甘肃省张掖市临泽县第一中学2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题 含解析

甘肃省张掖市临泽县第一中学2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题 含解析

临泽一中2019-2020学年上学期11月月考试卷 高一数学 ‎（考试时间：120分钟试卷满分：150分）‎ 测试范围：人教必修1，必修2第1章、第2章.‎ 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合 A＝{1，2，－1}，集合 B＝{y | y＝x2，x∈A}，则A∪B＝（ ）‎ A. {1} B. {1，2，‎4} C. {-1，1，2，4} D. {1，4} ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，确定出B，求出A与B的并集即可．‎ ‎【详解】当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；当x时，y，‎ ‎∴B＝{1，4}，‎ ‎∴A∪B＝{-1，1，2，4}．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了并集的定义及其运算，用列举法表示集合时，注意集合中元素的互异性．‎ ‎2.函数f（x）=x–3+ex的零点所在的区间是（ ）‎ A. （0，1） B. （1，3） C. （3，4） D. （4，+∞）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点的性质，依次验证每个选项即可得解.‎ ‎【详解】,‎ ‎,,‎ 所以函数 在区间上有零点.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查的是函数零点存在性定理，是基础题.‎ ‎3.用一个平面去截正方体，则截面形状可以是：①直角三角形，②正五边形，③正六边形，④梯形．正确结论的序号为（ ）‎ A. ①②③ B. ②③ C. ③④ D. ②③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出用一个平面取截正方体得到的几何体的图形，即可判断选项.‎ ‎【详解】画出截面图形如图所示：‎ 可以画出三角形但不是直角三角形，故①错误;‎ 经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形，但此时不可能是正五边形，故②错误;正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故③正确;可以画出梯形但不是直角梯形，故④正确.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查的是截面的定义的理解，考查学生空间想象能力.是基础题 ‎4.已知函数为奇函数,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数性质,利用计算得到,再代入函数计算 ‎【详解】由函数表达式可知，函数在处有定义，则，，则，.故选A.‎ ‎【点睛】解决本题的关键是利用奇函数性质,简化了计算,快速得到答案.‎ ‎5.棱长为4的正方体的所有棱与球O相切，则球的半径为（）‎ A. 2 B. 4 C. 2 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.‎ ‎【详解】因为球O与正方体的所有棱相切，所以该球的直径等于正方体的面对角线长.设球的半径为R，则，.选C.‎ ‎【点睛】考查几何体与球相切的问题，常见的有外接、内切和本题的棱相切.多画图找关系.‎ ‎6.已知是定义在上的奇函数，且在内单调递减，则（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数的性质，可以判断出函数的单调性，再根据对数函数的图象可以得到之间的大小关系，最后利用单调性选出正确答案.‎ ‎【详解】因为是定义在上的奇函数，且在内单调递减，所以是定义在上减函数，因为，所以，故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了对数函数的图象.‎ ‎7.某四棱锥的三视图如图所示，则侧面四个三角形中，最小三角形面积为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出几何体的直观图，判断三角形面积最小的三角形，然后求解三角形的面积即可.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知该几何体是四棱锥是正方体的一部分，‎ 正方体的棱长为2，‎ 为所在棱的中点，‎ 如图，则最小三角形面积是,‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题主要考查学生对三视图之间的关系的理解和画出几何体的直观图，是基础题.‎ ‎8.如图，在△ABC中，AB=2，BC=2，AC=2，E、F、G分别为三边中点，将△BEF，△AEG，△GCF分别沿EF、EG、GF向上折起，使A、B、C重合，记为S，则三棱锥S–EFG的外接球面积为（ ）‎ A. 14π B. 15π C. π D. 2π ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将三棱锥补充成长方体，求出长方体的体对角线长可得三棱锥的外接球的直径，从而求出三棱锥的外接球面积.‎ ‎【详解】由题意得，三棱锥的对棱分别相等，‎ 将三棱锥补充成长方体，‎ 则对角线长分别为，，，‎ 设长方体的长、宽、高分别为，，，‎ 则，，，‎ ‎，‎ ‎ 三棱锥的外接球的直径为，半径为 ，‎ ‎ 三棱锥的外接球的面积为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题主要考查锥外接球的体积，关键是考查学生的转换思想，是中档题 ‎9.由两个圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2，利用圆柱的体积公式即可求出结果。‎ ‎【详解】由三视图可知圆柱的底面半径为1，高为2，‎ 则，‎ 故答案选C。‎ ‎【点睛】本题主要考查根据几何体的三视图求体积问题，考查学生的空间想象能力。‎ ‎10.已知函数，若，则此函数的单调减区间是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的定义域为，根据二次函数的性质，求得在单调递增，在单调递减，再由，得到，利用复合函数的单调性，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，函数满足，‎ 解得，即函数的定义域为，‎ 又由函数在单调递增，在单调递减，‎ 因为，即，所以，‎ 根据复合函数的单调性可得，函数的单调递减区间为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数图象与性质，以及复合函数的单调性的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.设函数则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，则有f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x，解可得x的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数f（x）＝2x﹣2﹣x，‎ 则f（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣f（x），f（x）为奇函数，‎ 又由f（x）＝2x﹣2﹣x，其导数为f′（x）＝（2x+2﹣x）ln2＞0，‎ 则函数f（x）在R上为增函数，‎ 则f（1﹣2x）+f（x）＞0⇒f（1﹣2x）＞﹣f（x）⇒f（1﹣2x）＞f（﹣x）⇒1﹣2x＞﹣x，‎ 解可得：x＜1，‎ 即不等式的解集为（﹣∞，1）；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析f（x）的单调性以及奇偶性，属于基础题．‎ ‎12.如果函数y=f（x）在区间I上是减函数，而函数在区间I上是增函数，那么称函数y=f（x）是区间I上“缓减函数”，区间I叫做“缓减区间”．可以证明函数的单调增区间为，；单调减区间为，．若函数是区间I上“缓减函数”，则下列区间中为函数I的“缓减函数区间”的是（ ）‎ A. （﹣∞，2] B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析函数和的单调区间，结合“缓减函数”的定义分析可得答案.‎ ‎【详解】由题意可知，对于，是二次函数，‎ 其对称轴为，在区间上为减函数，‎ 对于，‎ 在区间和上为减函数，‎ 在和为增函数，‎ 若函数是区间上“缓减函数”，‎ 则在区间上是减函数，‎ 函数在区间上是增函数，‎ 区间为或 ，‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数，对号函数的单调性，同时考查学生对新题型的理解，考查学生的观察，分析能力.是中档题.‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数的图象恒过定点，则的坐标为___．‎ ‎【答案】（2,3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令x-2=0,所以x=2，把x=2代入函数的解析式得定点的纵坐标，即得解.‎ ‎【详解】令x-2=0,所以x=2，‎ 把x=2代入函数的解析式得.‎ 所以函数的图像过定点A（2,3）.‎ 故答案为（2,3）‎ ‎【点睛】本题主要考查指数型函数图像的定点问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎14.设函数 ，则=________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ 因为 ，所以 ，故答案为 .‎ ‎【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两个层次：首先求出 的值，进而得到的值.‎ ‎15.如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是‎3 cm，则圆台O′O的母线长为________cm.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x，利用相似知识，求出圆台的母线长．‎ ‎【详解】：∵截得的圆台上、下底面的面积之比为1：16， ∴圆台的上、下底面半径之比是1：4， 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x、4x， 根据相似三角形的性质得 ． ‎ 解此方程得y=9． 所以圆台的母线长为‎9cm． 故答案为‎9cm．‎ ‎【点睛】本题考查圆锥与圆台的关系，考查计算能力．属基础题.‎ ‎16.已知P为△ABC所在平面外的一点，PC⊥AB，PC=AB=2，E，F分别为PA和BC的中点，则直线EF与PC所成的角为___________．‎ ‎【答案】45°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取的中点为,证明为与所成的角，在中求.‎ ‎【详解】‎ 取的中点为，连接,,‎ E，F分别为PA和BC的中点,‎ 且且,‎ 为与所成的角，为与所成的角，‎ ‎, ‎ ‎,‎ 又,‎ ‎,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查的是异面直线所成角的求法，作出异面直线所成角是关键，是中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.如图，在长方体ABCD–A1B‎1C1D1中，AB=BC，AA1已知三棱锥D1一BCD的所有顶点在同一个球面上，求这个球的体积．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三棱锥的外接球与长方体的外接球是同一个，则长方体的体对角线即是外接球的直径，再代入球的体积公式即可.‎ ‎【详解】因为三棱锥的所有顶点所在的球面与长方体的八个顶点所在的球面相同，‎ 这个球的直径，半径，‎ 所以所求球的体积为．‎ ‎【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有(1)三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；(2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.‎ ‎18.（1） ‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）2（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用对数的运算法则求解即可，化简过程注意避免计算错误；（2）直接利用幂指数的运算法则化简即可，化简过程一定要细心.‎ ‎【详解】（1）原式===2 ‎ ‎(2) 原式 ‎【点睛】本题主要考查对数的运算法则、幂指数的运算法则，属于简单题.求解对数、幂指数的化简求值题时，注意两点：一是熟练掌握运算法则；二是注意避免出现计算错误.‎ ‎19.已知函数，‎ ‎（Ⅰ）若函数为偶函数，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上的最小值是，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由可构造方程求得结果；（Ⅱ）可确定为开口方向向上，对称轴为的二次函数；分别在、和三种情况下得到单调性，从而利用最小值构造方程求得的值.‎ ‎【详解】（Ⅰ）为偶函数 ，即 ‎（Ⅱ）由题意知：为开口方向向上，对称轴为的二次函数 ‎（1）当，即时，在上单调递增 ‎，解得：（舍）‎ ‎（2）当，即时，在上递减，在上递增 ‎，解得：或 ‎（3）当，即时，在上单调递减 ‎，解得：（舍）‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解参数值、根据二次函数在区间内的最值求解参数值的问题；关键是能够通过对二次函数对称轴位置的讨论得到函数单调性，进而利用最值构造方程求得结果.‎ ‎20.已知二次函数f（x）的值域为[–9，+∞），且不等式f（x）<0的解集为（–1，5）．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）求函数y=f（）的值域．‎ ‎【答案】（1）f（x）=x2–4x–5（2）值域为[–9，–5]‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用待定系数法求得函数 的解析式.‎ ‎(2)利用换元法求出函数的定义域，再球函数的值域.‎ ‎【详解】（1）函数f（x）是二次函数，设为f（x）=ax2+bx+c，‎ 不等式f（x）<0的解集为（–1，5），‎ 则–1和5是对应方程ax2+bx+c=0的两不等实根，且a>0，‎ 所以由根与系数关系可得：‎ ‎，①‎ ‎，②‎ 因为二次函数f（x）的值域为[–9，+∞），‎ 则有9；函数的对称轴为：x2，‎ 即函数的顶点坐标为：（2，–9），即‎4a+2b+c=–9，③‎ 由①②③可得：a=1，b=–4，c=–5，‎ 所以二次函数f（x）=x2–4x–5．‎ ‎（2）函数y=f（）中，令t，则t∈[0，3]，‎ 所以函数y=f（t）=t2–4t–5=（t–2）2–9，‎ 当t=2时，f（t）取得最小值为f（2）=–9，‎ 当t=0时，f（t）取得最大值为f（0）=–5，‎ 所以f（t）的值域为[–9，–5]，‎ 即函数y值域为[–9，–5]．‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法（待定系数法）及函数定义域值域的求法，要求学生仔细审题，考查学生的计算能力，是难题.‎ ‎21.已知一次函数的图象过点和，为幂函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数与的解析式；‎ ‎（Ⅱ）当时，解关于的不等式：．‎ ‎【答案】（I），；（II）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）设出函数的解析式，代入法求出f（x）的解析式，由幂函数定义求出g（x）的解析式即可；（Ⅱ）讨论其判别式得解集即可 ‎【详解】（I）设，‎ ‎，解得，则 为幂函数，则，故.‎ ‎（II）.‎ 当或时，不等式的解集为或 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 ‎【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查解二次不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（）求函数的定义域，值域，并指出其奇偶性，并作出其大致图像（不描点）．‎ ‎（）判断函数在的单调性，并证明你的结论（用定义证明）．‎ ‎【答案】（），，偶函数；（）单调递减．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（）由，得定义域为，由，得值域为，由，是偶函数，结合函数性质可得图象；（2）设，由，可得在上单调减．‎ ‎【详解】（），分母不为，‎ ‎∴，定义域为，‎ ‎，‎ 值域为，‎ ‎，‎ ‎∴是偶函数．‎ ‎（）单调递减，‎ 设，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴在上单调减．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），‎ ‎ 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数.‎