2019-2020学年山西省太原市第五中学高一上学期11月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年山西省太原市第五中学高一上学期11月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省太原市第五中学高一上学期11月月考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】首先解得集合，，再根据补集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 解：，，，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.‎ ‎2．函数的定义域为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】计算每个函数的定义域,再求交集得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义域，意在考查学生的计算能力.‎ ‎3．设a=log73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，得解．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，所以，故选D ‎【点睛】‎ 比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．‎ ‎4．的图象为　　‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据对数函数的性质，得到函数的图象关于对称，再根据选项，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由可知函数的定义域为：或，函数的图象关于对称，‎ 由函数的图象，可知，A、B、D不满足题意．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟记对数函数的性质及函数的对称性的应用，得到函数的对称性是解答的关键，着重考查了推理与论证能力．‎ ‎5．设函数，则（　）‎ A．2 B．4 C．8 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据分段函数定义域，代入可求得，根据 的值再代入即可求得的值．‎ ‎【详解】‎ 因为 所以 所以 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了根据定义域求分段函数的值，依次代入即可，属于基础题．‎ ‎6．函数的图象恒过定点（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】令2x-3=1得x=2, ,故过点, 故选D．‎ ‎7．幂函数在上为增函数，则实数m的值为（ ）‎ A．0 B．2 C．3 D．0或2‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据幂函数定义,求得的值,代入检验在上是否为增函数即可.‎ ‎【详解】‎ 因为为幂函数 所以,解得或 当时,,所以在上为减函数,即不符合题意 当时, ,所以在上为增函数,即符合题意 综上可知,‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义,幂函数单调性的简单应用,属于基础题.‎ ‎8．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】求函数值判断即可求解 ‎【详解】‎ ‎∵函数在上连续且单调递增，‎ 且，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数的零点所在的区间为.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点存在性定理，熟记定理应用的条件是关键，属于基础题.‎ ‎9．定义在上的奇函数满足，且在上，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意结合函数的性质整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ 则，且，‎ 由于，故，‎ 据此可得：，.‎ 本题选择D选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性，函数的周期性及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10．已知函数，则函数的零点个数为（ ）‎ A．1 B．3 C．4 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】令,可得,解方程,结合函数的图象,可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 令,则,‎ 令,若,解得或,符合;若,解得,符合.‎ 作出函数的图象,如下图,时,;时,;时,.‎ 结合图象,若,有3个解;若,无解;若,有1个解.‎ 所以函数的零点个数为4个.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎11．计算_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎.‎ 答案为：.‎ ‎12．若函数为偶函数，则 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数，‎ ‎．‎ ‎【考点】函数的奇偶性．‎ ‎【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取．‎ ‎13．已知是R上的增函数，则a的取值范围是______ ．‎ ‎【答案】[2，+∞）‎ ‎【解析】因为分段函数为R上的增函数,所以分段函数在两段上也是增函数,且 时的函数值恒小于等于 时的函数值.‎ ‎【详解】‎ 首先，y=logax在区间[1，+∞）上是增函数 且函数在区间（-∞，1）上也是增函数 ‎∴a＞1 ①‎ 其次在x=1处函数对应的第一个表达式的值要小于或等于第二个表达式的值，即 ‎（a+2）-2a≤loga1⇒a≥2 ②‎ 联解（1）、（2）得a≥2．‎ 故答案为[2，+∞）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分段函数的单调性,属中档题.‎ ‎14．函数的单调减区间是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据对数函数的定义域及复合函数单调性的判断即可求得单调递减区间．‎ ‎【详解】‎ 因为 所以解得 ‎ 因为为单调递减函数，所以由复合函数单调性判断可知应该取 的单调递增区间，即 ‎ 结合定义域可得函数的单调减区间是 ‎【点睛】‎ 本题考查了复合函数单调区间的求法，注意对数函数的真数大于0，属于基础题．‎ ‎15．关于函数，有下列命题：①的图象关于y轴对称；②的最小值是；③在上是减函数，在上是增函数；④在区间，上是增函数；⑤既无最大值，也无最小值.其中正确命题的序号是________.（请填上所有正确命题的序号）‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】通过判断是否成立,可判断①;根据对勾函数及对数复合函数的性质,可求得最小值,可判断②和⑤;根据复合函数单调性的判断方法,可判断③④.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数,‎ 故函数为偶函数,其图象关于y轴对称,故①正确；‎ 又,由对勾函数和复合函数性质得 当时,函数取最小值,无最大值,故②正确,⑤错误；‎ 当时, ,在上为减函数,在上是增函数；‎ 当时,,在上为减函数,在上是增函数,故③错误,④正确．‎ 综上可知,正确的为①②④‎ 故答案为:①②④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数对称轴的判断方法,复合函数单调性的判断,利用对勾函数研究函数的最值,属于中档题.‎ 三、解答题 ‎16．求出下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由根式与分数指数幂的化简,结合分数指数幂的运算化简即可得解.‎ ‎（2）根据对数的运算性质,化简即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据分数指数幂的运算,展开化简可得 ‎（2）由对数的运算性质,化简可得 ‎【点睛】‎ 本题考查了分数指数幂与对数的运算性质的简单应用,属于基础题.‎ ‎17．某创业团队拟生产两种产品，根据市场预测，产品的利润与投资额成正比（如图1），产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2).(注: 利润与投资额的单位均为万元)‎ ‎（注：利润与投资额的单位均为万元）‎ ‎(1)分別将两种产品的利润、表示为投资额的函数；‎ ‎(2)该团队已筹集到10 万元资金，并打算全部投入两种产品的生产，问:当产品的投资额为多少万元时，生产两种产品能获得最大利润，最大利润为多少?‎ ‎【答案】（1）， ；（2）6.25, 4.0625.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由产品的利润与投资额成正比，产品的利润与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；（2）由（1）的结论，我们设产品的投资额为万元，则产品的投资额为万元，这时可以构造出一个关于收益的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解.‎ 试题解析：(1) ,‎ ‎ .‎ ‎(2) 设产品的投资额为万元，则产品的投资额为万元，‎ 创业团队获得的利润为万元，‎ 则 ,‎ 令，，即，‎ 当，即时，取得最大值4.0625.‎ 答:当产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得的最大利润为4.0625 万元.‎ ‎18．已知是定义在上的偶函数，且时，. ‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求函数的解析式；‎ ‎（3）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）或.‎ ‎【解析】（1）根据偶函数定义及时的解析式，即可求得的值．‎ ‎（2）令，结合偶函数定义可求得的解析式，进而写出整个定义域内的解析式．‎ ‎（3）根据函数单调性及，解关于的不等式即可得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵ 是定义在R上的偶函数， 时，，‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎ ；‎ ‎（2）令，则 ， ‎ ‎∴ 时， ，‎ 则．‎ ‎（3）∵在 上为增函数，‎ ‎∴ 在 上为减函数 ‎∵ ‎ ‎∴ ，‎ ‎∴或 ‎【点睛】‎ 本题考查了函数奇偶性的定义，根据奇偶性求函数解析式，根据单调性求参数取值范围，属于基础题．‎ ‎19．已知函数，在区间上有最大值，最小值，设函数.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围； ‎ ‎（3）方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】（1）利用二次函数闭区间上的最值，通过a与0的大小讨论，列出方程，即可求a，b的值；‎ ‎（2）转化不等式f（2x）﹣k•2x≥0，为k在一侧，另一侧利用换元法通过二次函数在x∈[﹣1，1]上恒成立，求出最值，即可求实数k的取值范围；‎ ‎（3）化简方程f（|2x﹣1|）+k（3）＝0，转化为两个函数的图象的交点的个数，利用方程有三个不同的实数解，推出不等式然后求实数k的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）g（x）＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，‎ ‎∵a＞0，∴g（x）在[2，3]上为增函数，‎ 故，可得 ，⇔．‎ ‎∴a＝1，b＝0‎ ‎（2）方程f（2x）﹣k•2x≥0化为2x2≥k•2x，‎ k≤1‎ 令t，k≤t2﹣2t+1，‎ ‎∵x∈[﹣1，1]，∴t，记φ（t）＝t2﹣2t+1，‎ ‎∴φ（t）min＝φ（1）＝0，‎ ‎∴k≤0．‎ ‎（3）由f（|2x﹣1|）+k（3）＝0‎ 得|2x﹣1|（2+3k）＝0，‎ ‎|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，‎ 令|2x﹣1|＝t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），‎ ‎∵方程|2x﹣1|（2+3k）＝0有三个不同的实数解，‎ ‎∴由t＝|2x﹣1|的图象（如图）知，‎ t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1，‎ 记φ（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），‎ 则或　‎ ‎∴k＞0．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数恒成立，二次函数闭区间上的最值的求法，考查转化思想与数形结合的思想．‎