时，f′(x)＝＞0，函数f(x)在（0,1）上为增函数．又f(0)＝-e+1<0，f(1)＝3>0，所以存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0．…4分 ‎(2) 当x∈（1，2）时，,‎ 令t=2-x, x=2-t，x∈（1，2），t∈（0，1），‎ ‎, t∈（0，1） ……………………6分 记函数，t∈（0，1）．‎ 则h′(t)＝． ……………………8分 由(1)得，当t∈(0，x0)时，f(t)<0，h′(t)＞0，‎ 当t∈(x0，1)时，f(t) >0，h′(t) <0．‎ 故在(0，x0)上h(t)是增函数，又h(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，h(t)>0，所以h(t)在(0，x0]上无零点．‎ 在(x0，1)上h(t)为减函数，由h(x0)>0，h(1)＝－ln 2<0，知存在唯一t1∈(x0，1)，使h(t1)＝0， ……………………………………………10分 故存在唯一的t1∈(0，1)，使h(t1)＝0．‎ 因此存在唯一的x1＝2－t1∈(1，2)，使g(x1)＝g(2－t1)＝h(t1)＝0．‎ 因为当t∈ (0，1)时，1＋t>0，故与g(2－t)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈（1，2），使g(x1)＝0．‎ 因为x1＝2－t1，t1>x0，所以x0＋x1<2． …………………………………………12分 ‎22．（本小题满分10分）‎ 解：（1）直线的直角坐标方程为，‎ 将，代入方程得 ‎，即， …………………………5分 ‎（2）设直线的极坐标方程为，设，‎ 则，‎ 由，有，‎ 当时，的最大值为． ………………………10分 ‎23．（本小题满分10分）‎ 解：（1）由得，解得 不等式的解集为． ………………………5分 ‎（2）‎ 当且仅当时等号成立，‎ ‎， ………………………7分 ‎ ．‎ 当且仅当，即时等号成立． ………………………10分