2013年高考理科数学试题分类汇编：3三角函数

2013年高考理科数学试题分类汇编：3三角函数

‎2013年高考理科数学试题分类汇编：3三角函数 一、选择题 ‎1、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间上单调递减的函数是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎2、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知,则 A. B. C. D. ‎ ‎3、（2013年高考湖北卷（理））将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4、（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）） ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5、（2013年高考四川卷（理））函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎6、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数,下列结论中错误的是 ‎(A)的图像关于中心对称 (B)的图像关于直线对称 ‎(C)的最大值为 (D)既奇函数,又是周期函数 ‎7、（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））在,内角所对的边长分别为且,则 A. B. C. D. ‎ ‎8、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数的图象沿轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为 ‎(A) (B) (C)0 (D) ‎ ‎9、（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC中, 则 = ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎10、（2013年高考陕西卷（理））设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 ‎(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 ‎11、（2013年高考湖南卷（理））在锐角中,角所对的边长分别为.若 A. B. C. D. ‎ 二、填空题 ‎12、（2013年高考上海卷（理））若,则 ‎13、（2013年高考四川卷（理））设,,则的值是_________.‎ ‎14、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））中,,是的中点,若,则_______‎ ‎15、（2013年高考新课标1（理））设当时,函数取得最大值,则____‎ ‎16、（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图中,已知点D在BC边上,ADAC,则的长为_______________ ‎ ‎17、（2013年高考江西卷（理））函数的最小正周期为为_________.‎ ‎18、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的最小正周期是_____________‎ ‎19、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的最大值是_______________‎ ‎20、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设为第二象限角,若,则________.‎ ‎21、（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设的内角所对边的长分别为.若,则则角_____.‎ ‎22、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在中,角所对边长分别为,若,则_______‎ ‎23、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））函数的最小正周期为___________.‎ ‎24、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知是第三象限角,,则____________.‎ ‎25、（2013年高考上海卷（理））已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若,则角C的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎26、（2013年高考湖北卷（理））在中,角,,对应的边分别是,,.已知.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若的面积,,求的值.‎ ‎27、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.‎ 在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且 是首项为1、公比为2的等比数列,记,.‎ ‎ (1)若,求点的坐标;‎ ‎(2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.‎ P2‎ ‎0‎ x y A P1‎ P3‎ P4‎ ‎28、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△的内角所对的边分别为,且,,.‎ ‎(1)求的值; (2)求的值.‎ ‎29、（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.‎ ‎(1)求函数与的解析式;‎ ‎(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.‎ ‎ (3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.‎ ‎30、（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°‎ 若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA ‎31、2013年高考理科数学试题分类汇编：3三角函数 ‎1、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））已知,则 A. B. C. D. ‎ ‎2、（2013年高考陕西卷（理））设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则△ABC的形状为 ‎(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 ‎3、（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC中, 则 = ‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎4、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数的图象沿 轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则的一个可能取值为 ‎(A) (B) (C)0 (D) ‎ ‎5、（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））在,内角所对的边长分别为且,则 A. B. C. D. ‎ ‎6、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数,下列结论中错误的是 ‎(A)的图像关于中心对称 (B)的图像关于直线对称 ‎(C)的最大值为 (D)既奇函数,又是周期函数 ‎7、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.‎ 在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且 是首项为1、公比为2的等比数列,记,.‎ ‎ (1)若,求点的坐标;‎ ‎(2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.‎ P2‎ ‎0‎ x y A P1‎ P3‎ P4‎ ‎8、（2013年高考四川卷（理））函数的部分图象如图所示,则的值分别是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎9、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间上单调递减的函数是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎10、（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）） ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11、（2013年高考湖南卷（理））在锐角中,角所对的边长分别为.若 A. B. C. D. ‎ ‎12、（2013年高考湖北卷（理））将函数的图像向左平移个长度单位后,所得到的图像关于轴对称,则的最小值是( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎13、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））中,,是的中点,若,则_______‎ ‎14、（2013年高考新课标1（理））设当时,函数取得最大值,则____‎ ‎15、（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图中,已知点D在BC边上,ADAC,则的长为_______________ ‎ ‎16、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的最小正周期是_____________‎ ‎17、（2013年高考四川卷（理））设,,则的值是_________.‎ ‎18、（2013年高考上海卷（理））若,则 ‎19、（2013年高考上海卷（理））已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,若,则角C的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)‎ ‎ ‎ ‎20、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知是第三象限角,,则____________.‎ ‎21、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））函数的最小正周期为___________.‎ ‎22、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在中,角所对边长分别为,若,则_______‎ ‎23、（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设的内角所对边的长分别为.若,则则角_____.‎ ‎24、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））设为第二象限角,若,则________.‎ ‎ 25、（2013年高考江西卷（理））函数的最小正周期为为_________.‎ ‎26、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数的最大值是_______________‎ ‎27、（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.‎ ‎(1)求cosA的值; (2)求c的值.‎ ‎28、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△的内角所对的边分别为,且,,.‎ ‎(1)求的值; (2)求的值.‎ ‎29、（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像.‎ ‎(1)求函数与的解析式;‎ ‎(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由.‎ ‎ (3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点.‎ ‎30、（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°‎ 若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA ‎31、（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））已知函数,.‎ ‎(1) 求的值; (2)若,,求.‎ ‎32、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,.‎ ‎(1)求索道的长;‎ ‎ (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?‎ ‎(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?‎ C B A ‎33、（2013年高考湖北卷（理））在中,角,,对应的边分别是,,.已知.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若的面积,,求的值.‎ 以下是答案 ‎1、 C ‎ ‎2、B ‎ ‎3、C ‎4、B ‎5、A ‎ ‎6、C ‎7、 [解](1)设,根据题意,.由,知, ‎ 而, ‎ 所以,解得或. ‎ 故点的坐标为或. ‎ ‎(2)由题意,点的坐标为,. ‎ ‎. ‎ 因为,所以, ‎ 当且仅当,即时等号成立. ‎ 易知在上为增函数, ‎ 因此,当时,最大,其最大值为. ‎ ‎8、A ‎9、B ‎10、A ‎11、D ‎12、B ‎13、 ‎ ‎14、.‎ ‎15、 ‎ ‎16、 ‎ ‎17、‎ ‎18、 ‎ ‎19、.‎ ‎20、 ‎ ‎21、.‎ ‎22、7‎ ‎23、 ‎ ‎24、 ‎ ‎25、 ‎ ‎26、5 ‎ ‎27、解(1)因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得.所以.故. ‎ ‎(2)由(I)知,所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以. ‎ 在△ABC中,. ‎ 所以.‎ ‎28、 解: (1)由余弦定理,得, ‎ 又,,,所以,解得,. ‎ ‎(2)在△中,, ‎ 由正弦定理得 , ‎ 因为,所以为锐角,所以 ‎ 因此 . ‎ ‎29、解(1)由函数的周期为,,得 ‎ 又曲线的一个对称中心为, ‎ 故,得,所以 ‎ 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数 ‎ ‎(2)当时,, ‎ 所以 ‎ 问题转化为方程在内是否有解 ‎ 设, ‎ 则 ‎ 因为,所以,在内单调递增 ‎ 又, ‎ 且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点, ‎ 即存在唯一的满足题意 ‎ ‎(3)依题意,,令 ‎ 当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程, ‎ 现研究时方程解的情况 ‎ 令, ‎ 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 ‎ ‎,令,得或 ‎ 当变化时,和变化情况如下表 当且趋近于时,趋向于 ‎ 当且趋近于时,趋向于 ‎ 当且趋近于时,趋向于 ‎ 当且趋近于时,趋向于 ‎ 故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点; ‎ 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点; ‎ 当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 ‎ 由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以 ‎ 综上,当,时,函数在内恰有个零点 ‎ ‎30、(1)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=; ‎ ‎(2)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,, ‎ ‎∴=,∴=. ‎ ‎31、(1); ‎ ‎(2) ‎ 因为,,所以, ‎ 所以, ‎ 所以 ‎32、解:(1)∵, ‎ ‎∴∴, ‎ ‎∴ ‎ 根据得 ‎ ‎(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则 ‎ ‎∴ ‎ ‎∵即 ‎ ‎∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. ‎ ‎(3)由正弦定理得(m) ‎ 乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走‎710 m 才能到达C ‎ 设乙的步行速度为V ,则 ‎ ‎∴∴ ‎ ‎∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内 ‎ 法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D, ‎ 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, ‎ AB=52k,由AC=63k=‎1260m, ‎ 知:AB=52k=‎1040m. ‎ ‎(2)设乙出发x分钟后到达点M, ‎ 此时甲到达N点,如图所示. ‎ 则:AM=130x,AN=50(x+2), ‎ 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, ‎ 其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. ‎ ‎(3)由(1)知:BC=‎500m,甲到C用时:=(min). ‎ 若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) . ‎ 此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min. ‎ 若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) . ‎ 此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min. ‎ 故乙步行的速度应控制在[,]范围内. ‎ C B A D M N ‎ ‎ ‎33、 解(1)由已知条件得: ‎ ‎,解得,角 ‎ ‎(2),由余弦定理得:, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎32、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,.‎ ‎(1)求索道的长;‎ ‎ (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?‎ ‎(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?‎ C B A ‎33、（2013年高考北京卷（理））在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A.‎ ‎(1)求cosA的值; (2)求c的值.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B ‎2、 C ‎ ‎3、B ‎4、A ‎5、A ‎6、C ‎7、A ‎ ‎8、B ‎9、C ‎10、B ‎ ‎11、D 二、填空题 ‎12、 ‎ ‎13、‎ ‎14、 ‎ ‎15、.‎ ‎16、 ‎ ‎17、 ‎ ‎18、 ‎ ‎19、5 ‎ ‎20、 ‎ ‎21、 ‎ ‎22、7‎ ‎23、.‎ ‎24、 ‎ ‎25、‎ 三、解答题 ‎26、解(1)由已知条件得: ‎ ‎,解得,角 ‎ ‎(2),由余弦定理得:, ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎27、[解](1)设,根据题意,.由,知, ‎ 而, ‎ 所以,解得或. ‎ 故点的坐标为或. ‎ ‎(2)由题意,点的坐标为,. ‎ ‎. ‎ 因为,所以, ‎ 当且仅当,即时等号成立. ‎ 易知在上为增函数, ‎ 因此,当时,最大,其最大值为. ‎ ‎28、解: (1)由余弦定理,得, ‎ 又,,,所以,解得,. ‎ ‎(2)在△中,, ‎ 由正弦定理得 , ‎ 因为,所以为锐角,所以 ‎ 因此 . ‎ ‎29、解(1)由函数的周期为,,得 ‎ 又曲线的一个对称中心为, ‎ 故,得,所以 ‎ 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将 的图象向右平移个单位长度后得到函数 ‎ ‎(2)当时,, ‎ 所以 ‎ 问题转化为方程在内是否有解 ‎ 设, ‎ 则 ‎ 因为,所以,在内单调递增 ‎ 又, ‎ 且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点, ‎ 即存在唯一的满足题意 ‎ ‎(3)依题意,,令 ‎ 当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程, ‎ 现研究时方程解的情况 ‎ 令, ‎ 则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况 ‎ ‎,令,得或 ‎ 当变化时,和变化情况如下表 当且趋近于时,趋向于 ‎ 当且趋近于时,趋向于 ‎ 当且趋近于时,趋向于 ‎ 当且趋近于时,趋向于 ‎ 故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点; ‎ 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点; ‎ 当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 ‎ 由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以 ‎ 综上,当,时,函数在内恰有个零点 ‎ ‎30、(1)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得==,∴PA=; ‎ ‎(2)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA中,由正弦定理得,,化简得,, ‎ ‎∴=,∴=. ‎ ‎31、(1); ‎ ‎(2) ‎ 因为,,所以, ‎ 所以, ‎ 所以 ‎32、解:(1)∵, ‎ ‎∴∴, ‎ ‎∴ ‎ 根据得 ‎ ‎(2)设乙出发t分钟后,甲.乙距离为d,则 ‎ ‎∴ ‎ ‎∵即 ‎ ‎∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. ‎ ‎(3)由正弦定理得(m) ‎ 乙从B出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走‎710 m 才能到达C ‎ 设乙的步行速度为V ,则 ‎ ‎∴∴ ‎ ‎∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内 ‎ 法二:解:(1)如图作BD⊥CA于点D, ‎ 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k, ‎ AB=52k,由AC=63k=‎1260m, ‎ 知:AB=52k=‎1040m. ‎ ‎(2)设乙出发x分钟后到达点M, ‎ 此时甲到达N点,如图所示. ‎ 则:AM=130x,AN=50(x+2), ‎ 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000, ‎ 其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. ‎ ‎(3)由(1)知:BC=‎500m,甲到C用时:=(min). ‎ 若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) . ‎ 此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min. ‎ 若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) . ‎ 此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min. ‎ 故乙步行的速度应控制在[,]范围内. ‎ C B A D M N ‎ ‎ ‎33、解(1)因为a=3,b=2,∠B=2∠A. 所以在△ABC中,由正弦定理得.所以.故. ‎ ‎(2)由(I)知,所以.又因为∠B=2∠A,所以.所以. ‎ 在△ABC中,. ‎ 所以.‎