2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列 含答案

2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列 含答案

‎2013年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列 一、选择题 ．（2013年高考上海卷（理））在数列中,,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素,()则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )‎ ‎(A)18 (B)28 (C)48 (D)63‎ ‎【答案】A. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知数列满足,则的前10项和等于 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎ ．（2013年高考新课标1（理））设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( )‎ A.{Sn}为递减数列 B.{Sn}为递增数列 ‎ C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 ‎ ‎【答案】B ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））函数的图像如图所示,在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知等比数列的公比为q,记 则以下结论一定正确的是( )‎ A.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为 C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为 ‎ ‎【答案】C ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等比数列的前项和为,已知,,则 (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎ ．（2013年高考新课标1（理））设等差数列的前项和为,则 ( )‎ A.3 B‎.4 ‎ C.5 D.6‎ ‎【答案】C ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））下面是关于公差的等差数列的四个命题:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎ ．（2013年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于 A.-24 B‎.0 C.12 D.24‎ ‎【答案】A ‎ 二、填空题 ．（2013年高考四川卷（理））在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.‎ ‎【答案】解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得 . ‎ 所以, 解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3. 所以数列的前项和或 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第个三角形数为.记第个边形数为,以下列出了部分边形数中第个数的表达式:‎ 三角形数 ‎ 正方形数 ‎ 五边形数 ‎ 六边形数 ‎ 可以推测的表达式,由此计算___________.‎ 选考题 ‎【答案】1000 ‎ ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在正项等比数列中,,,则满足的最大正整数 的值为_____________.‎ ‎【答案】12 ‎ ．（2013年高考湖南卷（理））设为数列的前n项和,则 ‎(1)_____; (2)___________.‎ ‎【答案】; ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））当 时,有如下表达式:‎ 两边同时积分得:‎ 从而得到如下等式: ‎ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则 ‎【答案】 ‎ ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前项和__________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））在等差数列中,已知,则_____.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年高考陕西卷（理））观察下列等式: ‎ ‎ ‎ 照此规律, 第n个等式可为_______. ‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年高考新课标1（理））若数列{}的前n项和为Sn=,则数列{}的通项公式是=______.‎ ‎【答案】=. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,互不-相同的点和分别在角O的两条边上,所有相互平行,且所有梯形的面积均相等.设若则数列的通项公式是_________.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年高考北京卷（理））若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=_______;前n项和Sn=___________.‎ ‎【答案】2, ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________.‎ ‎【答案】63 ‎ 三、解答题 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数,证明:‎ ‎(Ⅰ)对每个,存在唯一的,满足;‎ ‎(Ⅱ)对任意,由(Ⅰ)中构成的数列满足.‎ ‎【答案】解: (Ⅰ) 是x的单调递增函数,也是n的单调递增函数. . ‎ ‎ 综上,对每个,存在唯一的,满足;(证毕) (Ⅱ) 由题知 上式相减: . 法二: ‎ ‎ ‎ ．（2013年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数,定义函数,数列满足.‎ ‎(1)若,求及;(2)求证:对任意,;‎ ‎(3)是否存在,使得成等差数列?若存在,求出所有这样的,若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】:(1)因为,,故, (2)要证明原命题,只需证明对任意都成立, 即只需证明 若,显然有成立; 若,则显然成立 综上,恒成立,即对任意的, (3)由(2)知,若为等差数列,则公差,故n无限增大时,总有 此时, 即 故, 即, ‎ 当时,等式成立,且时,,此时为等差数列,满足题意; 若,则, 此时,也满足题意; 综上,满足题意的的取值范围是. ‎ ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分.‎ 设数列,即当时,,记,对于,定义集合 ‎(1)求集合中元素的个数; (2)求集合中元素的个数.‎ ‎【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列的定义得:,,,,,,,,,, ∴,,,,,,,,,, ∴,,,, ∴集合中元素的个数为5 (2)证明:用数学归纳法先证 事实上, ① 当时, 故原式成立 ② 假设当时,等式成立,即 故原式成立 则:,时, ‎ ‎ 综合①②得: 于是 由上可知:是的倍数 而,所以是 的倍数 又不是的倍数, 而 所以不是的倍数 故当时,集合中元素的个数为 于是当时,集合中元素的个数为 又 故集合中元素的个数为 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在公差为的等差数列中,已知,且成等比数列.‎ ‎(1)求; (2)若,求 ‎【答案】解:(Ⅰ)由已知得到: ; (Ⅱ)由(1)知,当时,, ‎ ‎①当时, ②当时, 所以,综上所述:; ‎ ．（2013年高考湖北卷（理））已知等比数列满足:,.‎ ‎(I)求数列的通项公式;‎ ‎(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】解:(I)由已知条件得:,又,, 所以数列的通项或 (II)若,,不存在这样的正整数; 若,,不存在这样的正整数. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列的前n项和为,且,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为, 由,得 , 解得,, 因此 (Ⅱ)由题意知: 所以时, 故, 所以, 则 两式相减得 整理得 所以数列数列的前n项和 ‎ ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,‎ ‎,其中为实数.‎ ‎(1)若,且成等比数列,证明:();‎ ‎(2)若是等差数列,证明:.‎ ‎【答案】证明:∵是首项为,公差为的等差数列,是其前项和 ∴ (1)∵ ∴ ∵成等比数列 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴左边= 右边= ∴左边=右边∴原式成立 (2)∵是等差数列∴设公差为,∴带入得: ∴对恒成立 ∴ 由①式得: ∵ ∴ 由③式得: 法二:证:(1)若,则,,. 当成等比数列,, ‎ 即:,得:,又,故. 由此:,,. 故:(). (2), . (※) 若是等差数列,则型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂, 故有:,即,而≠0, 故. 经检验,当时是等差数列. ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））等差数列的前项和为,已知,且成等比数列,求的通项式.‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n项和为, 且S3 + a3, S5 + a5, S4 + a4‎ 成等差数列. ‎ ‎(Ⅰ) 求数列的通项公式; ‎ ‎(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值. ‎ ‎【答案】 ‎ ．（2013年高考江西卷（理））正项数列{an}的前项和{an}满足:‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an;‎ ‎(2)令,数列{bn}的前项和为.证明:对于任意的,都有 ‎【答案】(1)解:由,得. 由于是正项数列,所以. 于是时,. ‎ 综上,数列的通项. (2)证明:由于. 则. . ‎ ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设数列的前项和为.已知,,.‎ ‎(Ⅰ) 求的值;‎ ‎(Ⅱ) 求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.‎ ‎【答案】.(1) 解: ,. 当时, 又, (2)解: ,. ① 当时, ② 由① — ②,得 ‎ ‎ 数列是以首项为,公差为1的等差数列. 当时,上式显然成立. (3)证明:由(2)知, ①当时,,原不等式成立. ②当时, ,原不等式亦成立. ③当时, 当时,,原不等式亦成立. 综上,对一切正整数,有. ‎ ．（2013年高考北京卷（理））已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项,,的最小值记为Bn,dn=An-Bn .‎ ‎(I)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,),写出d1,d2,d3,d4的值;‎ ‎(II)设d为非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3)的充分必要条件为{an}为公差为d的等差数列;‎ ‎(III)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.‎ ‎【答案】(I) (II)(充分性)因为是公差为的等差数列,且,所以 因此,,. (必要性)因为,所以. 又因为,,所以. 于是,. 因此,即是公差为的等差数列. (III)因为,所以,.故对任意. 假设中存在大于2的项. 设为满足的最小正整数,则,并且对任意,. 又因为,所以,且. 于是,. 故,与矛盾. 所以对于任意,有,即非负整数列的各项只能为1或2. 因此对任意,,所以. 故. 因此对于任意正整数,存在满足,且,即数列有无穷多项为1. ．（2013年高考陕西卷（理））‎ 设是公比为q的等比数列. (Ⅰ) 导的前n项和公式; (Ⅱ) 设q≠1, 证明数列不是等比数列. ‎ ‎【答案】解:(Ⅰ) 分两种情况讨论. ① ②. 上面两式错位相减: ‎ ‎. ③综上, (Ⅱ) 使用反证法. 设是公比q≠1的等比数列, 假设数列是等比数列.则 ①当=0成立,则不是等比数列. ②当成立,则 .这与题目条件q≠1矛盾. ③综上两种情况,假设数列是等比数列均不成立,所以当q≠1时, 数列不是等比数列. ‎