人教A版数学必修二1-2-3空间几何体的直观图

人教A版数学必修二1-2-3空间几何体的直观图

§1.2.3 空间几何体的直观图 一、教材分析 “空间几何体的直观图”只介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.用斜二测画法画直观图，关键是掌 握水平放置的平面图形直观图的画法，这是画空间几何体直观图的基础.因此，教科书安排了两个例题，用 以说明画水平放置的平面图形直观图的方法和步骤.在教学中，要引导学生体会画水平放置的多边形的直观 图的关键是确定多边形顶点的位置.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形 来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.而在平面上确定点的位置， 可以借助于平面直角坐标系，确定了点的坐标就可以确定点的位置.因此，画水平放置的平面直角坐标系应 当是学生首先要掌握的方法. 值得注意的是直观图的教学应注意引导学生正确把握图形尺寸大小之间的关系；另外，教学中还可以 借助于信息技术向学生多展示一些图片，让学生辨析它们是平行投影下的图形还是中心投影下的图形. 二、教学目标 1．知识与技能 （1）掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图. （2）采用对比的方法了解在平行投影下面空间图形与在中心投影下面空间图形两种方法的各自特点. 2．过程与方法 学生通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图. 3．情感态度与价值观 （1）提高空间想象力与直观感受. （2）体会对比在学习中的作用. （3）感受几何作图在生产活动中的应用. 三、重点难点 教学重点：用斜二测画法画空间几何体的直观图. 教学难点：直观图和三视图的互化. 四、课时安排 1 课时 五、教学设计 （一）导入新课 思路 1.画几何体时，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系，怎样画 呢？教师指出课题：直观图. 思路 2.正投影主要用于绘制三视图，在工程制图中被广泛采用，但三视图的直观性较差，因此绘制物 体的直观图一般采用斜投影或中心投影.中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图方法比较复 杂，又不易度量，因此在立体几何中通常采用斜投影的方法来画空间图形的直观图.把空间图形画在纸上， 是用一个平面图形来表示空间图形，这样表达的不是空间图形的真实形状，而是它的直观图. （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①如何用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图？ ②上述画直观图的方法称为斜二测画法，请总结其步骤. ③探求空间几何体的直观图的画法.用斜二测画法画长、宽、高分别是 4 cm、3 cm、2 cm 的长方体 ABCD—A′B′C′D′的直观图. ④用斜二测画法画水平放置的平面图形和几何体的直观图有什么不同？并总结画几何体的直观图的 步骤. 活动：①和③教师首先示范画法，并让学生思考斜二测画法的关键步骤,让学生发表自己的见解，教师 及时给予点评. ②根据上述画法来归纳. ③让学生比较两种画法的步骤. 讨论结果：①画法：1°如图 1（1），在正六边形 ABCDEF 中，取 AD 所在直线为 x 轴，对称轴 MN 所在直线为 y 轴，两轴相交于点 O.在图 1(2)中，画相应的 x′轴与 y′轴，两轴相交于点 O′，使∠x′O′y′=45°. 2°在图 1(2)中，以 O′为中点，在 x′轴上取 A′D′=AD，在 y′轴上取 M′N′= 2 1 MN.以点 N′为中点画 B′C′ 平行于 x′轴，并且等于 BC；再以 M′为中点画 E′F′平行于 x′轴，并且等于 EF. 3°连接 A′B′，C′D′，D′E′，F′A′，并擦去辅助线 x′轴和 y′轴，便获得正六边形 ABCDEF 水平放置的直 观图 A′B′C′D′E′F′〔图 1(3)〕. 图 1 ②步骤是：1°在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O.画直观图时，把它们画成对 应的 x′轴与 y′轴，两轴交于点 O′，且使∠x′O′y′=45°(或 135°)，它们确定的平面表示水平面. 2°已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴或 y′轴的 线段. 3°已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的 一半. ③画法：1°画轴.如图 2，画 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°. 图 2 2°画底面.以点 O 为中点，在 x 轴上取线段 MN，使 MN=4 cm;在 y 轴上取线段 PQ，使 PQ= 2 3 cm.分 别过点 M 和 N 作 y 轴的平行线，过点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为 A、B、C、D，四边 形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD. 3°画侧棱.过 A、B、C、D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA′、 BB′、CC′、DD′. 4°成图.顺次连接 A′、B′、C′、D′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到长 方体的直观图. 点评：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取，用斜二测画法画图的角度 也可以自定，但是要求图形具有一定的立体感. ④画几何体的直观图时还要建立三条轴，实际是建立了空间直角坐标系，而画水平放置平面图形的直 观图实际上建立的是平面直角坐标系.画几何体的直观图的步骤是： 1°在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox、Oy，再作 Oz 轴，使∠xOy=90°,∠ yOz=90°. 2°画出与 Ox、Oy、Oz 对应的轴 O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′=45°，∠y′O′z′=90°,x′O′y′所 确定的 平面表示水平平面. 3°已知图形中，平行于 x 轴、y 轴和 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′轴、y′轴和 z′轴的线 段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. 4°已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原 来的一半. 5°擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 斜二测画法的作图技巧: 1°在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊 的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称直线为坐标轴或图形的对称点为原点或利用原有 垂直正交的直线为坐标轴等. 2°在原图中与 x 轴或 y 轴平行的线段在直观图中依然与 x′轴或 y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的 线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时作坐标轴的平行线为辅助线.原图中的曲线段可以通过取一些 关键点，利用上述方法作出直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出. 3°在画一个水平放置的平面时，由于平面是无限延展的，通常我们只画出它的一部分表示平面，一 般地，用平行四边形表示空间一个水平平面的直观图. （三）应用示例 思路 1 例 1 用斜二测画法画水平放置的圆的直观图. 活动：学生回顾讨论斜二测画法的步骤，自己画出来后再互相交流.教师适当点评. 解：（1）如图 3(1)，在⊙O 上取互相垂直的直径 AB、CD，分别以它们所在的直线为 x 轴与 y 轴，将线段 AB n 等分.过各分点分别作 y 轴的平行线，交⊙O 于 E，F，G，H，…，画对应的 x′轴和 y′轴，使∠x′O′y′=45°. 图 3 (2)如图 3(2)，以 O′为中点，在 x′轴上取 A′B′=AB，在 y′轴上取 C′D′= 2 1 CD，将 A′B′ n 等分，分别以这些 分点为中点，画与 y′轴平行的线段 E′F′，G′H′，…，使 E′F′= EF2 1 ,G′H′= GH2 1 ，…. （3）用光滑曲线顺次连接 A′，D′，F′，H′，…，B′，G′，E′，C′，A′并擦去辅助线，得到圆的水平放置的 直观图〔图 3(3)〕. 点评：本题主要考查用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图. 变式训练 1.画水平放置的等边三角形的直观图. 答案：略. 2.关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（ ） A.原图形中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x′轴，长度不变 B.原图形中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y′轴，长度变为原来的 2 1 C.在画与直角坐标系 xOy 对应的 x′O′y′时，∠x′O′y′必须是 45° D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同 分析：在画与直角坐标系 xOy 对应的 x′O′y′时，∠x′O′y′也可以是 135°，所以 C 不正确. 答案：C 例 2 如图 4，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图. 图 4 活动：让学生由三视图还原为实物图，并判断该几何体的结构特征.教师分析： 由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并 且圆锥的底面与圆柱的上底面重合.我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥. 解：画法： （1）画轴.如图 5（1），画 x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy=45°,∠xOz=90°. (1) (2) 图 5 （2）画圆柱的两底面，仿照例 2 画法，画出底面⊙O.在 z 轴上截取 O′，使 OO′等于三视图中相应高度， 过 O′作 Ox 的平行线 O′x′,Oy 的平行线 O′y′,利用 O′x′与 O′y′画出底面⊙O′（与画⊙O 一样）. （3）画圆锥的顶点.在 Oz 上截取点 P，使 PO′等于三视图中相应的高度. （4）成图.连接 PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图〔图 5(2)〕. 点评： 空间几何体的三视图与直观图有着密切的联系，我们能够由空间几何体的三视图得到它的直 观图.同时，也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图. 变式训练 图 6 所示是一个奖杯的三视图，你能想象出它的几何结构，并画出它的直观图吗？ 图 6 答案：奖杯的几何结构是最上面是一个球，中间是一个四棱柱，最下面是一个棱台拼接成的简单组合 体.其直观图略. 思路 2 例 1 如图 7 所示，梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=4 cm，CD=2 cm，∠DAB=30°，AD=3 cm，试画出它 的直观图. 图 7 活动：利用斜二测画法作该梯形的直观图，要注意在斜二测画法中，要有一些平行于原坐标轴的线段 才好按部就班地作图，所以先在原坐标系中过Ｄ作出该点在 x 轴的垂足，则对应地可以作出线段ＤＥ的直 观图，进而作出整个梯形的直观图. 解：步骤是：（1）如图 8 所示，在梯形 ABCD 中，以边 AB 所在的直线为 x 轴，点 A 为原点，建立平面直 角坐标系 xOy.如图 9 所示，画出对应的 x′轴，y′轴，使∠x′A′y′=45°. （2）如图 8 所示，过 D 点作 DE⊥x 轴，垂足为 E.在 x′轴上取 A′B′=AB=4 cm，A′E′=AE= 32 3 cm ≈2.598 cm； 过 E′作 E′D′∥y′轴，使 E′D′= ED2 1 ，再过点 D′作 D′C′∥x′轴，且使 D′C′=CD=2 cm. 图 8 图 9 图 10 （3）连接 A′D′、B′C′、C′D′，并擦去 x′轴与 y′轴及其他一些辅助线，如图 10 所示，则四边形 A′B′C′D′就 是所求作的直观图. 点评：本题考查利用斜二测画法画空间图形的直观图.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当 的直角坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，便于画点；原图中的共线点， 在直观图中仍是共线点；原图中的共点线，在直观图中仍是共点线；原图中的平行线，在直观图中仍是平 行线.本题中，关键在于点 D′位置的确定，这里我们采用作垂线的方法，先找到垂足 E′，再去确定 D′的位 置. 变式训练 1.如图 11 所示，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＞BC，该梯形绕边 AD 所在直线 EF 旋转一周得一 几何体，画出该几何体的直观图和三视图. 图 11 答案：该几何体是由一个圆锥和一个圆柱拼接而成的简单组合体，其直观图如图 12 所示，三视图如 图 13 所示. 图 12 图 13 2.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为 4，则此正方形的面积是（ ） A.16 B.64 C.16 或 64 D.都不对 分析：根据直观图的画法，平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段变为原来的一半，于是长 为 4 的边如果平行于 x 轴，则正方形边长为 4，面积为 16，边长为 4 的边如果平行于 y 轴，则正方形边长 为 8，面积是 64. 答案：C （四）知能训练 1.利用斜二测画法画直观图时： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形. 以上结论中，正确的是___________. 分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图 还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于 y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正 方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错. 答案：①② 2.一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为 2 的正三角形，则原三角形的面积是（ ） A. 62 B. 64 C. 3 D.都不对 分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的 22 倍，而正三角形的高是 3 ，所以原三角形的高为 62 ，于是其面积为 2 1 ×2× 62 = 62 . 答案：A 3.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为 45°，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则该平面图形的 面积等于（ ） A. 2 2 2 1  B. 2 21 C. 21 D. 22 分析：平面图形是上底长为 1，下底长为 21 ，高为 2 的直角梯形.计算得面积为 22 . 答案：D 4.斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点 M(4,4)在直观图中对应点是 M′,则点 M′的找法是___________. 分析：在 x′轴的正方向上取点 M1，使 O′M1=4，在 y′轴上取点 M2，使 O′M2=2，过 M1 和 M2 分别作平 行于 y′轴和 x′轴的直线的交点就是 M′. 答案：在 x′O′y′中，过点（4，0）和 y′轴平行的直线与过（0，2）和 x′轴平行的直线的交点即是. 5.根据图 14 所示物体的三视图（阴影部分为空洞）描绘出物体的大致形状. 图 14 分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中 间有一个圆形的孔.从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔. 解：由此可以推测该物体大致形状如图 15 所示. 图 15 （五）拓展提升 问题：如图 16 所示,已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图. 图 16 探究：由这个三视图可以看出，该几何体是由一个长方体和一个以直四棱柱的上底面为底面的四棱锥 拼接而成. 图 17 解：步骤是： （1）作出长方体的直观图 ABCD—A1B1C1D1，如图 17(1)所示. （2）再以上底面 A1B1C1D1 的对角线交点为原点建立空间直角坐标系，如图 17(2)所示，在 z′上取点 V′， 使得 V′O′的长度为棱锥的高，连接 V′A1、V′B1、V′C1、V′D1 得到四棱锥的直观图，如图 17（2）. （3）擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图 17(3). （六）课堂小结 本节课学习了： 1.直观图的概念. 2.直观图的画法. 3.直观图和三视图的关系. 4.规律总结： （1）三视图的排列规则是：先画正视图，俯视图安排在正视图的正下方，长度与正视图一样，侧视 图安排在正视图的正右方，高度与正视图一样.正视图反映物体的主要形状特征，是三视图中最重要的视图， 俯视图与侧视图共同反映物体的宽度要相等.正视图又称为主视图，侧视图又称为左视图. (2)画三视图时，要遵循“长对正，高平齐，宽相等”的原则.若相邻两个几何体的表面相交，表面的交线 是它们原分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出. (3)用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法，而画水平放置的平面图 形的关键是确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连接这些顶点就可画出多边形来，因 此平面多边形水平放置时，直观图的画法就可归结为确定点的位置的画法. (4)如果同一个空间图形摆放的位置不同，那么画出的三视图会有所不同，画出的直观图也是会有所不 同. （七）作业 习题 1.2 A 组 第 5、6 题.