2018-2019学年安徽省宣城市六校(郎溪、旌德、广德、泾县、绩溪、宣城二中)高一下学期期中联考数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省宣城市六校(郎溪、旌德、广德、泾县、绩溪、宣城二中)高一下学期期中联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省宣城市六校(郎溪、旌德、广德、泾县、绩溪、宣城二中)高一下学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角和斜率分别是（ ）‎ A． B． C．，不存在 D．，不存在 ‎【答案】C ‎【解析】解：∵直线x=1垂直于x轴，倾斜角为90°，而斜率不存在，‎ 故选 C．‎ ‎2．△ABC中，已知，则A的度数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴，∴，∴A=，故选A ‎3．已知数列中，，，若，则( )‎ A．1008 B．1009 C．1010 D．2020‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等差数列的定义判断数列为等差数列，求出通项公式，即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，则数列为首项为，公差为的等差数列 即 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了判断等差数列以及基本量的计算，属于基础题.‎ ‎4．已知直线与平行，那么k 的值为( )‎ A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2‎ ‎【答案】C ‎【解析】讨论的取值，根据两直线平行的性质求解即可.‎ ‎【详解】‎ 当时 ‎，‎ 由于与不平行，则不满足题意；‎ 当时 由于两直线平行，则有，解得：或 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由两直线平行求参数，属于基础题.‎ ‎5．中，若，则的形状为（ ）‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状．‎ ‎【详解】‎ 因为sinC=2sinAcosB，所以sin（A+B）=2sinAcosB，‎ 所以sinAcosB-sinBcosA=0，即sin（A-B）=0，‎ 因为A，B，C是三角形内角，所以A=B．‎ 三角形的等腰三角形．‎ 故答案为B．‎ ‎6．已知数列中，，（），则( )‎ A． B．0 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据递推公式得出前五项，由此判断数列为周期数列，根据周期性得出答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，，，，‎ 是以为周期的周期数列 则 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了根据数列的递推公式写出数列的项以及根据周期性求数列的和，属于基础题.‎ ‎7．过可作两条直线与圆相切，则k的取值范围为( )‎ A． B．或 C．或 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据方程表示圆以及点与圆的位置关系列出相应不等式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由方程表示圆，则有①‎ 由过可作两条直线与圆相切，则点在圆外 即②‎ 联立①②解得或 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点与圆的位置关系以及由方程表示圆求参数范围，属于中档题.‎ ‎8．设等比数列中，前n项和为，已知，，则等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据等比数列的性质得出成等比数列，结合等比中项的性质即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 根据等比数列的性质得出成等比数列 整理得出 即 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等比数列的基本性质，属于基础题.‎ ‎9．在中，，则此三角形解的情况是( )‎ A．一解 B．两解 C．一解或两解 D．无解 ‎【答案】B ‎【解析】由题意知，，，，∴，如图：‎ ‎∵，∴此三角形的解的情况有2种，故选B．‎ ‎10．已知是递增数列，对任意的，都有恒成立，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据递增数列的特点得出对任意的，都有，结合题意得出，求出的最大值，即可得出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 因为是递增数列，所以对任意的，都有 则对任意的，恒成立 整理得出 因为 所以 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列不等式的恒成立问题，属于中档题.‎ ‎11．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 (　　)‎ A． B． C．6 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设点关于轴的对称点，点关于直线的对称点，由对称点可求和的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为.‎ ‎【详解】‎ 点关于轴的对称点坐标是，‎ 设点关于直线的对称点，‎ 由，解得，‎ 故光线所经过的路程，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.‎ ‎12．已知的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据圆的对称性，求出，的垂直平分线的方程，联立得出圆心坐标，再由的垂直平分线通过圆心，得出此圆与坐标轴的另一个交点.‎ ‎【详解】‎ 函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为 由两点的斜率公式得出，并且的中点坐标为 则的垂直平分线的方程为：①‎ 易知，的垂直平分线方程为：②‎ 联立①②得出圆心坐标 的垂直平分线方程为 根据圆的对称性得出的垂直平分线通过圆心 即 则此圆与坐标轴的另一个交点是 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的对称性的应用以及求直线与圆的交点坐标，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知集合，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据集合A表示圆心为，半径为的圆上所有点组成的集合，集合B表示圆心为，半径为的圆上所有点组成的集合，结合圆与圆的位置关系即可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 集合A表示圆心为，半径为的圆上所有点组成的集合 集合B表示圆心为，半径为的圆上所有点组成的集合 集合表示两圆交点构成的集合 圆与圆相离 即 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了集合的交集运算，涉及了圆与圆位置关系的判断，属于基础题.‎ ‎14．如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．则= . ‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：由已知得，由余弦定理得 ‎，再有正弦定理得。‎ ‎【考点】正（余）弦定理的应用。 ‎ ‎15．若直线与圆交于M、N两点，且M、N两点关于直线对称，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由圆的方程得出圆心坐标，根据圆的对称性可知直线通过圆心，得出，再由直线与直线相互垂直，得出，代入求解即可.‎ ‎【详解】‎ 方程一定表示圆 则圆心坐标为 根据圆的对称性可知，直线通过圆心 则 M、N两点关于直线对称 直线与直线相互垂直 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的对称性的应用以及由直线与圆的位置关系确定参数的范围，属于中档题.‎ ‎16．已知三角形中，边上的高与边长相等，则的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，因此,从而所求最大值是 ‎【考点】正余弦定理、面积公式 ‎【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件 即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具 即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ 三、解答题 ‎17．已知圆x2+y2=8内有一点P0（-1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦.‎ ‎（1）当α=时，求AB的长； ‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程(用直线方程的一般式表示)．‎ ‎【答案】（1）；（2）x－2y＋5＝0‎ ‎【解析】(1)先求出直线的方程,再利用垂径定理求解即可.‎ ‎(2) 当弦AB被点P0平分时利用得出的斜率,再用点斜式求解化简成一般方程即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）过点O做OG⊥AB于G,连结OA,当α=135°时,直线AB的斜率为-1,‎ 故直线AB的方程x+y-1=0, ∴OG=, ‎ ‎∵, ∴ ‎ ‎（2）当弦AB被点P0平分时,OP0⊥AB, 直线OP0的斜率为－2,所以直线AB的斜率为．根据直线的点斜式方程,直线AB的方程为,即x－2y＋5＝0．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与圆的位置关系,常用垂径定理与斜率关系等,属于中等题型.‎ ‎18．设锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且与共线.‎ ‎（1）求B的大小；‎ ‎（2）若的面积是，，求b.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据向量共线的性质以及正弦定理的边化角公式求解即可得出B的大小；‎ ‎（2）根据余弦定理得出，由三角形面积公式得出，结合，代入中，即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由与共线得：，根据正弦定理得，‎ ‎，，由为锐角三角形得.‎ ‎（2）根据余弦定理，得 由得，又 所以，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理以及余弦定理的应用，属于中档题.‎ ‎19．已知圆C：，点P坐标为，过点P作圆C的切线，切点为A，B．‎ 求直线PA，PB的方程；‎ 求过P点的圆的切线长；‎ 求直线AB的方程．‎ ‎【答案】（1）或；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）设过点P的直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求其斜率即可（2）在△中利用勾股定理求PA的长（3）利用AB与PC垂直的性质求出其斜率，由点斜式写出直线方程.‎ ‎【详解】‎ ‎(1).由已知得过点的圆的切线斜率的存在,‎ 设切线方程为,即.‎ 则圆心到直线的距离为,‎ 即,‎ ‎∴,∴或.‎ ‎∴所求直线的切线方程为或,‎ 即或.‎ ‎(2).在△中,‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴过点的圆的切线长为.‎ ‎(3).直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆相切的性质，以及切线的相关平面几何性质，属于中档题.解决此类问题要注意对初中学习的圆的平面几何性质灵活使用.‎ ‎20．已知数列满足：，其中为数列的前项和.‎ ‎（Ⅰ）试求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足：，试求的前项和公式；‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由知，两式相减得到，由此能导出的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，利用错位相减法即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）①②‎ ‎② ①得 又时，‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎③‎ ‎④‎ ‎③ ④得 ‎ 整理得：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了已知来求以及错位相减法求数列的和，属于中档题．‎ ‎21．中，角A,B,C的对边分别为，且 ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）若BD为AC边上的中线，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简已知表达式，求出B的值即可；（2）先根据两角和差的正弦公式求出sinC，再根据正弦定理得到b，c的关系，再利用余弦定理可求b，c的值，再由三角形面积公式可求结果 试题解析：（1）,由正弦定理，得,‎ 因为，所以，所以,因为，所以.‎ ‎（2）法一：在三角形中，由余弦定理得 所以，在三角形中，由正弦定理得，‎ 由已知得，所以，‎ 所以 由（1），（2）解得所以 ‎【考点】余弦定理；正弦定理 ‎22．数列满足，.‎ ‎（1）设，求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】(1)；（2）.‎ ‎【解析】（1）先由题意得到，再由累加法即可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）先由(1)得到，用裂项的方法将化为，再由分组求和即可得出数列的前项和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知可得，所以，即，‎ 即，‎ 所以，，…，，‎ 以上公式相加得：，‎ 又所以.‎ ‎（2）由（1）知所以，‎ 因此 ‎,所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的通项公式以及裂项相消法求和的问题 ，熟记累加法以及等比数列的相关公式即可，属于常考题型.‎