辽宁省葫芦岛市2020届高三第一次模拟考试文科数学试题

辽宁省葫芦岛市2020届高三第一次模拟考试文科数学试题

‎2020年学 校 姓 名 考 号 ‎………………………………………………装…………订…………线………………………………………………‎ 葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试 数 学（供文科考生使用）‎ 注意事项:‎ ‎1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.‎ ‎2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．‎ ‎3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．‎ ‎4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．‎ 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本题共12个小题,每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．在复平面内，复数对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2． , 则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量，且，则m=‎ A． B．‎2 ‎ C． D．‎ ‎4．某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有120,150,180,150名高三学生参加某次数学调研考试．为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案①：从这600名学生的试卷中抽取一个容量为200的样本进行分析；方案②：丙校参加调研考试的学生中有30名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取10份试卷进行分析．完成这两种方案宜采用的抽样方法依次是 ‎ A．分层抽样法、系统抽样法 B．分层抽样法、简单随机抽样法 C．系统抽样法、分层抽样法 D．简单随机抽样法、分层抽样法 ‎5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的概率为 ‎5题 开始 a=2,i=1‎ i >2020?‎ 是 结束 输出a i=i+1‎ a=‎ A． B． C． D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，则输出的值为 ‎ A．-3 B． C． D．2‎ ‎7．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，‎ 长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思 是：“现有一根金锤，长度为5尺，头部的1尺，重4斤；‎ 尾部的1尺，重2斤；且从头到尾，每一尺的重量构成 等差数列．”则下列说法正确的是 A. 该金锤中间一尺重3.5斤 B. 中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的3倍 C. 该金锤的重量为15斤 D. 该金锤相邻两尺的重量之差的为1.5斤 ‎8．已知命题p：;命题q：若,则a>b.下列命题为真命题的是 A． B． C． D．‎ ‎9题 ‎9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是 某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10．函数图象的大致形状是 ‎ A B C D ‎11．已知双曲线C：的两个焦点为，，过且与x轴垂直的直线交C的渐近线于A，B两点.若为直角三角形，则双曲线C的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎12. 关于x的方程有四个不同的实数根，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围 A． B． ‎ C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分，共20分.‎ ‎13．函数 的单调递增区间是　 　．‎ ‎14. 设变量x,y满足约束条件，则的最小值为 ．‎ ‎15. 已知，且，则的最小值为 ．‎ ‎16．已知，函数若对任意，，恒成立，则m的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 已知函数.‎ ‎（1）求的值和的最小正周期；‎ ‎（2）设锐角的三边a，b，c所对的角分别为A,B,C，且，，求b+c的取值范围.‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 如图，在三棱柱中，平面，分别是线段AB，的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）当三棱柱的各棱长均为2时，求三棱锥的体积.‎ ‎19．(本小题满分12分)来源:学科网ZXXK]‎ 频率/组距 ‎0.04‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎0.30‎ ‎0.32‎ ‎0.10‎ ‎0.06‎ ‎4‎ ‎8‎ 家庭人均年纯收入（千元）‎ ‎2020年是具有里程碑意义的一年,我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标;2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年。(总书记二〇二〇年新年贺词) 截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%;连续7年每年减贫规模都在1000万人以上;确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤。某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.‎ ‎（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；‎ ‎（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表:‎ 月份/2019（时间代码x）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 人均月纯收入（元）‎ ‎275‎ ‎365‎ ‎415‎ ‎450‎ ‎470‎ ‎485‎ 由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系,请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1,2,3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的,从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由； ‎ ①可能用到的数据：xiyi=9310;‎ ②参考公式：线性回归方程=x+中，=,=-.‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知，是椭圆C：的左右两个焦点，过的直线与C交于P，Q两点（在第一象限），的周长为8，C的离心率为.‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设，为C的左右顶点，直线的斜率为，的斜率为，求的取值范围.‎ 21． ‎(本小题满分12分)‎ 已知函数f (x)=mex(x+1)(m≠0),g(x)=ex+x+ax2.‎ ‎（1）若f (x)在(0,m)处的切线的方程为y=2x+n,求m,n的值并求此时f (x)的最值；‎ ‎（2）在（1）的条件下,不等式f (x)³g (x)在x³0时恒成立，求实数a的取值范围.‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请写清题号。‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系. 直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知与相切，求的值.‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，且，证明：.‎ ‎2020年学 校 姓 名 考 号 ‎………………………………………………装…………订…………线………………………………………………‎ 葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试 数学（文）‎ 参考答案及评分标准 第I卷（选择题)‎ 一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）‎ ‎1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C 8．B 9．A 10．C 11．A 12．B 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题(本题共4个小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．(2, +) 14．1 15． 16．‎ 三、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题，共60分。‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 由题 ‎.--------------------------4‎ ‎（1）,.--------------6‎ ‎（2）,,所以,---------------8‎ 在中,由余弦定理可得：‎ ‎,即,-------------------10‎ 又因为在中,,‎ 所以,综上可得：的取值范围是.--------------------------------------12‎ 18． ‎(本小题满分12分)‎ ‎(1)证明：连接与相交于点，连接，‎ 由侧面为平行四边形可得是线段的中点，‎ 又因为是线段的中点，∴---------------------3‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.----------------------------------------6‎ ‎(2)∵平面，平面，∴‎ ‎∵，是线段的中点，∴‎ ‎∵，平面，∴平面，‎ ‎∴线段为三棱锥的高，‎ ‎∵，∴，-------------------------8‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ ‎∵三棱柱的各棱长均为2，∴四边形为正方形，‎ ‎∴，-------------10‎ ‎∴----------------------12‎ ‎19．(本小题满分12分)[来源 （1） 解：由频率之和为1可得： 家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为0.18,所以频率分布直方图如下：‎ 频率/组距 ‎0.04‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎8‎ 家庭人均年纯收入（千元）‎ ‎0.10‎ ‎0.18‎ ‎0.30‎ ‎0.32‎ ‎0.06‎ ‎(补图)------------------------------------------------------------------------------------------------2‎ 中位数为：5+=5+=5.133(千元)------------------------------4‎ ‎(或：设中位数为x，则=,解得：x=5.133)‎ 平均数=2.5´0.04+3.5´0.10+4.5´0.32+5.5´0.30+6.5´0.18+7.5´0.06=5.16(千元)-----------------------------6‎ ‎（2）解：由题意得：==3.5,===410‎ xi2=1+4+9+16+25+36=91 6´2=6´3.52=73.5‎ 所以：=====40‎ =-=410-40´3.5=270‎ 所以回归直线方程为：=40x+270‎ 设y为2020年该家庭人均月纯收入，则x=13,14,15时，y=(40x+270),即2020年前三月总收入为：(790+830+870)=830元；‎ 当x=16,17,…,24时，y=(40x+270)=32x+216, 即2020年从4月份起的家庭人均月纯收入依次为：728，760,…,984,构成以32为公差的等差数列，所以4月份至12月份的总收入为：=7704‎ 所以2020年该家庭总收入为：7704+830=8534>8000‎ 所以该家庭2020年能达到小康标准-------------------------------------------------------------12‎ ‎:学科网ZXXK]‎ ‎20．(本小题满分12分)‎ ‎（1）由条件得解得，‎ 所以的方程为.--------------------------4‎ ‎（2）由（1）得，，，‎ 当直线的斜率不存在时，，，‎ ‎，.-------------------------6‎ 当直线的斜率存在时，此时直线的斜率不为0，设直线的方程为，‎ 设，，由得 ‎，‎ 则，，‎ ‎∴‎ ‎.∴.---------------------------------8‎ 因为点在第一象限，所以，（为椭圆的上顶点）‎ ‎∴，-----------------10‎ ‎∴.------------------------12‎ 21． ‎(本小题满分12分)‎ 解：(1)f¢(x)=mex(x+2) 令x=0得： f¢(0)=‎2m 由题意：‎2m=2 ∴m=1 ‎ f(0)=m=1 ∴n=1-----------------------------------------------------------------------------2‎ f¢(x)=ex(x+2) 由f¢(x)>0得：x>-2, 由f¢(x)<0得：x<-2‎ ‎∴f(x)在(-∞,-2)上单调递减；在(-2,+∞)上单调递增 ‎∴fmin(x)=f(-2)=-,无最大值；---------------------------4‎ ‎(2) f(x)³g(x)Û ex(x+1)≥ex+x+ax2Ûx(ex-1)-ax2≥0‎ 法一：①当x=0时，0≥0,a∈R--------------------6‎ ‎②当x>0时：x(ex-1)-ax2≥0Ûex-1-ax≥0‎ 令h(x)= ex-1-ax,则h¢(x)=ex-a ‎∵x>0 ∴ex>1 ‎ ‎(i)若a£1,则h¢(x)≥0 h(x)在(0,+∞)上单调递增，h(x)>h(0)=0 合题意；----------------------------------8‎ ‎(ii)若a>1,令h¢(x)=0得：x=lna>0 由h¢(x)<0得：x0恒成立矛盾 所以a>1不合题意；-------------------------------------------------10‎ 综上a的取值范围是(-∞,1]-----------------------12‎ 法二：①当x=0时，0≥0,a∈R----------------------------------6‎ ‎②当x>0时：x(ex-1)-ax2≥0Ûex-1-ax≥0Ûa£---------------------8‎ 令h(x)= 则h¢(x)= 令t(x)=ex(x-1)+1,则t¢(x)=xex>0 ‎ 所以t(x)在(0,+∞)单调递增，∴t(x)>t(0)=0 即h¢(x)>0 ∴h(x)在（0，+∞）上单调递增---------10‎ 又h(x)= =ex=1‎ ‎∴t(x)<1 若使a£恒成立，只需a£1‎ ‎∴a的取值范围是(-∞,1]---------------------------------------12‎ ‎（说明：①无论法一还是法二，若考生不对x进行讨论而得到ex-1-ax≥0，均需扣1分；‎ ‎②若考生若采用法二求解，由于高考不提倡用罗比塔法则，可根据答题情况酌情扣1-2分）‎ 法三：f(x)³g(x)Û ex(x+1)≥ex+x+ax2Ûx(ex-1)-ax2≥0‎ 令h(x)=x(ex-1)-ax2 则h¢(x)=ex(x+1)-1-2ax 令t(x)=ex(x+1)-1-2ax. 则t¢(x)=ex(x+2)-‎‎2a 显然t¢(x)在(0,+∞)上单调递增，∴t¢(x)≥t¢(0)=2‎-2a-----------------------------------------------------------------------6‎ ‎(i)当2‎-2a≥0即a£1时，t¢(x)≥0恒成立，∴t(x)在(0,+∞)上单调递增∴t(x)≥t(0)=0即h¢(x)≥0 ∴h(x)在[0,+∞)上单调递增 ∴h(x)≥0恒成立 即a£1合题意；--------------------------------------------8‎ ‎(ii)当2‎-2a<0即a>1时,t¢(0)=2‎-2a<0,t¢(a)=ea(a+2)‎-2a>2(a+2)‎-2a>0 ∴存在唯一x0∈(0,+∞)使t¢(x0)=0,当01不合题意；---------------------10‎ ‎ 综上：a的取值范围是(-∞,1]----------------12‎ ‎(二)选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程 解：（1）因为，，两式相减，有，‎ 所以的直角坐标方程为.---------------------------------3‎ 直线的直角坐标方程为.---------------------------5‎ ‎（2）联立与的方程，有，消，‎ 得，--------------------7‎ 因为与相切，所以有，‎ 解得：.----------------------------------10‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 ‎(1)法一：‎ ‎，‎ 作出的图象，如图所示：‎ 结合图象，‎ 函数上单调递增，‎ 在上单调递减，‎ 又，，‎ 所以不等式的解集是.------------------------5‎ 法二：，‎ 等价于：或或，‎ 解得：或或，‎ 所以不等式的解集是.----------------5‎ ‎(2)由(1)知函数的最大值是，所以恒成立.‎ 因为，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 所以.--------------------------10‎