西城区2016届高三一模数学（理）试题

西城区2016届高三一模数学（理）试题

‎ 北京市西城区2016年高三一模试卷 ‎ 数 学（理科） 2016.4‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎1．设集合，集合，则（ ）‎ ‎ （A） ‎ ‎（B）‎ ‎ （C）‎ ‎（D）‎ ‎2. 在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，则曲线C是（ ） ‎ ‎（A）关于轴对称的图形 ‎ ‎ （B）关于轴对称的图形 ‎ ‎（C）关于原点对称的图形 ‎ ‎（D）关于直线对称的图形 ‎ ‎3. 如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） ‎ ‎ （A） ‎ ‎ （B）‎ ‎ （C）‎ ‎ （D）‎ ‎4. 在平面直角坐标系中，向量＝(1, 2)，＝(2, m) ， 若O, A, B三点能构成三角形，则（ ） ‎ ‎ （A）‎ 输出 是 否 ‎ 输入A,‎ 开始 结束 ‎（B）‎ ‎ （C）‎ ‎（D）‎ ‎5. 执行如图所示的程序框图，若输入的分别为0, 1，‎ ‎ 则输出的（ ）‎ ‎（A）4‎ ‎（B）16‎ ‎（C）27‎ ‎（D）36‎ ‎6. 设，则“”是“”的（ ）‎ ‎ （A）充分而不必要条件 ‎ ‎ （B）必要而不充分条件 ‎ （C）充分必要条件 ‎ ‎ （D）既不充分也不必要条件 O x y ‎7. 设函数（，，是常数，，），且函数的部分图象如图所示，则有（ ）‎ ‎ （A） ‎ ‎ （B） ‎ ‎ （C）‎ ‎ （D）‎ B B1‎ C D C1‎ D1‎ A1‎ A ‎8. 如图，在棱长为的正四面体中，点分别在棱,,上，且平面平面，为内一点，记三棱锥的体积为V，设，对于函数，则（ ）‎ ‎ （A）当时，函数取到最大值 ‎ （B）函数在上是减函数 ‎ （C）函数的图象关于直线对称 ‎ （D）存在，使得（其中为四面体的体积）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．‎ ‎9. 在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____.‎ 侧(左)视图 正(主)视图 俯视图 ‎2‎ ‎2‎ ‎10．已知等差数列的公差， ，，则____；记的前项和为，则的最小值为____.‎ ‎11．若圆与双曲线C：的渐近线相切，则_____；双曲线C的渐近线方程是____.‎ ‎12. 一个棱长为4的正方体，被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积是____.‎ ‎13. 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A, B, C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，且甲不能参加A, B项目，乙不能参加B, C项目，那么共有____种不同的选拔志愿者的方案.（用数字作答）‎ s B ‎14. 一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．‎ D ss C s A s ‎ ‎ ‎（图1） （图2）‎ 根据图1，有以下四个说法：‎ 在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加；‎ 在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6 km；‎ 大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶；‎ 在图2的四条曲线（注：S为初始记录数据位置）中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹.‎ 其中，所有正确说法的序号是_____.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分13分）‎ 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 设，.‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎ （Ⅱ）求的值.‎ ‎16．（本小题满分13分）‎ 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）.‎ O ‎ 体育成绩 ‎ 45 55 65 75 85 95‎ u ‎14‎ ‎2‎ u u u u u u u u u ‎4‎ ‎12‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎8‎ 各分数段人数 ‎（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”. 已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数；‎ ‎（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；‎ ‎（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中．当数据的方差最小时，写出的值.（结论不要求证明）‎ ‎（注：，其中为数据的平均数）‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 如图，四边形是梯形，，，四边形为矩形，已知，，，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；‎ A B C D D1‎ C1‎ ‎（Ⅲ）设为线段上的一个动点（端点除外），判断直线与直线能否垂直？并说明理由.‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ 已知函数，且. ‎ ‎（Ⅰ）求的值及的单调区间；‎ ‎ （Ⅱ）若关于x的方程存在两不相等个正实数根，证明：．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆：的长轴长为，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；‎ ‎（Ⅱ）设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且在y轴的右侧，若，求四边形面积的最小值.‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 设数列和的项数均为m，则将数列和的距离定义为.‎ ‎（Ⅰ）给出数列和数列的距离； ‎ ‎（Ⅱ）设为满足递推关系的所有数列的集合，和为A中的两个元素，且项数均为m，若，， 和的距离小于，求m的最大值；‎ ‎（Ⅲ）记是所有7项数列或的集合，，且中任何两个元素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16.‎ 北京市西城区2016年高三一模试卷参考答案及评分标准 ‎ 高三数学（理科） ‎ ‎ 2016.4‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.‎ ‎1．C 2．A 3．B 4．B ‎ ‎5．D 6．A 7．D 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. ‎ ‎9． 10． ‎ ‎11． 12． ‎ ‎13．21 14． 注：第10，11题第一问2分，第二问3分；第14题多选、少选或错选均不得分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎15．（本小题满分13分） ‎ ‎（Ⅰ）解：因为 ，‎ ‎ 由正弦定理 ，‎ ‎ 得 . ………………3分 ‎ 由余弦定理 及，， ………………5分 ‎ 得 ，‎ ‎ 所以 ， ‎ ‎ 解得 . ………………7分 ‎（Ⅱ）解：由，得. ‎ ‎ 所以 . ………………8分 ‎ 即， ………………11分 ‎ 所以，‎ ‎ 所以. ………………13分 ‎16．（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，………………2分 ‎ ‎ 所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有人. ……4分 ‎ ‎（Ⅱ）解：设 “至少有1人体育成绩在”为事件， ………………5分 由题意，得， ‎ ‎ 因此至少有1人体育成绩在的概率是. ………………9分 ‎ ‎（Ⅲ）解：, , 的值分别是为, , ；或, , . ………………13分 ‎17．（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）证明：由为矩形，得，‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面， ……………… 2分 同理平面，‎ 又因为，‎ 所以平面平面, ……………… 3分 又因为平面，‎ 所以平面. ……………… 4分 ‎（Ⅱ）解：由平面中，，，得，‎ 又因为，，‎ 所以平面，‎ 所以，‎ 又因为四边形为矩形，且底面中与相交一点，‎ 所以平面，‎ 因为，‎ 所以平面.‎ 过在底面中作，所以两两垂直，以分 别为轴、轴和轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 6分 则，，，，，，‎ 所以,.‎ A B C D D1‎ C1‎ P ‎ y x z 设平面的一个法向量为， ‎ ‎ 由，，得 ‎ 令，得. ………………8分 易得平面的法向量.‎ ‎ 所以.‎ 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. ………………10分 ‎（Ⅲ）结论：直线与不可能垂直. ………………11分 证明：设，，‎ 由，，，， ‎ ‎ 得，，，，‎ ‎ . ………………12分 ‎ 若，则，即，‎ ‎ 因为，‎ ‎ 所以，解得，这与矛盾.‎ ‎ 所以直线与不可能垂直. ………………14分 ‎18.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：对求导，得， ………………2分 ‎ 所以，解得. ………………3分 ‎ 故，. ‎ ‎ 令，得.‎ 当变化时，与的变化情况如下表所示：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 所以函数的单调减区间为，单调增区间为. ………………5分 ‎（Ⅱ）解：方程，即为，‎ ‎ 设函数. ………………6分 ‎ 求导，得． ‎ ‎ 由，解得，或. ………………7分 ‎ 所以当变化时，与的变化情况如下表所示：‎ ‎0‎ ‎↘‎ ‎↗‎ ‎ 所以函数在单调递减，在上单调递增. ………………9分 ‎ 由，得.‎ 又因为，‎ 所以.‎ 不妨设（其中为的两个正实数根），‎ ‎ 因为函数在单调递减，且，， ‎ 所以. ………………11分 ‎ 同理根据函数在上单调递增，且，‎ ‎ 可得，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 即 . ………………13分 ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎（Ⅰ）解：由题意，椭圆C：， ………………1分 ‎ 所以，，‎ ‎ 故，解得，‎ ‎ 所以椭圆的方程为. ………………3分 因为，‎ ‎ 所以离心率. ………………5分 ‎（Ⅱ）解：设线段的中点为，‎ ‎ 因为，所以， ………………7分 ‎ 由题意，直线的斜率存在，设点，‎ ‎ 则点的坐标为，‎ ‎ 且直线的斜率， ………………8分 ‎ 所以直线的斜率为， ‎ ‎ 所以直线的方程为：. ………………10分 ‎ 令，得，则，‎ ‎ 由，得，‎ ‎ 化简，得. ………………11分 ‎ 所以四边形的面积 ‎ ………………12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 当且仅当，即时等号成立.‎ ‎ 所以四边形面积的最小值为. ………………14分 ‎ ‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）解：由题意，数列和数列的距离为7. ………………2分 ‎（Ⅱ）解：设，其中，且.‎ ‎ 由，得，，，，‎ ‎ 所以， ‎ ‎ 因此A中数列的项周期性重复，且每隔4项重复一次. ………………4分 ‎ 所以中，，，，（），‎ ‎ 所以中，，，，（）. ……………5分 ‎ 由，得项数m越大，数列和的距离越大. ‎ ‎ 由， ………………6分 ‎ 得.‎ ‎ 所以当时，.‎ ‎ 故m的最大值为. ………………8分 ‎（Ⅲ）证明：假设中的元素个数大于或等于17个.‎ ‎ 因为数列中，或，‎ ‎ 所以仅由数列前三项组成的数组有且只有8个：，，，，，，，.‎ ‎ 那么这17个元素（即数列）之中必有三个具有相同的. ………………10分 ‎ 设这三个数列分别为；；‎ ‎ ，其中，，. ‎ ‎ 因为这三个数列中每两个的距离大于或等于3，‎ ‎ 所以与中，中至少有3个成立.‎ 不妨设.‎ 由题意，得中一个等于0，而另一个等于1.‎ 又因为或，‎ ‎ 所以和中必有一个成立，‎ ‎ 同理，得和中必有一个成立，和中必有一个成立， ‎ ‎ 所以“中至少有两个成立”或“中至少有两个成立”中必有一个成立.‎ ‎ 所以和中必有一个成立.‎ ‎ 这与题意矛盾，‎ ‎ 所以中的元素个数小于或等于16. ………………13分